亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        相約兩世紀(jì)之網(wǎng)絡(luò)畫板與丹德林雙球模型
        ——圓錐曲線證明的直觀方法

        2022-07-20 12:02:36付小華幸世強(qiáng)代月張紅
        教育科學(xué)論壇 2022年22期
        關(guān)鍵詞:德林畫板雙曲線

        ●付小華,幸世強(qiáng),代月,張紅

        筆者在一次四川省國家級“雙新”示范區(qū)(校)建設(shè)推進(jìn)會,成都市第七中學(xué)第43屆教育研討會的研究課“穿越兩世紀(jì)的魅力內(nèi)切球”中,通過網(wǎng)絡(luò)畫板深度探究丹德林雙球模型在證明圓錐曲線時的一些做法和思考,多種直觀證明非常巧妙,極具創(chuàng)造性,網(wǎng)絡(luò)畫板動態(tài)立體幾何深度融入數(shù)學(xué)教學(xué),讓數(shù)學(xué)課堂充滿智慧的魅力。

        一、網(wǎng)絡(luò)畫板輔助構(gòu)造丹德林雙球模型

        一個圓錐被一個平面斜截的截口曲線將分別出現(xiàn)橢圓、拋物線和雙曲線的一支。要構(gòu)造丹德林雙球模型,可以引導(dǎo)學(xué)生思考問題1:一個圓錐被一個平面斜截,與圓錐和斜截面都相切的球怎么構(gòu)造?球心在哪?半徑怎么構(gòu)造?其設(shè)計意圖是:讓學(xué)生經(jīng)歷找球心、構(gòu)半徑的過程,對這種丹德林內(nèi)切球的空間結(jié)構(gòu)、空間位置關(guān)系、幾何性質(zhì)更加熟悉,為后面直觀探究丹德林雙球模型證明圓錐曲線打下堅實的基礎(chǔ)。

        ①作底面半徑為a,高為b的圓錐,在圓錐高SO上任取一點C,過C做SO的垂面α,將垂面旋轉(zhuǎn)角 t,設(shè)置變量 t∈(-π,π)(圖 1)。

        圖1

        ②過S作旋轉(zhuǎn)面的垂線,垂足為D,連接CD交圓錐于A,B,作母線SA與 SB(圖 2)。

        圖2

        ③做∠SAC與∠ABE的角平分線分別交錐高SO于O1、O2,即為內(nèi)切球的球心,做O1到SA和O2到SB的距離,即為內(nèi)切球的半徑,進(jìn)而作出雙內(nèi)切球(圖 3)。

        圖3

        二、網(wǎng)絡(luò)畫板賦能丹德林雙球模型證明圓錐曲線

        繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考問題2:這種與圓錐和斜截面同時相切的雙內(nèi)切球有什么性質(zhì)特點?如何證明圓錐曲線呢?其立體幾何構(gòu)圖和深層次思維在哪里呢?

        繼續(xù)提供和推送網(wǎng)絡(luò)畫板課件資源進(jìn)行觀察探究、想象思考和推理證明,然后在此次基礎(chǔ)上進(jìn)行生生、師生對話分享、展示交流、引導(dǎo)講解。

        (一)丹德林是怎么證明橢圓的

        圖4

        由球和圓的幾何性質(zhì),因為MF1=MB,MF2=MA,所以MF1+MF2=MB+MA=AB。

        所以,A,B隨著點M的運動而運動,但是AB長度為定值,即截面曲線上的任意一點M到兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和是定值(且大于F1F2),由橢圓的定義可知,該曲線為橢圓。

        所以,當(dāng)β>α?xí)r,截面曲線為橢圓。

        (二)沿著數(shù)學(xué)家的探究腳步,怎么證明雙曲線

        由球和圓的幾何性質(zhì),因為MF1=MB,MF2=MA,所以|MF1-MF2|=|MB-MA|=AB。

        所以,A,B隨著點M的運動而運動,但是AB長度為定值,即截面曲線上的任意一點M到兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之差的絕對值是定值 (且小于F1F2),由雙曲線的定義可知,該曲線為雙曲線。所以,當(dāng)0°≤β<α,且截面不過O點時,截面曲線為雙曲線(圖5)。

        圖5

        (三)丹德林雙球模型能證明截口曲線是拋物線嗎

        丹德林雙球模型證明橢圓與雙曲線中,我們可以發(fā)現(xiàn)雙球與平面相切的切點是橢圓或雙曲線的焦點,同時通過到這兩個定點的距離之和與差的構(gòu)造,轉(zhuǎn)化為球外一點到球的切線長相等,進(jìn)而進(jìn)行計算、得證。但是拋物線沒有這樣的特點,這種思路明顯受阻,怎么辦?怎么證明?

