方 越, 吳 濤,2, 劉 帥, 陳 向

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 合肥 230601； 2.安徽大學(xué) 計算機智能與信號處理教育部重點實驗室， 合肥 230039)

0 引 言

對于經(jīng)典的群體決策問題(GDM)，通常假設(shè)只有一小部分決策者參與決策過程。但是隨著技術(shù)發(fā)展和社會需求的增加，如網(wǎng)絡(luò)社交、網(wǎng)絡(luò)課程、電子購物和電子商務(wù)等網(wǎng)絡(luò)需求的提升，越來越多的人可以參與決策過程。由于決策者的個人差異以及知識和文化背景的不同，使GDM活動變得越來越復(fù)雜。這種GDM問題通常被稱為大規(guī)模群體決策(LGDM)問題。

由于LDGM問題的決策者很多，成分復(fù)雜，針對決策者的聚類問題，很多學(xué)者都進(jìn)行了深入的研究，Zahir，Liu，Ding等[1-3]都提出了自己的聚類方法。針對可能具有聚類結(jié)構(gòu)的大規(guī)模群體，Zahir[1]提出使用相似性度量將個體分組為自然聚類的算法；Liu等[2]利用“利益群體”與實際決策信息相結(jié)合的思想，對區(qū)間值直覺模糊環(huán)境中復(fù)雜多屬性大群體決策問題中的決策者進(jìn)行分類，建立部分二元樹DEA-DA循環(huán)分類模型，實現(xiàn)了多組的分類；Ding等[3]提出一種基于稀疏表示的直觀模糊聚類方法來解決大規(guī)模決策問題。

但是在LGDM問題中，決策者在提供語言評估時往往會有一些猶豫和不確定，對于這種在不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下的LGDM問題，以上這些聚類方法都顯得有些力不從心。針對這個情況，Rodriguez等[4]首先提出猶豫模糊語言術(shù)語集(HFLTS)，這樣一來，就能更好地在猶豫模糊環(huán)境下描述決策者的決策結(jié)果；在此基礎(chǔ)上，針對不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下的模糊聚類問題，Zhang等[5]提出語言術(shù)語分布評估(LDA)概念，之后他又提出可以將不平衡猶豫模糊語言術(shù)語集轉(zhuǎn)化為LDA算法[6]，這種算法很巧妙地將決策者們不平衡的猶豫模糊語言術(shù)語轉(zhuǎn)化成為統(tǒng)一的、方便識別與讀取的基于LDA的語言術(shù)語集，這使得模糊聚類算法在不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下LDGM中的應(yīng)用更加方便、可靠。在此基礎(chǔ)上，提出一種不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下基于FCM的大規(guī)模群體決策方法，但是這種方法也存在著一定的缺陷，它沒有計算同一集群內(nèi)決策者的偏好權(quán)重。本文進(jìn)一步利用模糊聚類算法產(chǎn)生的信息，通過使用聚類中心，引入了模糊集群中單個決策者偏好權(quán)重的概念，提出一種新的計算決策者偏好權(quán)重的方法，實驗結(jié)果表明該方法的決策結(jié)果更可靠。

1 預(yù)備知識

定義1[7]設(shè)S={s0,s1,…,sg}表示一個語言術(shù)語集，其中si表示S中的第i個語言項，而g+1是基數(shù)，一個語言術(shù)語集應(yīng)該滿足以下條件：

(1) 集合滿足：當(dāng)i>j時，si>sj；

(2) 否定運算符：當(dāng)j=g-i時，Neg(si)=sj。

定義2[8]S是一個語言術(shù)語集，NS(si)是si的數(shù)值尺度，i=1,2,…,g；S如果滿足以下條件，那么它是一個均勻?qū)ΨQ分布的語言術(shù)語集：

(1) 存在唯一的常數(shù)λ>0，滿足NS(si)-NS(sj)=λ(i-j)，i,j=0,1,…,g；

(2) 設(shè)SR={s|s∈S,s>s*}，SL={s|s∈S,s

如果S是一個均勻?qū)ΨQ分布的語言術(shù)語集，則S被稱為關(guān)于數(shù)值尺度NS的平衡語言術(shù)語集，一般將S記為SB；否則，S被稱為關(guān)于數(shù)值尺度NS的不平衡語言術(shù)語集。

定義3[9]設(shè)S={s0,s1,…,sg}表示一個不平衡語言術(shù)語集，稱定義在S上的一個連續(xù)語言術(shù)語有序的有限子集Hs是不平衡的猶豫模糊語言術(shù)語集。

