王倩楠葛玉輝*孔 飛

(1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093;2.浙江泰信物產(chǎn)有限公司,浙江 杭州 310002)

0 引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)進步與消費升級換代,互聯(lián)網(wǎng)銷售和新零售市場的探索和角逐日趨激烈。國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示,2019 年全國實物商品網(wǎng)上零售額8.52 萬億元,比上年增長19.5%,占社會消費品零售總額的比重為20.7%。消費市場對吃、穿、用等日常消費品的品質(zhì)和購買體驗提出了更高的要求,互聯(lián)網(wǎng)和新零售市場供應(yīng)鏈能力成為行業(yè)競爭與企業(yè)制勝的關(guān)鍵。

傳統(tǒng)電商的集中式倉配模式中間環(huán)節(jié)多、損耗高,是制約供應(yīng)鏈總體性能的關(guān)鍵問題。新零售企業(yè)不斷嘗試整合下游需求和上游產(chǎn)地直采,持續(xù)優(yōu)化供應(yīng)鏈,在單點庫存控制基礎(chǔ)上形成的多級庫存系統(tǒng)是對供應(yīng)鏈資源進行全局優(yōu)化配置的一種庫存管理模式[1],多層級的供應(yīng)鏈模型可以靈活應(yīng)對各種豐富的新零售場景。隨著互聯(lián)網(wǎng)銷售和新零售的快速發(fā)展,分布式庫存系統(tǒng)在實踐中的應(yīng)用越來越廣泛,各類企業(yè)積極布局中心倉、前置倉、移動支付、云計算等線上、線下領(lǐng)域的協(xié)同營銷。如京東一直致力于打造多級分倉,不斷提高訂單響應(yīng)速度和物流時效,已建立以北京、上海、廣州、沈陽、武漢、西安、成都、德州等八大物流中心為基礎(chǔ)覆蓋全國的銷售網(wǎng)絡(luò),全國運營超過730 個倉庫,物流大件和中小件網(wǎng)絡(luò)已幾乎實現(xiàn)大陸行政區(qū)縣100%覆蓋。憑借其強大的庫存管理優(yōu)勢,90%以上的京東自營訂單可以在24小時內(nèi)送達,超160 座城市可實現(xiàn)1 小時極速達。與京東庫存管理模式不同,天貓超市原來采用的是集中式庫存管理,商品進入菜鳥倉后根據(jù)消費者訂單從就近倉庫發(fā)貨,在時效性上具有一定的劣勢。為搶占市場客流,天貓超市2019 年宣布戰(zhàn)略升級,通過大數(shù)據(jù)鎖定消費者高需求高密度區(qū)域,在線下聯(lián)合生態(tài)合作伙伴建立近端履約中心提升服務(wù)能力,力爭低成本、高效率地實現(xiàn)對“最后一公里”商超消費的全面覆蓋。對大多數(shù)電商來說,通常會在各大區(qū)域(如華東地區(qū))設(shè)立區(qū)域倉(中心倉),而在各城市設(shè)立前置倉。圖1 展示了電商的庫存管理模式。前置倉的設(shè)立能夠使得顧客在較短時間內(nèi)取得產(chǎn)品,滿足消費者個性化需求,在訂單響應(yīng)速度和配送成本方面都有明顯優(yōu)勢。但由于訂單的不確定性,電商運營前置倉也面臨著貨物配置不合理、損耗相對較高等難題。分布式庫存管理策略不要求所有倉庫的庫存均在安全庫存以上,只要總庫存量保存在系統(tǒng)的安全庫存以上,允許個別倉庫的庫存量降至訂貨點,從而有效降低整個庫存系統(tǒng)的管理成本,并且各倉庫之間可在中心倉的協(xié)調(diào)控制下進行調(diào)撥,能降低供應(yīng)商與生產(chǎn)商之間的協(xié)調(diào)及配送成本。

圖1 電商庫存管理模式Figure 1 The inventory management model of E-commerce

對于電商而言,分布式庫存管理主要問題之一是如何通過前置倉的需求信息,制定合理、高效的庫存策略。具體地說,如何制定中心倉向外部供應(yīng)商的補貨策略;如何制定前置倉向中心倉的補貨策略;在中心倉缺貨時,如何制定中心倉向前置倉的庫存分配策略。同時,批量銷售在實際中尤為常見。為了運輸?shù)姆奖慊蛘咭?guī)模經(jīng)濟的原因,訂貨量通常有批量的要求,例如酒、水、飲料等通常是以箱為訂貨單位。因此,研究基于批量銷售的分布式庫存系統(tǒng)具有重要的現(xiàn)實意義。

