張毅 蔡錦祥

(蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院, 蘇州 215011)

引言

事件空間將空間和時間統(tǒng)一在一起考慮, 使得時間與質(zhì)點(diǎn)系的廣義坐標(biāo)處于同等地位, 這樣不僅使方程更簡潔, 還可直接給出能量積分. 因此, 無論從幾何角度還是動力學(xué)角度都有重要的意義[1-5]. 守恒律研究是非完整力學(xué)研究的一個重要方面, 而尋求守恒量通?？衫脤ΨQ性方法[5，6]和積分因子方法[7，8]等. 除此之外，守恒律也可利用微分變分原理來研究. 例如, d′Alembert原理[9]、Jourdain原理[10-12]、Gauss原理[12]、Pfaff-Birkhoff-d′Alembert原理[13]等. Herglotz變分原理[14，15]由于其研究為非保守力學(xué)提供了一個變分方法, 近年來得到廣泛關(guān)注[16-25]. 但是迄今為止幾乎所有Herglotz變分原理及其對稱性的研究都限于位形空間或相空間. 最近, 文獻(xiàn)[26]基于微分變分原理研究了非保守非完整系統(tǒng)的Herglotz型守恒律.本文將進(jìn)一步研究事件空間中非保守非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒律, 導(dǎo)出該系統(tǒng)的Herglotz-d′Alembert原理, 基于所得原理建立Herglotz型守恒定理及其逆定理.

1 事件空間中Herglotz-d′Alembert原理

研究力學(xué)系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)是非保守的, 其廣義坐標(biāo)為qs(s=1,2,…,n).構(gòu)建n+1維事件空間，該空間點(diǎn)的坐標(biāo)為xα=xα(τ)(α=1,2,…,n+1), 其中x1=t,xs+1=qs,τ為參數(shù). 令xα=xα(τ)是C2類函數(shù), 使得

(1)

不同時為零, 有

(2)

(3)

定義1確定函數(shù)xα(τ),τ∈[τ0,τ1], 使由事件空間中一階微分方程

(4)

確定的作用量z(τ), 在給定的邊界條件

xα(τ)|τ=τ0=xα0,xα(τ)|τ=τ1=xα1

(5)

和初始值

z(τ)|τ=τ0=z0

(6)

下取得極值, 即z(τ1)→extr., 這里xα0,xα1,z0為常數(shù),α=1,2,…,n+1. 稱此變分問題為事件空間中Herglotz廣義變分原理,z(τ)為Hamilton-Herglotz作用量.

對z′(τ)求變分, 有

(7)

方程(7)可視作以δz為變量的微分方程, 可得

(8)

注意到z(τ1)→extr.以及式(6), 有

δz(τ0)=δz(τ1)=0

(9)

在式(8)中, 取τ=τ1, 得

dτ=0

(10)

設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動受g個非完整約束，在位形空間中約束方程為

σ=1,2,…,ε;ε=n-g)

(11)

事件空間中可表為

(12)

其中

(13)

虛位移滿足Appell-Chetaev條件

(β=1,2,…,g;γ=1,2,…,ε+1;ε=n-g)

(14)

(15)

則有

(16)

(17)

由于非完整約束的存在, 須考慮變分和微分運(yùn)算的交換性問題. 這里采用交換關(guān)系的H?lder定義[27], 即假定全部變分滿足交換關(guān)系

(18)

將式(14)對τ求導(dǎo), 并考慮到關(guān)系式(18), 得

(19)

(20)

(21)

將式(14)代入式(21), 考慮[τ0,τ1]的任意性, 有

(22)

式(22)可稱為事件空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz-d′Alembert原理. 由δxγ的獨(dú)立性, 有

(γ=1,2,…,ε+1)

(23)

方程(23)可稱為事件空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型運(yùn)動微分方程.

2 Herglotz-d′Alembert原理不變性條件

事件空間坐標(biāo)xα的等參數(shù)變分可定義為

(24)

非等參數(shù)變分為

(25)

(26)

因此有

(27)

引進(jìn)Fs和f作為事件空間中的空間生成元和參數(shù)生成元

Δxα=εFα(x,x′),Δτ=εf(x,x′)

(28)

于是有

(29)

將式(29)代入式(22), 整理可得

(30)

由條件(14)和式(29), 生成元應(yīng)滿足條件

(31)

(32)

得到

(33)

式(33)可稱為事件空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)Herglotz-d′Alembert原理不變性條件的變換.

