肖世發(fā)，張道清，全 軍

（嶺南師范學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣東 湛江 524048）

剛體力學(xué)是力學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，剛體力學(xué)理論是質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)理論的一種特殊情況。剛體力學(xué)內(nèi)容包括剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛體動(dòng)力學(xué)[1-2]。剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)將剛體平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)作為剛體的基本運(yùn)動(dòng)，剛體平面運(yùn)動(dòng)可視為剛體上某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和繞通過(guò)該點(diǎn)的軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成，剛體的一般運(yùn)動(dòng)可視為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)[3-4]的合成。剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和繞質(zhì)心軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理，其意義是剛體受力為主動(dòng)力及主動(dòng)力力矩（此時(shí)可將剛體看成孤立物體）時(shí)剛體運(yùn)動(dòng)遵循的動(dòng)力學(xué)方程，求解剛體任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需附加剛體質(zhì)心的初始位置和初始速度、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的初始角位置和初始角速度（剛體運(yùn)動(dòng)的初始條件），比求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程多了定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的初始條件。但是，當(dāng)剛體在支撐物上運(yùn)動(dòng)時(shí)，支撐物對(duì)剛體的影響不但體現(xiàn)為施加于剛體上的力或力矩（出現(xiàn)在剛體動(dòng)力學(xué)方程中），而且限制剛體的運(yùn)動(dòng)，這種限制一般教材采用“約束條件”表示。比如剛體平面運(yùn)動(dòng)中的無(wú)滑滾動(dòng)，一般教材直接運(yùn)用科尼希定理+“無(wú)滑滾動(dòng)條件”建立方程，無(wú)滑滾動(dòng)條件是支撐物對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)限制的數(shù)學(xué)表述。文獻(xiàn)[1]中直接給出無(wú)滑滾動(dòng)條件，對(duì)“無(wú)滑滾動(dòng)條件”沒(méi)有更多的物理解釋?zhuān)嗄甑慕虒W(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)無(wú)滑滾動(dòng)條件理解較難。主要有三種表現(xiàn)：（1）對(duì)“無(wú)滑滾動(dòng)條件”的本質(zhì)不清楚；（2）求解問(wèn)題不根據(jù)實(shí)際情況濫用“無(wú)滑滾動(dòng)條件”；（3）不利于培養(yǎng)學(xué)生從系統(tǒng)角度研究物理問(wèn)題的思維方式。從而造成教學(xué)和學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。

文中黑粗體符號(hào)表示矢量。

1 定解問(wèn)題方法

剛體是有大小的系統(tǒng)，必有邊界，根據(jù)定界問(wèn)題思想，系統(tǒng)的演化需要范定方程、邊界條件、初始條件共同確定。對(duì)于典型的無(wú)滑滾動(dòng)問(wèn)題，約束方程的本質(zhì)是系統(tǒng)的邊界條件。對(duì)于其他情況，約束方程本質(zhì)也是邊界條件。本文從教學(xué)的角度，深入研究無(wú)滑滾動(dòng)問(wèn)題，揭示“無(wú)滑滾動(dòng)條件”的物理本質(zhì)。

剛體平面運(yùn)動(dòng)時(shí)如果與其他物體接觸發(fā)生無(wú)滑滾動(dòng)，剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為剛體質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和剛體對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定理：

其中F，Mz是剛體所受合外力及相對(duì)于質(zhì)心的合外力矩在z軸的投影。將剛體作為一個(gè)系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)方程式理解為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的泛定方程[5]，“無(wú)滑滾動(dòng)條件”作為剛體系統(tǒng)的邊界條件，即為剛體邊界與支撐物之間的運(yùn)動(dòng)約束條件，初始條件為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的初始條件和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的初始條件。通過(guò)建立定解問(wèn)題，求解定解問(wèn)題的思路講解無(wú)滑滾動(dòng)，可以幫助學(xué)生理清思路，明確無(wú)滑滾動(dòng)條件的物理本質(zhì)是邊界條件，為后期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方法課程中的定解問(wèn)題奠定物理基礎(chǔ)。