多級供應(yīng)鏈庫存管理研究一直以來都是庫存管理研究方向的重要分支。從上世紀50 年代至今,已經(jīng)引起了眾多學(xué)者的關(guān)注。多級供應(yīng)鏈庫存管理問題按照供應(yīng)鏈的結(jié)構(gòu)可以分為:鏈式、集成式、分布式以及混合式庫存問題。相對而言分布式庫存管理系統(tǒng)的研究難度頗大。除了一些相對簡單的系統(tǒng)外(例如需求是確定情形下),大部分分布式庫存系統(tǒng)的最優(yōu)策略要么很難完全刻畫出來,要么太過于復(fù)雜以至于很難在現(xiàn)實中應(yīng)用。因此,大部分的研究都聚焦在啟發(fā)式策略的設(shè)計。本文首次研究了基于批量銷售的分布式庫存系統(tǒng),證明了在平衡假設(shè)下系統(tǒng)具有可分性,即原問題可以分解成若干單級庫存管理系統(tǒng)。同時,證明可分系統(tǒng)的目標函數(shù)具有強Q-跳凸性,從而刻畫了在平衡假設(shè)下的系統(tǒng)最優(yōu)策略服從(r,Q)策略。盡管系統(tǒng)可分性大大降低了問題求解的計算量,但是對于大規(guī)模問題仍然面臨求解困難。因此,本文進一步提出了基于可分性的近視策略,并且證明了該策略的最優(yōu)條件。

1 相關(guān)研究回顧

1.1 分布式庫存系統(tǒng)

目前學(xué)術(shù)界對具有隨機需求的分布式庫存系統(tǒng)進行了廣泛的研究。Simchi-Levi 和Zhao 的綜合調(diào)查研究比較了多種啟發(fā)式方法和評估方法的優(yōu)劣、區(qū)別和聯(lián)系[2]。周期盤點系統(tǒng)的研究可參考Eppen 和Schrage[3]、Graves[4]以及Axs?ter[5]等人的文獻,連續(xù)盤點庫存策略可參考Lee 和Moinzadeh[6]、Axs?ter[7]的文獻。

對于具有一對一補貨策略(或等效的訂貨上限策略)的連續(xù)性盤點分布式庫存管理研究,Sherbrooke[8]提出了可修復(fù)備件多級供應(yīng)技術(shù)(METRIC),用于近似評估全系統(tǒng)成本。這種方法將零售商的提前期近似為運輸時間加上由于可能的短缺而導(dǎo)致的倉庫平均延遲。此后,Graves[9]開發(fā)了改進的啟發(fā)式方法,Axs?ter[10]提出了一種計算全系統(tǒng)成本的精確方法。對于批量訂貨策略,Duermeyer 和Schwarz[11]對批量訂貨零售商使用METRIC 類型的方法。Chen 和Zheng[12]檢驗了梯級庫存(r,Q)策略,并提出了一種基于泊松過程需求的對總庫存持有量和短缺成本(不包括固定成本)的精確成本評估方法。

一些文獻還考察了優(yōu)于傳統(tǒng)(r,Q)策略的優(yōu)化批量訂貨策略。Moinzadeh[13]、Axs?ter 和Marklund[14]研究了分布式庫存系統(tǒng)中的倉庫訂貨問題,在該系統(tǒng)中,多個零售商對同一批量Q 使用(r,Q)策略。?zer[15]檢驗了具有提前需求信息的分銷系統(tǒng),提出了一種基于從下界問題的解決方案中獲得狀態(tài)依賴的基本庫存水平來計算總訂單量的啟發(fā)式策略。然而,上述研究的標準或采用(r,Q)的策略都基于在任何層級均沒有明確固定成本的關(guān)鍵假設(shè)。

