郝亦豪

(中南大學(xué)航空航天學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410083)

航天器可達(dá)域是指航天器在一定的約束條件下,包括燃料約束、時(shí)間約束等,進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)后可能到達(dá)的位置或狀態(tài)的集合[1]。隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展,在軌服務(wù)[2],衛(wèi)星調(diào)度[3]以及碎片清除的需求不斷增加,可達(dá)域研究在航天任務(wù)中的重要性愈發(fā)凸顯。航天器可達(dá)域研究對(duì)滿足未來不斷增長(zhǎng)的軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)設(shè)計(jì)需求,有著重要的意義[4]。

1 可達(dá)域描述模型

設(shè)航天器的初始軌道為orbit0,可施加的脈沖集合為Δνmax。

定義航天器單次可施加速度沖量的集合為ΔV={Δvk,0≤|Δvk|≤Δνmax},k=1,2...。

對(duì)于初始軌道orbit0,施加脈沖集合ΔV 中的任意脈沖ΔVk,可以得到對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移軌道orbitk。

定義orbitk所構(gòu)成的集合為：

唯一性證明：

反證法。假設(shè)存在不唯一的轉(zhuǎn)移軌道與Δvk對(duì)應(yīng),即

初始軌道orbit0對(duì)應(yīng)的航天器初始位置和速度矢量分別為[r0v0]T,時(shí)間速度沖量Δvk后,位置矢量和速度矢量為[r0v0+Δvk]T。

[r0v0+Δvk]T只與一組軌道根數(shù)相對(duì)應(yīng),描述了唯一的航天器軌道。與上述假設(shè)矛盾。證畢。

速度沖量集合ΔV 中的元素與轉(zhuǎn)移軌道集合O 中的元素一一映射。如果可以窮舉集合ΔV 中的所有元素,則可以得到單次速度沖量機(jī)動(dòng)后全部的轉(zhuǎn)移軌道。

2 擬合法

2.1 算法思想

當(dāng)脈沖集合ΔV 為有限集時(shí),根據(jù)映射關(guān)系F,軌道集合O 同樣為有限集。此時(shí),我們可以對(duì)軌道集合O 中的元素orbitk一一求解,進(jìn)而得到航天器的可達(dá)域。

但是,通常情況下,航天器軌道機(jī)動(dòng)可施加的脈沖為一個(gè)范圍,因此,一般而言,脈沖集合ΔV 是一個(gè)無限集。由于F 為ΔV 到O 的一一映射,對(duì)于ΔV 中的任意一個(gè)元素ΔVk,O 中總存在唯一的一個(gè)元素orbitk與之對(duì)應(yīng),因此,與無限集ΔV 對(duì)應(yīng)的軌道集合O 同樣為無限集。

對(duì)于無限集,我們無法對(duì)軌道集合O 中的元素orbitk一一求解,為解決這一問題,可以求解軌道集合O 的子集O_sub 作為軌道集合O 的替代,這種方法就稱為擬合法。

擬合法的核心思想是將無限集的求解問題轉(zhuǎn)化為有限集的求解,通過在脈沖集合ΔV 中選取子集ΔV_sub,將子集ΔV_sub 作為脈沖集合ΔV 的替代,根據(jù)映射關(guān)系F, 求解子集ΔV_sub 對(duì)應(yīng)的軌道集合O 的子集O_sub,將子集O_sub 作為軌道集合O 的替代。

采用擬合法求解時(shí),隨機(jī)選取ΔVk作為ΔV_sub 的元素,選取的ΔVk數(shù)量越多,ΔV_sub 越接近脈沖集合ΔV,根據(jù)映射關(guān)系F 所得的與ΔV_sub 對(duì)應(yīng)的O_sub也就越接近軌道集合O。

因此,實(shí)際上,擬合法求解得到的是軌道集合O 的子集O_sub,用O_sub 來表示航天器可達(dá)域,選取的ΔVk數(shù)量越多,子集O_sub 也就越接近真實(shí)的航天器可達(dá)域軌道集合O。

采用擬合法求解時(shí),除了選取合適的ΔV_sub 以外,還需要確定映射關(guān)系F,以便由ΔVk求解對(duì)應(yīng)的orbitk。航天器的初始軌道為orbit0,由此可以得到航天器的初始位置r0和初始速度v0。如果航天器只能在軌道上的固定位置施加脈沖,則航天器的初始位置速度r0和v0為定值,如果航天器在軌道上可以自由選擇施加的脈沖的位置,則航天器的初始位置速度r0和v0可變。將初始速度v0與ΔVk疊加,即可得到航天器施加脈沖ΔVk后的速度：

