湯紅吉 余躍? 張正娣

(1.南通大學 理學院，南通 226019)(2.江蘇大學 理學院，鎮(zhèn)江 212013)

引言

若系統(tǒng)的動態(tài)行為中存在混沌現(xiàn)象，則稱該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)[1-4].對于混沌系統(tǒng)研究的一個重要方面是混沌同步.在過去的幾十年，混沌同步廣泛應(yīng)用于物理、化學反應(yīng)堆、生態(tài)系統(tǒng)、安全保密通訊等眾多領(lǐng)域.目前對于實現(xiàn)混沌同步的方法已在大量文獻中得到相關(guān)研究和發(fā)展[5-8].

一些混沌系統(tǒng)如蔡氏電路以及超混沌吸引子是可以建立為Lur′e系統(tǒng)的模型.Lur′e系統(tǒng)的滯后反饋同步主要是利用主系統(tǒng)的滯后輸出和從系統(tǒng)的滯后輸出之差來作為反饋輸入使得相應(yīng)的誤差閉環(huán)系統(tǒng)-時滯系統(tǒng)-漸近穩(wěn)定[9-12]. 因此，關(guān)于時滯系統(tǒng)的若干研究成果可以應(yīng)用到這個誤差閉環(huán)系統(tǒng). 目前，關(guān)于混沌Lur′e系統(tǒng)的滯后反饋同步已有大量相關(guān)的研究成果[7-12].例如, 在Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF)構(gòu)造方面，Ge等[13]構(gòu)造了時滯分解的LKF，Wang等[14]構(gòu)造了增廣的LKF，Zhang等[15]構(gòu)造了含有多重積分的LKF.在估計LKF沿誤差系統(tǒng)的導數(shù)方面，相關(guān)學者[16-18]則是利用了各種積分不等式，進而得到LKF導數(shù)更緊的上界.無論是構(gòu)造更一般的LKF，還是利用先進的積分不等式，其目的都是為了得出時滯的最大上界.隨著時滯系統(tǒng)分析方法的改進，可以期望在混沌Lur′e系統(tǒng)的滯后反饋同步問題上有更好的研究結(jié)果.

本文主要是考慮了混沌Lur′e系統(tǒng)滯后反饋的同步問題.同時，受Zhang等[19]學者的啟發(fā)，構(gòu)造了一個適當?shù)脑鰪VLKF，在估計LKF沿誤差系統(tǒng)的導數(shù)時，通過零等式引入自由矩陣，利用積分不等式得出該系統(tǒng)存在滯后反饋控制器的充分條件，并以LMI的形式表示. 最后數(shù)值算例表明本文方法的有效性和優(yōu)越性.

1 系統(tǒng)描述及引理

考慮如下的主從混沌Lur′e系統(tǒng)

1．1 統(tǒng)描述及引理

(1)

(2)

U:u(t)=K(p(t-d)-q(t-d))

(3)

其中，x(t),y(t)分別是主系統(tǒng)和從系統(tǒng)的狀態(tài)，A,B,C,H則是具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣，K是待定的控制器的增益矩陣.f(·)滿足扇形條件，即

(4)

令e(t)=x(t)-y(t)，則誤差系統(tǒng)可表示為

(5)

其中g(shù)(Ce(t))=f(Cx(t))-f(Cy(t)).本文的主要目的是設(shè)計形如系統(tǒng)(3)的控制器，使得系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定. 在給出本文的主要結(jié)果之前，我們首先給出相關(guān)引理.

引理[20]ω:(a,b)→Rn是向量函數(shù)，R,Z是對稱正定矩陣，使得如下的積分有意義，則

(Γ1ξ(ω,a,b)),

Γ2ξ(ω,a,b)，

(Γ3ξ(ω,a,b)),

ξ(ω,a,b)=col(ω(b)ω(a)ω1(a,b,s)

ω2(a,b,s)),

2 主要結(jié)果

為表述簡單，定義如下符號

定理1對于給定的d,a,誤差系統(tǒng)(5)漸近穩(wěn)定，若存在對稱矩陣P,T,以及對稱正定矩陣Q,Zi(i=1,2,3,4)，對角正定矩陣Λ1,Λ2，具有適當維數(shù)的矩陣G,Y,使得如下矩陣不等式成立，

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Ω=Ω1+Ω2+Ω3+Ω4+Ω5<0

(6)

其中，

相應(yīng)的控制器增益矩陣為K=G-1Y.

證明構(gòu)造如下的LKF

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),

(8)

其中

由引理可知

由(7)可知，V(t)≥V1(t)>0，即V(t)正定.

Vi(t)(i=1,2,3,4)沿誤差系統(tǒng)求導得，

對于任意的對稱矩陣T,如下等式恒成立

因此

注意到g(Ce(t))的定義，由式(4)可得對任意的正對角矩陣Λ2，有如下的不等式成立

2gT(Ce(t))Λ2(LCe(t)-g(Ce(t)))>0,

又對于任意的矩陣G和常數(shù)a，存在下式恒成立

Bg(Ce(t))-KHe(t-d))=0.

記Y=GK,上式可表示為

綜上可得

注1定理構(gòu)造了適當?shù)脑鰪VLKF, 不要求所有的矩陣正定，在增廣向量中，不僅含有單積分項，還含有雙積分項，不僅如此，在V3(t)中，還含有增廣的三重積分項，充分利用了時滯及相關(guān)誤差狀態(tài)的信息.

3 數(shù)值算例

考慮混沌Lur′e系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)矩陣如下

f(x1(t))=0.5(|x1(t)+1|-|x1(t)-1|),

易知L=1.取a=4,應(yīng)用定理所得的最大時滯值為d=0.358，和已有文獻的結(jié)果比較如表1所示.

表1 不同方法下的結(jié)果比較Table 1 Comparison of results under different methods

取主從系統(tǒng)的初始狀態(tài)分別為

當d=0.358,K=(2.8469 0.0894 -2.4639)時，誤差系統(tǒng)的狀態(tài)如圖1所示，表明利用本文的設(shè)計方法得出的控制器，能使誤差系統(tǒng)快速達到穩(wěn)定狀態(tài)，即實現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的主從同步.

圖1 誤差系統(tǒng)數(shù)值仿真Fig.1 Numerical simulation of error system

4 結(jié)論

對于混沌 Lur′e系統(tǒng)，研究了基于滯后反饋的主從同步問題. 通過構(gòu)造含有較多時滯狀態(tài)信息的LKF泛函，由此得出了系統(tǒng)實現(xiàn)主從同步的充分條件. 最后，通過數(shù)值算例表明了本文的方法保守性較小.