對于分布式庫存系統(tǒng),只有少數(shù)文獻考慮了固定成本。一部分研究旨在為全系統(tǒng)最優(yōu)成本提供下界,如Clark 和Scarf[16]、Federgruen 和Zipkin[17]以及Chen 和Zheng[18]。另一部分研究旨在為具有固定成本的分銷系統(tǒng)制定啟發(fā)式策略,特別是收取固定成本的兩種不同計費方案:第一種基于每個訂單,第二種基于每次運輸。前者通常用于生產(chǎn)系統(tǒng),其中機器安置成本占據(jù)大部分的固定成本;而后者在庫存分銷系統(tǒng)中較為普遍,在該系統(tǒng)中,固定成本通常在物流中產(chǎn)生,如卡車裝載運輸、揀選和接收。Hu 和Yang[19]考慮了具有固定成本的多級鏈式庫存管理,提出了新的策略改進的多級(r,Q)策略,并證明了其理論效率。Yang 等[20]考慮了具有現(xiàn)貨市場的多級集成式庫存管理系統(tǒng),刻畫了最優(yōu)策略。Zhu 等[21]研究了具有固定成本的多級分布式庫存系統(tǒng),證明了改進的多級(r,Q)策略的漸進最優(yōu)性。

1.2 基于批量訂貨的庫存模型

現(xiàn)有文獻已對批量訂貨模型進行了廣泛的研究。Veinott[22]證明了批量訂貨(r,nQ)策略對于解決單階段周期性庫存盤點問題的最優(yōu)性。Chen[23]將Veinott 的研究結(jié)論擴展至長期平均標準下的多級模型。在此基礎(chǔ)上,Chao 和Zhou[24]將Chen 的研究結(jié)果拓展到探索可能包含多盤點周期批量訂貨和固定補貨間隔的串行系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性。以上所有研究均要求系統(tǒng)平穩(wěn)。Huh 和Janakiraman[25]提出了強Q-跳凸性,將Chen[23]的研究擴展到非平穩(wěn)環(huán)境。強Q-跳凸性的概念也有助于我們分析短視策略的最優(yōu)條件。Yang等[26]進一步研究了批量訂貨中的庫存定價問題。此外,Yang 等[27]考慮了具有批量訂貨的多級鏈式庫存系統(tǒng),證明了若干近視策略的最優(yōu)性。

從已有研究成果來看,學(xué)術(shù)界對于分布式的庫存管理系統(tǒng)雖進行了深入的探討,但是還沒有文獻考慮過基于批量訂貨的分布式庫存系統(tǒng)。本文首次研究了該系統(tǒng),證明了在平衡假設(shè)下系統(tǒng)具有可分性,即原問題可以分解成若干單級庫存管理系統(tǒng)。同時,本文證明可分系統(tǒng)的目標函數(shù)具有強Q-跳凸性,從而刻畫了在平衡假設(shè)下的系統(tǒng)最優(yōu)策略服從(r,Q)策略。盡管系統(tǒng)可分性大大降低了問題求解的計算量,但是對于大規(guī)模問題仍然面臨求解困難。因此,本文進一步提出了基于可分性的近視策略,并且證明了該策略的最優(yōu)條件。

2 模型描述

2.1 動態(tài)規(guī)劃模型

多級分布式庫存管理系統(tǒng)由一個中心倉庫(鏈級0)和多個前置倉(鏈級i,i=1,…,N)構(gòu)成(見圖2)。前置倉從中心倉庫補充庫存,中心倉庫可以從外部的供應(yīng)商訂貨。假設(shè)外部供應(yīng)商無產(chǎn)能限制。定義c0為中心倉庫的單位訂購成本,并在不失一般性的情況下將前置倉的單位訂購成本設(shè)置為零。前置倉的需求是隨機的且在各個期間之間獨立,但不一定服從同一分布。前置倉之間的需求可能有一定的相關(guān)性。每個級的庫存補給需要固定的交付時間。假設(shè)從外部供應(yīng)商到中心倉庫的訂單交貨時間為L0,從中心倉庫到前置倉i的訂單交貨時間為Li。前置倉i在每個時期的訂單數(shù)量都必須是特定批量大小Qi的整數(shù)倍,而中心倉在每個時期的訂單數(shù)量都必須是特定批量大小Q0的整數(shù)倍。每級訂貨不允許分批裝運。假設(shè)前置倉的批量大小相等,并且中心倉庫中的批量大小是零售商批量大小的整數(shù)倍,也就是說,存在一個整數(shù)m,使得Q0=mQi。需求滿足后,剩余庫存將結(jié)轉(zhuǎn)至下一期,前置倉i的未滿足需求(缺貨) 也將延期到下期滿足,且每個時期內(nèi)每個缺貨訂單的實際缺貨成本。用和分別表示在中心倉庫i和前置倉i處的單位單級庫存持有成本。企業(yè)的目標是在T時期內(nèi)將預(yù)期的全系統(tǒng)范圍總成本降至最低。

