任亞鑫,薛亞奎

(中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

0 引言

傳染病盡管在預(yù)防和治療方面取得了重大進(jìn)展，但仍在全世界內(nèi)造成大量死亡。為控制疾病的傳播，需要對(duì)傳染病進(jìn)行定量研究，從而促進(jìn)了疾病傳播機(jī)制的研究。[1-2]

經(jīng)典流行病模型經(jīng)常采用雙線性發(fā)病率和標(biāo)準(zhǔn)發(fā)病率。這些模型只能研究相對(duì)簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)行為，為模擬更復(fù)雜的現(xiàn)象，許多學(xué)者引入不同形式的發(fā)病率進(jìn)行建模，比如：飽和發(fā)病率、非單調(diào)發(fā)病率和一般發(fā)病率等等[3-5]。例如，Capasso等[3]提出的飽和發(fā)病率f(I)S=βSI/(1+αI)，其中f(I)在I變大時(shí)趨于飽和水平；Xiao等[6]提出了一種非單調(diào)函數(shù)形式的發(fā)病率f(I)S=βSI/(1+αI2)，描述了在感染個(gè)體相對(duì)較多的情況下感染率也會(huì)降低的現(xiàn)象。當(dāng)α=0時(shí)，上述2種發(fā)病率變?yōu)殡p線性發(fā)病率，這可對(duì)2種或2種以上菌株進(jìn)行觀察。而在傳染病動(dòng)力學(xué)方面的研究工作中，有很多疾病，比如：肺結(jié)核、流感、艾滋病等[7-9]，是由不同的菌株所引起的。因此，使用多菌株模型可以更好地描述由多個(gè)菌株引起的不同疾病的流行[7-14]。

考慮到不同疾病的傳播方式不同，人們對(duì)其認(rèn)識(shí)和自我防護(hù)意識(shí)的不同，受Yates[15]的啟發(fā)，假設(shè)菌株非均勻混合，為模擬這一現(xiàn)象，本文建立并分析了具有發(fā)病率為βIS/(1+αI)和βIS/(1+αI2)的兩菌株的SEIR傳染病模型。

1 模型建立

模型包含6個(gè)變量，即易感個(gè)體S、潛伏個(gè)體E1和E2、感染個(gè)體I1和I2、恢復(fù)個(gè)體R。 假設(shè)無因病死亡，新生兒均為易感個(gè)體，不考慮疾病的垂直傳染?？山⑷缦履Ｐ停?/p>

(1)

2 基本再生數(shù)及平衡點(diǎn)的存在性

由于模型(1)的前5個(gè)方程與R無關(guān)，所以模型(1)可以簡(jiǎn)化為：

(2)

根據(jù)下一代矩陣算法[16]，得到

計(jì)算得

從而

令

a=γ1+δ，b=γ2+δ，c=μ1+δ，d=μ2+δ

則有

定理1模型(2)有4個(gè)平衡點(diǎn)：

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L0沿著模型(2)的導(dǎo)數(shù)，得

由算術(shù)平均值與幾何平均值之間的關(guān)系，有

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L1沿著模型(2)的導(dǎo)數(shù)，得

令模型(2)右端等于零，在X1處有

因此

由算術(shù)平均值與幾何平均值之間的關(guān)系，有

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

計(jì)算L2沿著模型(2)的導(dǎo)數(shù)，得

令模型(2)右端等于零，在X2處有

因此

由算術(shù)平均值與幾何平均值之間的關(guān)系，有

證明構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

令模型(2)右端等于零，在Xt處有

計(jì)算L3沿著模型(2)的導(dǎo)數(shù)，得

由算術(shù)平均值與幾何平均值之間的關(guān)系，有

4 數(shù)值模擬與討論

為驗(yàn)證得到的結(jié)果，對(duì)模型(2)各平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性進(jìn)行數(shù)值模擬。模型初始值設(shè)置為(S(0),E1(0),E2(0),I1(0),I2(0))=(20,8,8,2,3)。參數(shù)選取見表1，其中部分源于文獻(xiàn)[18]。

表1 參數(shù)值

參數(shù)圖1圖2圖3圖4Λ0.8000.8000.7500.800δ0.1000.1000.1000.100β10.1000.4500.1100.300β20.1100.0900.8000.200γ10.4000.4000.3300.600

參數(shù)圖1圖2圖3圖4γ20.3000.6000.4000.700μ10.7500.4000.5400.150μ20.7500.8000.2000.200α10.2000.0100.7000.110α20.1200.8000.0010.015

圖

圖

圖

圖

圖5展示了參數(shù)α1和α2對(duì)染病者數(shù)量的影響。參數(shù)選取Λ～μ2與圖4中采用數(shù)值相同。對(duì)2種菌株分別采用相同抑制作用的參數(shù)(α1和α2)后，感染個(gè)體I2的數(shù)量明顯低于I1的數(shù)量，從而類似菌株2的發(fā)病率的疾病相較于類似菌株1更易控制。這表明了解傳染病對(duì)控制疾病傳播有指導(dǎo)作用，積極的控制措施和政策有助于降低感染率。

圖5 參數(shù)α1和α2對(duì)染病者數(shù)量的影響

5 結(jié)論

采用兩菌株模型，研究了具有不同非線性發(fā)病率的傳染病動(dòng)力學(xué)行為。計(jì)算出模型(2)的4個(gè)平衡點(diǎn)，借助構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，應(yīng)用LaSalle不變集原理，討論了各平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定性，并得到其充要條件。數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析相吻合。研究結(jié)果表明：

1) 兩菌株持續(xù)存在時(shí)，具有較高基本再生數(shù)的菌株將占優(yōu)勢(shì)。

2) 研究疾病的發(fā)病率對(duì)控制疫情蔓延有指導(dǎo)作用，感染個(gè)體數(shù)量較多的情況下，采取積極的控制措施和政策可有效降低感染個(gè)體的數(shù)量。