3 Herglotz型守恒定理

由Herglotz-d′Alembert原理不變性條件式(33), 可得到如下定理

定理1如果事件空間中的空間生成元Fα, 參數(shù)生成元f, 以及規(guī)范函數(shù)GN滿足條件

(34)

和限制方程

(35)

則

(36)

是非完整系統(tǒng)(23)的Herglotz型守恒量.

稱定理1為事件空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒定理.

當(dāng)取τ=t時, 定理1給出通常位形空間的結(jié)果, 即有如下推論:

(37)

以及限制方程

(38)

則

(39)

是非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒量.

推論1已由文獻(xiàn)[26]給出.

當(dāng)系統(tǒng)不存在非完整約束(12), 定理1給出事件空間中完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的結(jié)果, 即有如下推論:

推論2如果事件空間中的空間生成元Fα, 參數(shù)生成元f, 以及規(guī)范函數(shù)GN滿足條件

(40)

則

(41)

是事件空間中完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒量.

推論2稱為事件空間中完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒定理.

4 Herglotz型守恒定理之逆定理

設(shè)非完整系統(tǒng)(23)存在守恒量

(42)

將式(42)對參數(shù)τ求導(dǎo)數(shù), 得

(43)

將方程(29)代入式(22), 得

(44)

(45)

再令守恒量(42)與式(36)相等, 即

(46)

定理2對于事件空間中非完整系統(tǒng)(23), 如果已知守恒量(42), 則可由式(45)和式(46)求得變換的生成元Fγ、f和規(guī)范函數(shù)GN.

定理2稱為事件空間中非完整系統(tǒng)Herglotz型守恒定理的逆定理.

5 算例

例設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型Lagrange函數(shù)為

(47)

非完整約束為

(48)

泛函z滿足微分方程

(49)

令x1=t,x2=q1,x3=q2, 則事件空間中Herglotz型Lagrange函數(shù)為

(50)

方程(49)成為

(51)

由約束方程(48)

(52)

將約束方程(52)嵌入式(50), 得

(53)

方程(23)給出

(54)

將方程(51)和約束(52)代入方程(54)，易知兩個方程彼此不獨(dú)立. 方程(34)和方程(35)給出

(55)

考慮到約束(52)，方程組(55)有解

(56)

其中a=x1(τ0)為常數(shù). 由定理1, 得到守恒量

(57)

其次, 若已知守恒量(57), 由式(45)和(46), 有

(58)

方程(58)中前兩個方程彼此不獨(dú)立, 因此實際上方程(58)含2個獨(dú)立方程和3個未知量, 其解不唯一. 如取

(59)

則有解

(60)

如取GN=0, 則有解

(61)

6 結(jié)論

事件空間將空間和時間統(tǒng)一在一起, 在事件空間中研究質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動不僅在幾何上而且從動力學(xué)角度都有重要意義. 守恒律也可以通過微分變分原理來構(gòu)建.本文研究了事件空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的守恒律. 主要工作: 一是基于變分運(yùn)算和微分運(yùn)算交換關(guān)系的H?lder定義導(dǎo)出事件空間中非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz-d′Alembert原理(式(22)); 二是引進(jìn)事件空間中空間生成元和參數(shù)生成元, 建立Herglotz-d′Alembert原理不變性條件的變換(式(33)); 三是基于所得的Herglotz-d′Alembert原理構(gòu)建了事件空間非完整力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒定理(定理1和定理2). 如果在位形空間, 該定理給出文獻(xiàn)[26]的結(jié)果(推論1); 如果系統(tǒng)是完整的, 由該定理可以得到完整非保守力學(xué)系統(tǒng)的Herglotz型守恒定理(推論2). 因此, 本文的結(jié)論更具一般性, 它不僅可以處理保守和非保守過程, 還可適用于完整和非完整系統(tǒng).