圖2 分布式庫存管理系統(tǒng)Figure 2 Distribution inventory system

每個時期的事件發(fā)生順序如下:每個時期開始時,(1)每級i向其上級i+1 下訂單;(2) 每個第i級都將收到從第i+1級在Li期前發(fā)出的訂單;(3)當期的隨機需求實現(xiàn);(4)各級用手頭的庫存滿足需求并支付相應(yīng)的庫存費用。

參考以往文獻,首先介紹以下關(guān)鍵概念。第i級的級庫存水平(echelon inventory)是指第i級的現(xiàn)有庫存加上其下游所有級或正在轉(zhuǎn)移到其所有下游級的庫存減去第1 級的缺貨總額。第i級的級庫存位置(echelon inventory position)是該級庫存的總和加上運輸?shù)降趇級的庫存。第i級的級庫存(echelon inventory stock)是第i級的級庫存位置與第i級的當前訂單數(shù)量之和。

該模型采用以下成本核算方案:在時間t,收取在時間t+Li發(fā)生的第i級的庫存持有/補貨成本。該成本會計方案僅在各個時間點之間轉(zhuǎn)移成本,不會影響整個期限范圍內(nèi)的總庫存持有量和缺貨成本。它的直觀解釋為:在時間t+Li之前,級i在時間t下的訂單不會影響該級i的庫存/補貨成本。

對于不同時期t=1,2,…,T和不同級i=0,1,2,…,N,定義以下變量:

zi,t=事件(2)中級i的訂貨數(shù)量;

qi,t=,事件(1) 之后階段i的在途庫存,其中是需要在τ時間內(nèi)達到的庫存,τ=1,2,…,Li-1;

定義ΩQ={z|z=mQ,m∈Z+}。由于每個級i的訂單大小必須是Qi的非負整數(shù)倍,因此表示訂單決策zi,t的可行域,即zi,t∈。

公式(1)～(3)刻畫出庫存動態(tài)變化方程。

首先考慮庫存決策的約束?？梢赃\到前置倉的總庫存值應(yīng)小于或等于中心倉庫的現(xiàn)有庫存,即。定義zt=(z1,t,…,zN,t)。因此,周期t中的可行決策集可以表示為:

其中,

在此模型中,對于級i,時段t中的庫存訂單直到到達該級時才會影響該級的庫存水平。因此,可以使用級庫存變換的思想來簡化建模。將xi,t定義為第i級的庫存位置。對于周期t=1,2,…,T,則有

因此,定義以下級變量(echelon variables):

其中yi,t表示在i級的訂購后的級庫存位置。

在級庫存變量下,系統(tǒng)狀態(tài)的動態(tài)方程為:

定義ΩQ(x)={y|y=x+mQ,m∈Z+}。由于每個級i的訂單大小必須是Qi的非負整數(shù)倍,因此補貨后級庫存位置決策變量yi,t的可行區(qū)域可以用來表示,即yi,t∈。定義xt=(x1,t,x2,t,…,x3,t),及yt=(y1,t,y2,t,…,y3,t)。可行的決策集變?yōu)?

用h0表示中心倉庫的級庫存持有成本率,用hi和bi表示級i處的級庫存持有率和缺貨成本率。定義。定義與每個級相關(guān)的級持有/補貨成本如下:

定義Dt=(D1,t,D2,t,…,DN,t),在級庫存位置的定義下,原問題的動態(tài)規(guī)劃方程可以寫成以下形式:

其中相應(yīng)的終止條件公式為:VT+1(x0,T+1,xT+1)=0。

將(8)稱為簡化模型的級庫存建模公式。針對問題(8),仍然很難獲得該問題的最優(yōu)策略,因為它是一個多維動態(tài)規(guī)劃問題,會面臨維數(shù)災(zāi)難。為了易于處理,需要以下假設(shè)。

平衡假設(shè):在每個時期,假設(shè)可以將任意兩個前置倉持有的庫存彼此之間即時地、免費地轉(zhuǎn)運。在平衡假設(shè)下,原始問題(4)等價于問題(8)。由于第i級在t期訂的貨在Li期后到達第i級,也就是說第i級在t期訂的貨不會影響第i級的庫存費用。那么,可以在t期收取第i級的t+Li期的庫存費用。如此的計費方式不會影響第i級的庫存決策。因此,通過簡單的數(shù)學(xué)變化,可以證明原始問題(4)等價于問題(8)。

