張林闖，杜欣燁，金洪洪，周 偉，孫永輝

（河海大學(xué) 能源與電氣學(xué)院，江蘇 南京 210098）

在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行過程中，突然的外部環(huán)境變化、子零部件失效等因素導(dǎo)致系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)不可避免地發(fā)生變化。為了精確、合理地模擬該類系統(tǒng)的實(shí)時(shí)運(yùn)行狀態(tài)，Markov跳變系統(tǒng)理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在實(shí)際系統(tǒng)中，并涌現(xiàn)出大量的研究成果[1-4]。然而，在Markov跳變系統(tǒng)理論中，駐留時(shí)間遵循指數(shù)分布且具有無記憶性。這種無記憶性分布極大地限制了Markov跳變系統(tǒng)理論的應(yīng)用。隨后，一些學(xué)者提出了semi-Markov跳變系統(tǒng)理論，改善了Markov跳變系統(tǒng)理論的應(yīng)用前景[5-7]。文獻(xiàn)[8]針對(duì)含奇異攝動(dòng)的離散semi-Markov跳變系統(tǒng)模型，提出了一種基于離散時(shí)間semi-Markov核方法的慢狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。文獻(xiàn)[9]考慮離散線性semi-Markov跳變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換率是部分已知的情況，引入了不完全semi-Markov核的概念，并提出了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制方案。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[10]考慮了非線性特征和參數(shù)不確定性對(duì)semi-Markov跳變系統(tǒng)性能的影響，引入了區(qū)間二型方法，建立了非線性semi-Markov跳變系統(tǒng)模型，并提出了故障診斷策略。

在上述關(guān)于semi-Markov跳變系統(tǒng)的研究成果中，都是假設(shè)系統(tǒng)的模態(tài)信息能夠?qū)崟r(shí)捕獲，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)與控制器/濾波器/觀測(cè)器之間的模態(tài)信息傳遞。然而，在實(shí)際系統(tǒng)的信息傳輸過程中，由于信號(hào)傳輸時(shí)延、信息測(cè)量不及時(shí)等情況時(shí)有發(fā)生，這使得實(shí)時(shí)捕捉系統(tǒng)模態(tài)信息的任務(wù)是很難實(shí)現(xiàn)的。因此，許多專家學(xué)者提出了隱Markov/semi-Markov過程的概念，以保障控制器/濾波器/觀測(cè)器的性能免受異步模態(tài)信息的影響[11-17]。在這些研究成果中，文獻(xiàn)[11]針對(duì)連續(xù)型semi-Markov跳變系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了異步線性濾波器，并提出了Energy-to-Peak濾波方法。文獻(xiàn)[14]考慮系統(tǒng)在信號(hào)傳輸時(shí)欺騙攻擊對(duì)傳輸網(wǎng)絡(luò)的影響，基于事件觸發(fā)策略，提出了具有安全性的無源控制器設(shè)計(jì)方法。值得注意的是，上述研究成果在處理系統(tǒng)異步模態(tài)信息時(shí)，主要采用已知的條件概率進(jìn)行描述，但實(shí)際系統(tǒng)通常是在極其復(fù)雜的環(huán)境下進(jìn)行信息傳輸?shù)?，難以準(zhǔn)確測(cè)量系統(tǒng)與控制器/濾波器之間的轉(zhuǎn)移概率。

在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[18]引入了模態(tài)轉(zhuǎn)移概率與時(shí)變發(fā)射概率模型，提出了基于異步觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的穩(wěn)定控制策略，極大地降低了先前成果的保守性。然而，現(xiàn)有研究成果對(duì)時(shí)變發(fā)射概率方法只是進(jìn)行了初步探索，基于semi-Markov跳變系統(tǒng)模型的線性跳變系統(tǒng)，借助時(shí)變發(fā)射概率方法，如何設(shè)計(jì)一個(gè)有效的非同步靜態(tài)輸出反饋控制器還沒有被徹底解決。本文基于semi-Markov理論構(gòu)建線性跳變系統(tǒng)模型，提出基于時(shí)變發(fā)射概率方法的非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)策略。

符號(hào)說明： E(·) 表 示數(shù)學(xué)期望。H e(A)表示矩陣A與其轉(zhuǎn)置的和。AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置。

1 問題描述

1.1 線性跳變系統(tǒng)模型

考慮外界環(huán)境因素會(huì)使實(shí)際系統(tǒng)的參數(shù)、結(jié)構(gòu)發(fā)生變化等現(xiàn)象，在本節(jié)中使用semi-Markov跳變系統(tǒng)模型去模擬這類系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。首先，給定概率空間 (Ω,F,P) ，其中Ω、F和P分別表示樣本空間、樣本空間子集的代數(shù)和事件概率。基于semi-Markov跳變系統(tǒng)模型，線性跳變系統(tǒng)模型如式(1)所示。

式中：x(t)∈Rnx為隨機(jī)跳變系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u(t)∈Rnu 為系統(tǒng)的控制輸入，w(t)∈Rnw為外部干擾信號(hào)且屬于L2[0,∞)，y(t)∈Rny為系統(tǒng)的測(cè)量輸出信號(hào)，α(t)為連續(xù)時(shí)間的齊次semi-Markov過程且取值在有限集 合N={1,2, ···,N1} 內(nèi)，N1為 系統(tǒng) 的 模 態(tài) 總 數(shù)。Aα(t)、Bα(t)、Cα(t)和Dα(t)為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)系統(tǒng)矩陣。為了符號(hào)簡(jiǎn)化，定義 α (t)=i，系統(tǒng)模型(1)可表示為