2 不平衡猶豫模糊語言環(huán)境下的FCM方法

對于LGDM問題，通常需要基于決策矩陣對決策者進(jìn)行分類集群，以便同一集群中的決策者彼此相似，不同集群中的決策者彼此有較大差異。聚類的方法有很多，這里使用經(jīng)典的模糊均值聚類(FCM)算法，假設(shè)有n個方案A1,A2,…,An，m個屬性且要把p個決策者d1,d2,…,dp分成N個集群。

決策者屬于集群的隸屬度由定義4和定義5計算。

k=0,1,…,p

(1)

定義5[6]Zk,Zr,l和Cr,l的定義與定義4相同，則決策者dk與集群Cr,l的隸屬度如式(2)所示：

k=1,2，…,p；r=1,2，…,N

(2)

其中，b是簇的模糊度，即b值越大，簇就越模糊。在這里，b是區(qū)間[1.5,2.5]中的一個常數(shù)。

基于隸屬度，可以通過定義6進(jìn)一步計算更新的集群中心的決策矩陣。

(3)

t=0,1,…,g；i=0,1,…,n

j=1,2,…,m；r=1,2,…,N

最后，兩次迭代之間的隸屬度變化[6]如式(4)所示：

(4)

在這里，μ(dk,Cr,l)和μ(dk,Cr,l+1)分別表示dk與Cr,l，dk與Cr,l+1的隸屬度。可以事先設(shè)定一個閾值ε>0，如果Varl>ε，則迭代繼續(xù)；否則，迭代終止，dk將被分配給隸屬度最大的集群。

聚類過程：

第一步：首先確定閾值ε>0，讓迭代數(shù)l為0，并隨機生成第l次迭代的集群中心(由一些LDA決策矩陣表示)；

第二步：通過式(1)(2)計算隸屬度；

第三步：通過式(3)更新中心決策矩陣；

第四步：令l=l+1，并更新隸屬度；

第五步：計算式(4)，如果Varl>ε，則返回第二步，繼續(xù)迭代；否則，迭代終止，dk將被分配給隸集群Cr，使得：μ(dk,Cr,l)=maxu∈{1,2,…,N}{μ(dk,Cu,l)}。

3 一種新的大規(guī)模群決策方法

3.1 決策問題描述

假設(shè)有方案集{A1,A2,…,An}，屬性集{U1,U2,…,Um}，現(xiàn)在邀請來自不同領(lǐng)域，有著不同文化背景的決策者d1,d2,…,dp，使用平衡語言術(shù)語集S={s0,s1,…,sg}，就不同屬性對方案進(jìn)行決策，選出最優(yōu)方案。

3.2 群決策中同一個集群決策者偏好權(quán)重度量方法

在文獻(xiàn)[6]中，作者認(rèn)為同一個集群的決策者是“平等”的，他給予同一集群的決策者相同的權(quán)重，但這其實不太妥當(dāng)，因為即便是同一集群的決策者，他們的決策結(jié)果也存在差異，甚至這種差異有時很大，這些決策者之所以被分到同一個集群僅僅是因為在算法看來，其決策結(jié)果相對于其他人來說比較接近。所以，為了提高決策結(jié)果的可靠性，應(yīng)該更進(jìn)一步，對同一個集群內(nèi)的決策者賦予偏好權(quán)重，而定義偏好權(quán)重，需要一個標(biāo)準(zhǔn)。

聚類中心就是一個很好的標(biāo)準(zhǔn)，一個集群的聚類中心可以在一定程度上展示這個集群的平均特征，因此，與聚類中心越接近，與所屬集群之間的隸屬度越大，樣本點的可靠性越好，越能代表所在的集群，所以相應(yīng)的偏好權(quán)重也理應(yīng)越大；與聚類中心越遠(yuǎn)，與所屬集群之間的隸屬度越小，則樣本點的偏好權(quán)重就越小。

(5)

(6)

其中，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m；r=1,2,…,N。

3.3 群決策中不同集群差異權(quán)重的度量方法

經(jīng)過之前的計算，現(xiàn)在已經(jīng)得到了不同集群的決策矩陣Z1,Z2,…,ZN，第r(r=1,2,…,N)個集群中決策者比例如公式(7)所示，第r個集群的模糊指數(shù)如式(8)所示：

(7)

r=1,2,…,N

(8)

由式(7)，可以得到第r個集群的歸一化指數(shù)[6](r=1,2,…,N)，如式(9)所示：

(9)

再由式(7)、式(9)，定義第r個集群標(biāo)準(zhǔn)化指數(shù)如式(10)所示(r=1,2,…,N)：

PAr=ηpropr+(1-η)Accr

(10)

其中，η∈[0,1]，是一個常數(shù)。

定義集群間的差異權(quán)重為v=(v1,v2,…,vN)，其中，vr如式(11)所示：

r=1,2,…,N

(11)