2.2 強Q-跳凸性

為了下面的最優(yōu)策略分析和啟發(fā)式策略分析,需要下面的函數(shù)定義以及相應(yīng)的性質(zhì)(參閱Huh 和Janakiraman[25]以及Yang 等[20])。

定義1強Q-跳凸函數(shù)。如果對于任何z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,函數(shù)f(x):?→?,是強Q-跳凸函數(shù),如果滿足

其中ΔQf(x)=f(x+Q)-f(x),以下引理概括了強Q-跳凸函數(shù)的一些性質(zhì)。

引理1強Q-跳凸函數(shù)的性質(zhì)。

(a) 對于某個m∈?+滿足Q2=mQ1,如果f(x) 強Q1-跳凸函數(shù),則f(x) 也是強Q2-跳凸函數(shù)。

(b) 如果f(x) 是強Q-跳凸函數(shù)且α是正標量,則αf(x)也是跳變凸函數(shù)。

(c) 任意兩個強Q-跳凸函數(shù)之和也是強Q 跳變凸函數(shù)。

(d) 如果v(x) 是強Q-跳凸函數(shù)且W 是非負隨機變量,則G(y)=Ew{v(y-W)} 也是強Q-跳凸函數(shù)。

(e) 假設(shè)fi(x),i=1,….,N是強Q-跳凸函數(shù),則

對于任意z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,方程f(x):?→?是強Q-跳凸函數(shù),

引理1 的證明:

(a) 當f(x) 是強Q1-跳凸函數(shù),滿足以下特性:對于任意z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,

對于任意z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,我們有

其中第二個不等式來自(9)。因此,根據(jù)強Q-跳凸性的定義,f(x) 是Q2-跳凸函數(shù)。

(b) 當f(x) 是強Q-跳凸函數(shù),它滿足(9)的特性。可以直接得出對于任意z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,

其中第二個不等式來自(9)。因此,αf(x) 也是強Q-跳凸函數(shù)。

(c) 假設(shè)f(x) 和g(x) 是強Q-跳凸函數(shù),即f(x) 和g(x) 都滿足(1)的特性。對于任意z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,則有

其中第二個不等式來自(9),因此f(x)+g(x) 也是強Q-跳凸函數(shù)。

(d)在不失一般性的前提下,假設(shè)W 的分布可以描述為P(w=i)=λi,i=0,1,2,…W,其中W是上限,且=1,則G(y)=。對于任何給定的i,都可以很容易檢驗出v(y-i) 是強Q-跳凸函數(shù)方程。根據(jù)(b)和(c),可以認為G(y) 也是強Q-跳凸函數(shù)。

進一步通過兩個例子證明以上結(jié)果。

梳理以上兩個例子得出,對于任意z1∈?,z2∈?,且z1≥z2,

這表明f(x) 也是強Q-跳凸函數(shù),證明完畢。

3 最優(yōu)策略和啟發(fā)式策略

本文首先證明在平衡假設(shè)下系統(tǒng)具有可分性,即原問題可以分解成若干單級庫存管理系統(tǒng);同時證明可分系統(tǒng)的目標函數(shù)具有強Q-跳凸性,從而刻畫了在平衡假設(shè)下的系統(tǒng)最優(yōu)策略服從(r,Q)策略;其次,進一步提出了基于可分性的近視策略,并且證明了該策略的最優(yōu)條件。

3.1 最優(yōu)策略分析

接下來,本文將在平衡假設(shè)下對問題(8)進行后續(xù)分析,并簡要介紹如何將原始系統(tǒng)分解為N+1 個單級系統(tǒng)的思路。在進一步介紹之前,首先介紹以下級(r,Q) 庫存策略:當庫存水平降到臨界值r以下,則生產(chǎn)/訂購足夠的產(chǎn)品,以使總庫存進入或盡可能接近區(qū)間[r,r+Q);否則,無需訂貨。