注釋1 由上述可知，系統(tǒng)的模態(tài)轉(zhuǎn)移速率πhij僅取決于參數(shù)h。 參數(shù)h表 示駐留時(shí)間且不同于時(shí)間t，即系統(tǒng)最近一次跳變所消耗的時(shí)間。因此，當(dāng)系統(tǒng)模態(tài)發(fā)生變化時(shí)，駐留時(shí)間h設(shè)置為0。

1.2 模態(tài)受限下線性跳變系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)

基于上述線性跳變系統(tǒng)模型(2)，設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器為

式中：參數(shù)Ki為待確定的控制器增益。根據(jù)控制器(3)，不難發(fā)現(xiàn)控制器的設(shè)計(jì)依賴于系統(tǒng)模態(tài)i且與系統(tǒng)模態(tài)是實(shí)時(shí)匹配的。因此，需要確保系統(tǒng)的模態(tài)變化是實(shí)時(shí)可觀測(cè)的。然而，在實(shí)際系統(tǒng)中，其模態(tài)信息可能不是連續(xù)可接收的，這使得系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)并不是實(shí)時(shí)匹配的。針對(duì)這種模態(tài)受限現(xiàn)象，引入隱semi-Markov過程去模擬系統(tǒng)模態(tài)的變化。根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知,在隱semi-Markov過程中，所有的狀態(tài)是隱藏的且能夠發(fā)射一些可觀測(cè)的信號(hào)。為了更清晰地描述該過程，引入以下概念：(1) 轉(zhuǎn)移概率：描述隱藏狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律；(2) 發(fā)射概率：描述隱藏狀態(tài)所發(fā)射可觀測(cè)信號(hào)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律。

2 主要結(jié)論

在本節(jié)中，主要討論閉環(huán)線性跳變系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定的充分條件以及在時(shí)變發(fā)射概率方法下非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)過程。

注釋4 在現(xiàn)有線性跳變系統(tǒng)非同步輸出反饋控制的研究成果中，文獻(xiàn)[21]對(duì)于線性跳變系統(tǒng)使用Markov跳變系統(tǒng)模型進(jìn)行建模，而且通過一種固定轉(zhuǎn)移概率描述系統(tǒng)模態(tài)之間、系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)之間的關(guān)系，進(jìn)而提出了非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)方法。因此，與文獻(xiàn)[21]相比，本文的研究成果進(jìn)一步降低了其保守性，而且更加適用于實(shí)際系統(tǒng)。

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，旨在通過數(shù)值仿真分析驗(yàn)證所提基于時(shí)變發(fā)射概率方法的線性跳變系統(tǒng)非同步靜態(tài)輸出反饋控制策略的有效性與正確性。首先，考慮含有兩個(gè)模態(tài)變化的線性跳變系統(tǒng)(2)。

依據(jù)上述理論以及數(shù)值信息，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行0～50 s的仿真測(cè)試，仿真結(jié)果如圖1～4所示。圖1表示線性跳變系統(tǒng)的模態(tài)變化情況。圖2表示在時(shí)變發(fā)射概率下非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的模態(tài)變化情況。系統(tǒng)的狀態(tài)變化如圖3～4所示。圖3表示開環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)變化。圖4表示閉環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)變化。從圖3～4可以看出，本文所提的控制方法能夠保障系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。因此，該控制方法是有效且正確的。

圖1 線性跳變系統(tǒng)的模態(tài)變化Fig.1 Mode change of linear jump systems

圖2 靜態(tài)輸出反饋控制器的模態(tài)變化Fig.2 Mode change of static output feedback controller

圖3 開環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig.3 State responses of open-loop linear jump system

圖4 閉環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 State responses of closed-loop linear jump system

4 結(jié)論

本文基于時(shí)變發(fā)射概率方法，研究了模態(tài)受限線性跳變系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)問題?？紤]外部環(huán)境使系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的現(xiàn)象，本文充分發(fā)揮了semi-Markov跳變系統(tǒng)模型的優(yōu)勢(shì)，建立了基于semi-Markov理論的線性跳變系統(tǒng)模型。為了保障系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，設(shè)計(jì)了一個(gè)非同步靜態(tài)輸出反饋控制器?？紤]系統(tǒng)模態(tài)受限的情況，本文采用了隱semi-Markov轉(zhuǎn)移概率模型與時(shí)變發(fā)射概率模型模擬系統(tǒng)與控制器之間的模態(tài)關(guān)系。此外，通過使用Lyapunov穩(wěn)定性理論與線性矩陣不等式方法，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件以及非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件。最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提控制方法的有效性與正確性。基于上述內(nèi)容，本文的貢獻(xiàn)點(diǎn)包括以下幾個(gè)方面：(1) 考慮一類基于semi-Markov跳變系統(tǒng)模型的線性隨機(jī)跳變系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于時(shí)變發(fā)射概率方法的非同步靜態(tài)輸出反饋控制器；(2) 提出了semi-Markov跳變系統(tǒng)的輸出反饋控制新框架；(3) 提出了閉環(huán)semi-Markov跳變系統(tǒng)新的穩(wěn)定性條件以及控制器存在條件。與一些現(xiàn)有模態(tài)受限系統(tǒng)穩(wěn)定控制策略相比，所提方法能夠克服時(shí)不變發(fā)射概率的保守性。在將來的工作中，希望所提控制方法能夠應(yīng)用到更多系統(tǒng)模型中[23-24]。