定解問(wèn)題思想處理剛體無(wú)滑滾動(dòng)問(wèn)題一般步驟如下：（1）受力分析；（2）描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)；（3）建立范定方程（動(dòng)力學(xué)方程）；（4）給出剛體運(yùn)動(dòng)的邊界條件及系統(tǒng)的其初始條件；（5）求解定解問(wèn)題；（6）結(jié)果討論。下面通過(guò)兩個(gè)例題說(shuō)明定解問(wèn)題思想解題的思路。

2 無(wú)滑滾動(dòng)例題

【例題一】

圖1 剛體沿斜面無(wú)滑滾動(dòng)

解：

（2）剛體平面運(yùn)動(dòng)：質(zhì)心做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)繞質(zhì)心軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

（3）建立泛定方程：圓柱體平面運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足科尼希定理（基本定律）：

（4）給出剛體運(yùn)動(dòng)的邊界條件及其初始條件：系統(tǒng)的邊界條件：圓柱體只有點(diǎn)（通過(guò)的線(xiàn)）與斜面相接觸，無(wú)滑滾動(dòng)表明圓柱體與斜面接觸的點(diǎn)與斜面上的點(diǎn)對(duì)速度（線(xiàn)速度）和加速度（線(xiàn)加速度）相等，即，，斜面固定點(diǎn)的加速度，所以：

式是圓柱體運(yùn)動(dòng)的邊界條件。圓柱體上點(diǎn)的線(xiàn)加速度與角加速度之間的關(guān)系為：，所以式表示的標(biāo)量形式為：

即教材[1]中直接陳述的“無(wú)滑滾動(dòng)條件”。式可看成邊界條件。這是剛體“無(wú)滑滾動(dòng)條件”的本質(zhì)。

（5）定界問(wèn)題求解：構(gòu)成的圓柱體無(wú)滑滾動(dòng)的定解問(wèn)題，唯一解為：

（6）結(jié)果討論：圓柱體質(zhì)心勻加速下滑，并繞質(zhì)心勻角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

【例題二】

圖2 圓柱體在滑板上的運(yùn)動(dòng)

解：

（1）受力分析：此系統(tǒng)包含圓柱體和滑板，對(duì)于圓柱體，受力分析見(jiàn)圖2，受重力，支持力和摩擦；對(duì)于滑板，受重力，地面的支持力，壓力和摩擦力，拉力，見(jiàn)圖2。

（3）建立圓柱體運(yùn)動(dòng)的泛定方程：

所以圓柱體運(yùn)動(dòng)的邊界條件為：

根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的圓柱體上任一點(diǎn)的線(xiàn)加速度與角加速度的關(guān)系，式可表示為式：

系統(tǒng)的初始條件為：

（5）求解定界問(wèn)題：將式、式投影到坐標(biāo)軸，解方程得圓柱體的質(zhì)心加速度、角加速度，滑板的加速度為：

考慮式，運(yùn)用勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)及勻角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)公式，可求解圓柱體及其滑板的運(yùn)動(dòng)方程。

（6）結(jié)果討論：式表明滑板和圓柱體質(zhì)心都做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，圓柱體角加速度恒定。

3 結(jié)語(yǔ)

研究對(duì)象視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)不考慮物體大小，所以不需要邊界條件，將研究對(duì)象近似為剛體時(shí)，考慮了物體的大小，研究時(shí)需要考慮邊界條件。學(xué)生求解剛體問(wèn)題時(shí)亂用“無(wú)滑滾動(dòng)條件”，其根本原因是不理解其本質(zhì)所造成的。在教學(xué)中運(yùn)用定解問(wèn)題思想求解剛體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，一方面有利于學(xué)生對(duì)“無(wú)滑滾動(dòng)條件”本質(zhì)的理解，另一方面能避免“無(wú)滑滾動(dòng)條件”的亂用，同時(shí)能為大一新生初步建立用定解問(wèn)題思想研究物理問(wèn)題的方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。