對于第i級,i=1,2,…,N,采用以下成本核算方案:在時間t,收取在時間t+Li發(fā)生的第i級的庫存持有/缺貨成本。該成本核算方案僅跨時間點轉(zhuǎn)移成本,因此不會影響整個計劃范圍內(nèi)的總庫存持有量和缺貨成本。它具有直觀的解釋:在時間t之前,級i在時間t下的訂單不會影響級i的庫存持有和缺貨成本。根據(jù)定義,第i級在時期t+Li處的級庫存水平為yi,t-,因此,相應(yīng)的預(yù)期持有和缺貨成本為Hi,t(yi,t)。

假設(shè)中心倉(即級0)的庫存充足。在此假設(shè)下,級i的問題變?yōu)閱渭墡齑婀芾韱栴},可以建立以下動態(tài)規(guī)劃問題:

定義:

稍后本文將證明目標函數(shù)Vi,t(xi,t) 是強Q-跳凸。因此,在時期t,級(ri,t,Qi) 策略對于級i 是最優(yōu)的。但是,第i級(i=1,2,…,N)可能無法從第0 級獲得足夠的供貨,即第i級的級庫存位置受到了第0 級的級庫存水平的限制。第0 級無法將第i級的庫存位置提高到[ri,t,ri,t+Qi]區(qū)間,則以下誘導(dǎo)懲罰成本Γi,t(x) 將計入第0 級:

在時期t,收取在時間t+L0發(fā)生的庫存持有成本和級0的誘導(dǎo)懲罰成本。然后,級0 的最優(yōu)成本函數(shù)V0,t可以表示為:

可以將周期t中級0 的最大安全庫存水平定義為:

下面的定理表明,目標函數(shù)V0,t(x0,t) 具有強Q0-跳凸并且級(r0,t,Q0) 策略是最優(yōu)的。

定理1對于任意周期t=1,2,…,T 及階段i=1,2,…,N來說,

(a)目標函數(shù)Vi,t(xi,t) 和Γi,t(x) 是強Qi-跳凸;

(b)級(ri,t,Qi) 策略對階段i來說是最優(yōu)的。

定理1 證明了一個重要的結(jié)果,即可以通過順序求解N個內(nèi)嵌函數(shù)來獲得最優(yōu)的復(fù)購點ri,t,i=1,2,…,N。與原始問題相比,計算復(fù)雜度顯著地降低了。

定理1 的證明:

首先考慮前置倉的問題?；貞浺幌虑爸脗}i 面臨的動態(tài)問題:

通過歸納法證明結(jié)果。假設(shè)Vi,t+1(xi,t+1)是強Qi-跳凸。從引理1(d)可以得出,αE[Vi,t+1(yi,t-Di,t)]也是強Qi-跳凸。由于Hi,t(yi,t) 具有凸性,引理1(a)表明它是強Qi-跳凸。從引理1(c)可以立即得出,Hi,t(yi,t)+αE[Vi,t+1(yi,t-Di,t)]是強Qi-跳凸。利用引理1(e),可以得出結(jié)論Vi,t(xi,t) 也是強Qi-跳凸的,由此完成歸納。

定義:

根據(jù)強Qi-跳凸的定義,最優(yōu)策略遵從(ri,t,Qi) 策略:如果庫存水平低于臨界值ri,t,則訂購足夠的產(chǎn)品以使總庫存水平進入?yún)^(qū)間[ri,t,ri,t+Qi) 或盡可能接近;否則,不進行訂購。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)到級0。級0 面臨以下的動態(tài)問題:

再次通過歸納法證明結(jié)果。假設(shè)V0,t+1(x0,t+1)是強Q0-跳凸。從引理1(d)得出,也是強Q0-跳凸。同樣地,可以證明G0,t(y0,t) 是強Q0-跳凸。利用引理1,可以得出結(jié)論,V0,t(x0,t) 是強Q0-跳凸,由此完成歸納。

可以將周期t中階段0 的最大再次訂購點定義為

根據(jù)強Q0-跳凸的定義,最優(yōu)策略遵循(r0,t,Q0) 策略:如果安全庫存水平為r0,t,則訂購足夠的產(chǎn)品以使總庫存水平進入?yún)^(qū)間[r0,t,r0,t+Q0) 或盡可能接近它;否則,不進行訂購。

3.2 近視策略分析

盡管平衡假設(shè)下的最優(yōu)策略可以將原始問題分解為解決一系列N+1 個一維動態(tài)規(guī)劃問題而大大簡化了計算,但是此過程并不透明并仍需解決N+1 個動態(tài)問題。接下來,本文介紹計算量較少的近視策略,并描述了近視策略的最優(yōu)條件。