        (四)探究丹德林雙球模型與圓錐曲線離心率關(guān)系并證明

        再引導(dǎo)學(xué)生思考問題3:平面斜截圓錐時錐角與平面傾斜角不同,得到的圓錐曲線不同,與離心率有怎樣的關(guān)系?運用丹德林雙內(nèi)切球模型,可不可以用離心率統(tǒng)一定義證明圓錐曲線?準(zhǔn)線可能在哪?

        由題知,圓錐的錐角的一半為α,斜截面與圓錐軸所成角為β。

        因為O2F1∥O1F2,所以在面O2F1O1F2中作O2D∥O1F2,O1D∥F1F2交 D。

        因為O2B∥O1A,所以在面O2BAO1中作O1C∥AB交O2B于C。

        說明只需利用丹德林雙球模型中的兩個關(guān)鍵角的余弦值之比即為截口曲線的離心率,進(jìn)而由離心率e的范圍就可以判斷和證明出圓錐曲線是橢圓、雙曲線還是拋物線,十分簡潔明了,我們把此模型叫做錐角傾斜角模型(圖6)。

        圖6

        (五)丹德林單球模型圓滿證明圓錐曲線

        圖7

        我們把這種構(gòu)造和證明叫做圓錐曲線第二定義模型,這種思路將圓錐曲線的第二定義與錐角傾斜角模型融會貫通,非常巧妙,一氣呵成。

        圖8

        本節(jié)課“穿越兩世紀(jì)的魅力內(nèi)切球”網(wǎng)絡(luò)畫板課件網(wǎng)址:https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#posts/15307

        三、網(wǎng)絡(luò)畫板賦能丹德林雙球模型證明圓錐曲線的價值

        丹德林雙球模型和內(nèi)切球的性質(zhì)特點證明圓錐被平面所截的截口曲線是三大圓錐曲線——橢圓、拋物線和雙曲線,這個問題深奧、難懂,特別是用錐角模型和第二定義模型證明圓錐曲線難度更大,需要充分利用網(wǎng)絡(luò)畫板3D技術(shù)輔助識圖、構(gòu)圖、思考、探究、推理、計算、證明。

        張景中院士一直主張數(shù)學(xué)教育就是要 “把數(shù)學(xué)變得容易”“讓數(shù)學(xué)更有趣”“讓數(shù)學(xué)更精彩”“在玩中學(xué),在做中學(xué)”[1],通過網(wǎng)絡(luò)畫板實現(xiàn)了這些要求。

        猜你喜歡
        德林畫板雙曲線
        張德林書法作品選
        程德林:一個海外游子的圓夢之旅
        華人時刊(2023年7期)2023-05-17 09:05:00
        臺灣桃園德林寺
        把握準(zhǔn)考綱,吃透雙曲線
        一道雙曲線題的十變式
        七彩畫板
        整形外科學(xué)專欄策劃顧問夏德林教授簡介
        七彩畫板
        七彩畫板
        七彩畫板
        一区二区三区国产偷拍| 国产免国产免费| 黄色av亚洲在线观看| 日本少妇高潮喷水xxxxxxx| 精品无码专区久久久水蜜桃 | 亚洲高清国产品国语在线观看| 国产成人美涵人妖视频在线观看| 人妻久久久一区二区三区蜜臀| 久久国内精品自在自线图片| 免费jjzz在线播放国产| 人妻熟女中文字幕在线视频| 精品国产一区二区三区av天堂| 内地老熟女老少配视频| 国产AV边打电话边出轨| 一本久久a久久精品综合| 粉嫩av最新在线高清观看| 色综合久久88色综合天天| 亚洲色婷婷免费视频高清在线观看| 另类人妖在线观看一区二区| 日韩av一区二区无卡| 男人的天堂av高清在线| 成 人 免费 黄 色 视频| 人妻丰满熟妇AV无码区HD| 久久精品国产亚洲片| 一区二区在线视频免费蜜桃| 久久香蕉国产线看观看精品yw | 日韩精品专区av无码| 精品国产黑色丝袜高跟鞋| 国产精品国产三级国产an| 日韩av一区二区观看| 欧美放荡的少妇| 日本韩国一区二区三区| 在线视频精品少白免费观看| 在线观看免费无码专区| 亚洲女人被黑人巨大进入| 青青草免费高清视频在线观看| 国产一区二区三区激情视频| 亚洲精品美女久久久久99| h国产视频| 国产喷白浆精品一区二区豆腐| 少妇激情av一区二区三区|