劉勇 邱宇

(1、中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所,安徽 合肥 230088 2、安徽省天線與微波工程實(shí)驗(yàn)室,安徽 合肥 230088)

1 概述

在當(dāng)今世界,隨著全球信息化、網(wǎng)絡(luò)化和智能化的飛速發(fā)展,集成電路產(chǎn)業(yè)在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的地位越來(lái)越重要,它以其無(wú)窮的變革、創(chuàng)新和極強(qiáng)的滲透力,推動(dòng)著軍用裝備、移動(dòng)通信、智能終端等產(chǎn)業(yè)的發(fā)展進(jìn)程[1-3]。

電感是集成電路中的基本元件之一。由于集成度要求及工藝限制,集成電路中的電感通常設(shè)計(jì)為平面螺旋結(jié)構(gòu)[4-5]。平面螺旋電感通過后道工藝與集成電路制作在同一塊襯底上形成IC 芯片,如硅CMOS 芯片[6]、砷化鎵MMIC 芯片[7]。也可以在低損耗襯底上制作成嵌入式器件,形成功能化襯底,進(jìn)一步進(jìn)行系統(tǒng)封裝,如集成無(wú)源器件技術(shù)(IPD)技術(shù)[8-9]。值得一提,低溫共燒陶瓷(LTCC)技術(shù)[10]也可以制作平面螺旋電感。平面螺旋電感有兩個(gè)端口,采用垂直過渡、絕緣層隔離技術(shù),可將兩個(gè)端口分別引出與外部電路相連。

此前大多數(shù)研究者均旨在優(yōu)化平面螺旋電感結(jié)構(gòu)對(duì)電感性能的影響,并未涉及到平面螺旋電感的數(shù)學(xué)模型分析；此外,在現(xiàn)有版圖設(shè)計(jì)軟件中,一些電感模型并不能完全滿足設(shè)計(jì)需要,且一般是四邊形和八邊形,品種相對(duì)單一；三維電磁仿真中,往往沒有電感模型,需要自行設(shè)計(jì)平面螺旋電感,因此本文結(jié)合任意多變形的邊長(zhǎng)漸變多邊形平面螺旋電感模型推導(dǎo)出精確的數(shù)學(xué)關(guān)系,為后續(xù)平面螺旋電感模型的設(shè)計(jì)提供一定的參考意義。

2 數(shù)學(xué)模型分析

首先生成螺旋電感的中心線結(jié)構(gòu),通過對(duì)各段中心線分別向兩邊垂直平移W/2 距離,生成線寬為W 的螺旋線圈。圖2 為邊長(zhǎng)漸變多邊形平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)的示意圖,頂點(diǎn)0 和頂點(diǎn)1 連線構(gòu)成初始線段[0,1],以此類推,即頂點(diǎn)k-1 和頂點(diǎn)k 連線構(gòu)成線段[k-1,k],k是≥0 的整數(shù)。線段[k-1,k]的長(zhǎng)度由lk表示。邊長(zhǎng)漸變量為δ,則lk+1-lk=δ。當(dāng)n 確定后,由于線段[k-1,k]與線段[k,k+1] 所夾內(nèi)角為固定值θ,因此繞線一周后線段[k-1,k]與線段[0,1]平行,其中k=n+1。令線段[k-1,k]與線段[0,1]間距為P。令線段[0,1]呈水平方向,以頂點(diǎn)1 作為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,水平方向?yàn)閤 軸,垂直方向?yàn)閥軸。頂點(diǎn)k 在x 軸上坐標(biāo)值為kx,在y 軸上坐標(biāo)值為ky。由于線段[k-1,k]與線段[0,1]平行,則頂點(diǎn)k 的y 軸坐標(biāo)值ky 即為P 值。

圖2 邊長(zhǎng)漸變平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)示意圖

計(jì)算P 值,可以通過計(jì)算ky 值來(lái)實(shí)現(xiàn)。圖3 展示邊長(zhǎng)為常數(shù)l0的平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)示意圖,圖2 中線段[1,2]與x 軸構(gòu)成的內(nèi)角-2π/n,線段[2,3]與x 軸構(gòu)成的內(nèi)角為-4π/n,并顯然有線段[k,k+1]與x 軸構(gòu)成的內(nèi)角為-i*2π/n；那么同理圖3 中,線段[k’,k’+1] 與x軸構(gòu)成的內(nèi)角也為-i*2π/n。

圖3 邊長(zhǎng)為常數(shù)l0 的平面螺旋電感中心線結(jié)構(gòu)示意圖

從圖中可以看出頂點(diǎn)k 與頂點(diǎn)k’的坐標(biāo)偏差均由于邊長(zhǎng)漸變量δ 的出現(xiàn)。進(jìn)一步分析,線段[1,2]及線段[1’,2’]與x 軸內(nèi)夾角均為-2π/n,結(jié)合三角函數(shù)定義,則此段位移在x 方向產(chǎn)生了δ*cos(-2π/n)增量,在y 方向上產(chǎn)生了δ*sin(-2π/n)增量。同理線段[2,3]及線段[2’,3’] 與x 軸內(nèi)夾角均為-2*2π/n,位移在x 方向產(chǎn)生了2δ*cos (-2*2π/n) 增量,在y 方向上產(chǎn)生了2δ*sin(-2*2π/n)增量。