再次假設(shè)中心倉(即級0)的庫存充足。級i=1,2,…,N 面臨以下短視問題:

由于Hi,t(yi,t) 是一個凸函數(shù),它也是強Qi-跳凸的。

定義:

在周期t,對級0 收取庫存持有成本,并且在時間 t+L0時實現(xiàn)對級0 收取的罰價。級0 需要解決以下短視問題:

同樣地,可以證明KM(y) 和都是強Q0-跳凸。定義:

定理2如果需求關(guān)于期數(shù)是隨機遞增的,則近視策略是最佳的。

定理2 的證明:

首先證明當需求平穩(wěn)的,對于階段i=1,2,…,N,近視策略是最優(yōu)的。類似的證明可以應(yīng)用于級0。首先,回顧前置倉i面臨的以下動態(tài)問題:

定義:

根據(jù)包絡(luò)定理,則有:

此外,對于任意xi,t＞ri,t,ΔQi Gi,t(xi,t)＞0。

通過歸納法證明ri,t=,對于t=T,則有:

假設(shè)結(jié)果在周期t+1 成立,即ri,t+1=。接下來,證明它在周期t內(nèi)也成立,即ri,t=。注意由于ri,t-Di,t≤ri,t+1=,因而根據(jù)(16),對于任意已實現(xiàn)的Di,t來說,=0。因此:

第二個等式來自ri,t的定義。

對于任意x＞ri,t根據(jù)ri,t的定義,ΔQi Hi,t(x)＞0。因此,可以得到:

其中不等式來自(16)。

注意到(17)和 (18)表示ri,t=max{z|ΔQiGi,T(z)=0}=,因此歸納完成,級(ri,t,Qi) 策略在t期是最佳的。

目前為止,已經(jīng)證明該條件是充分條件,但仍然有必要表明這也是必要條件,下面將通過反證法加以證明。

假設(shè)對于某個t,P(ri,t-Di,t ＞ri,t+1)＞0,并且對于任意t=1,2,…,T,ri,τ=。否則,結(jié)果顯然成立。此后可有P(ri,t-Di,t＞)＞0,并且根據(jù)(16),得到

因此,以下結(jié)果成立:

這與rt=的事實相矛盾。因此,該條件也是必要條件。

當需求關(guān)于期數(shù)是隨機遞增的,可以證明ri,t關(guān)于時間t是單調(diào)遞增的,那么可以通過以上類似的證明過程,證明近視策略也是最優(yōu)的,證明完畢。

4 總結(jié)

本文研究了基于批量銷售的分布式庫存管理系統(tǒng),通過建立相應(yīng)的動態(tài)規(guī)劃模型,證明了在平衡假設(shè)下系統(tǒng)具有可分性,即原問題可以分解成若干單級庫存管理系統(tǒng)。同時,本文證明可分系統(tǒng)的目標函數(shù)具有強Q-跳凸性,從而刻畫了在平衡假設(shè)下的系統(tǒng)最優(yōu)策略服從(r,Q)策略。盡管系統(tǒng)可分性大大降低了問題求解的計算量,但是對于大規(guī)模問題仍然面臨求解困難。因此,進一步提出了基于可分性的近視策略,并且證明了該策略的最優(yōu)條件。

本文的理論結(jié)果是基于平衡假設(shè)的前提。實際中,前置倉之間的調(diào)貨并不一定是即時、免費的。因此,如果研究更常規(guī)的分布式管理系統(tǒng)非常具有實際和理論意義。其次,考慮多渠道的需求問題,即前置倉可以同時滿足線上線下的需求,同時中心倉也可以同時滿足線上線下的需求。但消費者對于兩者的體驗有所不同。受新冠疫情影響,電商新用戶數(shù)量大幅增加,線上消費人群和消費習(xí)慣發(fā)生變化,促使銷售額出現(xiàn)井噴。長遠來看,消費市場供應(yīng)鏈持續(xù)優(yōu)化,傳統(tǒng)渠道持續(xù)向現(xiàn)代化渠道轉(zhuǎn)移,高效觸達差異化消費者,形成規(guī)模優(yōu)勢,精細化降低成本,各類業(yè)態(tài)調(diào)整仍有較大空間。如何根據(jù)不同、類似的顧客需求以及及時的庫存水平來制定合理的庫存策略也是未來研究的一個方向。