根據(jù)脈沖推力假設(shè),施加脈沖后,航天器的位置依舊為r0,速度變?yōu)関k。根據(jù)軌道預(yù)報(bào),由此可以得到航天器的轉(zhuǎn)移軌道orbitk。

2.2 算法流程

下面給出采用擬合法求解可達(dá)域的算法流程,其流程圖如圖1 所示。

圖1 擬合法求解可達(dá)域流程圖

步驟1：給出基本條件。給定航天器的初始軌道orbit0,以及可施加的最大脈沖Δνmax以及方向約束。

步驟2：設(shè)定計(jì)算次數(shù)testnum。

步驟3：確定航天器的初始位置速度r0和v0。根據(jù)給定的航天器初始軌道orbit0得到航天器的初始位置速度r0和v0。

步驟4：確定軌道機(jī)動(dòng)施加的脈沖ΔVk。根據(jù)可施加的最大脈沖Δνmax以及方向約束,選取隨機(jī)的脈沖ΔVk。

步驟5：計(jì)算轉(zhuǎn)移軌道orbitk。根據(jù)式(4),確定施加脈沖后速度vk,結(jié)合初始位置r0,得到航天器的轉(zhuǎn)移軌道orbitk。

步驟6：判斷是否繼續(xù)計(jì)算orbitk。如果所得orbitk數(shù)目等于計(jì)算次數(shù)testnum,則計(jì)算結(jié)束,可達(dá)域?yàn)槿縪rbitk所構(gòu)成的集合。如果所得orbitk數(shù)目小于計(jì)算次數(shù)testnum,則繼續(xù)計(jì)算。當(dāng)航天器只能在軌道上的固定位置施加脈沖時(shí),則返回步驟4；反之,則返回步驟3。

3 仿真算例與結(jié)果分析

3.1 仿真算例初始條件

根據(jù)擬合法的定義,擬合法仿真結(jié)果的精度與O_sub 中orbitk的數(shù)目息息相關(guān),計(jì)算次數(shù)testnum越大,orbitk越多,O_sub 越接近O,則仿真精度越高；反之,則仿真精度越低。但是,當(dāng)計(jì)算次數(shù)testnum過大時(shí),擬合法的計(jì)算效率也隨之降低,因此,選擇合適的計(jì)算次數(shù)testnum對(duì)擬合法十分重要。下面通過仿真算例對(duì)計(jì)算次數(shù)testnum的影響因素進(jìn)行分析。仿真算例的初始條件如表1 所示。

表1 擬合法仿真算例初始條件

3.2 仿真結(jié)果與分析

6 個(gè)算例的仿真結(jié)果如圖2 至圖7 所示。黑色表示初始軌道,灰色表示采用擬合法求解所得可達(dá)域,“*”表示脈沖施加點(diǎn)。

圖2 算例1 仿真結(jié)果

如圖2 和圖5 所示,算例4 的空白區(qū)域多于算例1。因此,初始軌道的半長(zhǎng)軸a0越大,采用擬合法仿真所需的計(jì)算次數(shù)testnum越多。如圖2 圖3 所示,算例1 的空白區(qū)域多于算例2。因此,初始軌道的偏心率越大,采用擬合法仿真所需的計(jì)算次數(shù)testnum越多。如圖2 和圖4 所示,算例1 的空白區(qū)域多于算例3。因此,脈沖施加點(diǎn)距離近地點(diǎn)越遠(yuǎn),采用擬合法仿真所需的計(jì)算次數(shù)testnum越多。如圖5 和圖6 所示,算例5 的空白區(qū)域多于算例1。因此,航天器可施加的最大脈沖Δνmax越大,采用擬合法仿真所需的計(jì)算次數(shù)testnum越多。如圖6 和圖7 所示,算例5 的仿真結(jié)果存在大量空白,算例6 的仿真結(jié)果完全沒有空白。因此,對(duì)于一般情況,當(dāng)計(jì)算次數(shù)testnum設(shè)定為5000 時(shí),擬合法的仿真結(jié)果可以作為真實(shí)可達(dá)域的替代。

圖3 算例2 仿真結(jié)果

圖4 算例3 仿真結(jié)果

圖5 算例4 仿真結(jié)果

圖6 算例5 仿真結(jié)果

圖7 算例6 仿真結(jié)果

4 結(jié)論

本文采用擬合法分別在不同初始軌道、脈沖大小和計(jì)算次數(shù)的條件下,對(duì)航天器平面可達(dá)域進(jìn)行了仿真計(jì)算。仿真結(jié)果表明,采用擬合法求解可達(dá)域,影響計(jì)算次數(shù)最重要的因素是航天器可施加的最大脈沖。最大脈沖是影響航天器可達(dá)域的大小最直接的因素,航天器可達(dá)域越大,所需的計(jì)算次數(shù)也就越多。