當(dāng)繞周一圈后,在x 方向產(chǎn)生了累加增量

由上述推導(dǎo)可知P 值只與n、δ 有關(guān),與初始邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。那么從頂點(diǎn)2 出發(fā)繞線一圈到達(dá)頂點(diǎn)k+1,亦有[k,k+1]與線段[1,2]平行且間距為P,以此類推。至此,證明得到邊長(zhǎng)漸變多邊形平面螺旋電感的相鄰線圈中心線間距為固定值P。結(jié)合圖1 及圖2,有P= W+S,當(dāng)取固定值W 時(shí),S 也為固定值。

圖1 任意n 多邊形的邊長(zhǎng)漸變平面螺旋電感模型的結(jié)構(gòu)俯視圖

3 幾何解析方法

當(dāng)n 的基數(shù)特別大時(shí),利用公式(1)和(2)去計(jì)算kx與ky 值變得異常繁瑣,顯然需要更進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。針對(duì)公式(1)和(2)固然可以通過數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)進(jìn)一步計(jì)算出kx 與ky。但為了直觀易懂,本文利用幾何解析的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化kx 與ky 值。如圖2 所示,過頂點(diǎn)1 向線段[k-1,k]做垂線交于M 點(diǎn),過頂點(diǎn)1 向線段[k,k+1] 做垂線交于N 點(diǎn)；過頂點(diǎn)2 向線段[k,k+1] 做垂線交與Q 點(diǎn)。由公式(1)和(2)可知,n、δ 確定后,kx 與ky 值均是固定值,與初始線段長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。則有線段[M,k]與線段[Q,k+1]的長(zhǎng)度值均為kx。

由于線段[1,M]與線段[1,N]長(zhǎng)度相等,均為P,即ky。容易得出由點(diǎn)1、點(diǎn)M、點(diǎn)k 構(gòu)成的△1Mk 與由點(diǎn)1、點(diǎn)N、點(diǎn)k 構(gòu)成的△1Nk 對(duì)稱全等。線段[N,k]長(zhǎng)度等于線段[M,k] 長(zhǎng)度,長(zhǎng)度值為kx；且α 角與β 角相等,即α=β=θ/2。△1Mk 中,有ky=kx*tanα= kx*tanθ/2=kx*ctan(π/n)。

比較線段[k,k+1]與線段[1,2],兩者長(zhǎng)度差為線段[k,N]與線段[Q,k+1]的長(zhǎng)度和,即2kx；又因?yàn)楸景l(fā)明采用的是邊長(zhǎng)漸變繞線方法,線段[k+1,k+2]與線段[1,2]長(zhǎng)度差為nδ。因而有2kx=nδ。

4 數(shù)學(xué)附加結(jié)論

本文已然利用解析方法從側(cè)面證明出等式(8)和(9)的成立,感興趣的讀者也可以試著從正面進(jìn)行推導(dǎo)。

5 應(yīng)用與分析

根據(jù)公式(7)可知在線寬W、線圈間距S 確定后,多邊形邊數(shù)n 與邊長(zhǎng)漸變量δ 值成反比,即平面螺旋電感的邊數(shù)越多,則需要相應(yīng)地減小邊長(zhǎng)漸變量。此外,還可以利用公式(3)和公式(7)對(duì)平面螺旋電感進(jìn)行多圈數(shù)的延伸設(shè)計(jì)。例如,按照所述方法生成W=10μm、S=10μm的邊長(zhǎng)漸變八邊形平面螺旋電感(n=8)。令模型初始邊長(zhǎng)l0=50μm,電感線圈為2 圈。由公式(7)可知,δ=2.07μm。生成的邊長(zhǎng)漸變八邊形平面螺旋電感如圖4 所示,線寬W=10μm、線圈間距S=10μm；初始邊長(zhǎng)l0=50μm、邊長(zhǎng)漸變量δ=2.07μm、末端邊長(zhǎng)為83.12μm。初始邊長(zhǎng)及末端邊長(zhǎng)可進(jìn)行修改,以滿足版圖設(shè)計(jì)中的電感端口位置。本實(shí)施案例中,修改初始邊長(zhǎng)至34μm,修改末端邊長(zhǎng)至48μm。

圖4 一種邊長(zhǎng)漸變八邊形平面螺旋電感模型

結(jié)束語(yǔ)

本文在利用任意多邊形的邊長(zhǎng)漸變平面螺旋電感的結(jié)構(gòu)模型下分析出多邊形邊數(shù)、線寬、線圈間距以及邊長(zhǎng)漸變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,并對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化,解決了現(xiàn)有版圖設(shè)計(jì)軟件品種相對(duì)單一的問題,結(jié)構(gòu)變量參數(shù)設(shè)置簡(jiǎn)單。此外還利用數(shù)學(xué)關(guān)系設(shè)計(jì)了一種邊長(zhǎng)漸變八邊形平面螺旋電感的結(jié)構(gòu),對(duì)初始邊長(zhǎng)及末端邊長(zhǎng)進(jìn)行適當(dāng)修改,滿足實(shí)際產(chǎn)品中平面螺旋電感的版圖設(shè)計(jì)。通過此方法可以制作相應(yīng)的寬帶電感,為光調(diào)制器作為扼流電感等用途。隨著集成電路向小型化和多尺度發(fā)展,本文可以為平面螺旋電感向三維方向進(jìn)行發(fā)展提供一定的解決思路。