在這里，Q(x)=xλ,0≤λ≤1，σ是1,2,…,N的一種按照PAσ(r)≥PA(r+1),?r=1,2,…,N-1規(guī)則排序的排列。

3.4 群決策中屬性權(quán)重的度量方法

與決策者群內(nèi)權(quán)重和決策者群間權(quán)重類似，為了使決策結(jié)果更可靠，還需要計算不同屬性間的權(quán)重，屬性權(quán)重的計算方法如下所示：

定義8[6]假設(shè)有屬性集{U1,U2,…,Um}，定義屬性間的權(quán)重如式(12)所示：

j=1,2,…,m

(12)

(13)

3.5 方案的優(yōu)勢度

定義9 假設(shè)有方案集{A1,A2,…,An}，則Ai比Aj的優(yōu)勢程度如式(14)所示：

pij=

(14)

i,j=1,2,…,n

(15)

方案Ai的負(fù)流量[10]如式(16)所示：

(16)

再由式(15)、式(16)，方案Ai的凈流量[10]公式如式(17)所示：

φ(Ai)=φ+(Ai)-φ-(Ai)，i=1,2,…,n

(17)

3.6 決策流程

步驟1 邀請決策者就所有屬性針對備選方案提供其決策矩陣；

步驟2 將所有決策者的決策矩陣轉(zhuǎn)換為LDA決策矩陣；

步驟3 使用模糊聚類算法，將決策者分為N個集群；

步驟4 使用式(5)計算每個集群內(nèi)決策者的偏好矩陣，并根據(jù)式(6)計算每個集群的決策矩陣；

步驟5 根據(jù)式(7)—式(11)計算每個集群的權(quán)重，并使用PA-IOWA算子將集群的決策矩陣合成一個總決策矩陣；

步驟6 由式(12)計算出每個屬性的權(quán)重；

步驟7 根據(jù)式(13)計算出每個方案的集體評估；

步驟8 由式(14)—式(17)計算出每個方案的凈流量，以此得到最佳方案。

4 實例運用與分析

本文中的數(shù)據(jù)均來源于文獻(xiàn)[11]。假設(shè)中國某市政府打算在公共交通系統(tǒng)中新增一條地鐵線路，經(jīng)過相關(guān)專家的商議后確定了4個備選方案A1,A2,A3,A4，以供進(jìn)一步選擇，現(xiàn)在，有來自不同領(lǐng)域，不同學(xué)術(shù)背景的20位決策者d1,d2,d3,…,d20，他們將會就4個不同的屬性U1(社會影響)，U2(環(huán)境影響)，U3(資金預(yù)算)，U4(技術(shù)可行性)，對4個備選方案進(jìn)行選擇。

首先，按照文獻(xiàn)[6]將決策者們的決策矩陣轉(zhuǎn)化為基于LDA的決策矩陣Z1,Z2,…,Z20，在這里，使用的是一個平衡語言術(shù)語集S={s0,s1,…,s9}，然后使用FCM算法對其進(jìn)行聚類，并由式(5)計算每個決策者在集群中的比重，結(jié)果如下：

然后，由式(6)，分別計算3個集群的決策矩陣，并且假設(shè)η=0.5，則3個集群的標(biāo)準(zhǔn)化精度指標(biāo)分別為PA1=0.291 6,PA2=0.366 7,PA3=0.341 7。

設(shè)Q(x)=x1/2，則集群之間的權(quán)重為v=(0.158 3,0.605 6,0.236 1)，根據(jù)PA-IOWA算子，可以計算出總體的決策矩陣，如表1所示。

表1 總體決策矩陣

表2 每個方案的集體評估

由式(12)，可以得到屬性權(quán)重為ω=(0.263 3,0.380 4,0.205 8,0.150 5)，再由式(13)，計算出每個方案的集體評估，如表2所示。

再由式(14)，可以計算得到優(yōu)勢度矩陣：

由式(15)—式(17)，易知φ(A1)=-0.082 9，φ(A2)=0.035 6，φ(A3)=-0.024 6，φ(A4)=0.071 9，則有A4?A2?A3?A1，這與文獻(xiàn)[6]得到的結(jié)果有些不同。在文獻(xiàn)[6]中，方案A2強于方案A4，但由于本文考慮了同一集群中單個決策者的偏好權(quán)重這一因素，導(dǎo)致決策結(jié)果不同。

5 總 結(jié)

聚類中心是聚類算法的重要參數(shù)，聚類中心可以提供很多信息，但是人們在利用聚類進(jìn)行決策的過程中，往往會忽略聚類中心的重要性。本文在文獻(xiàn)[6]決策的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，對聚類完成后同一個集群的決策者賦予偏好權(quán)重，最大限度地利用聚類所帶來的信息，相對于文獻(xiàn)[6]，多考慮了同一集群內(nèi)決策者偏好權(quán)重這一因素，這使得決策結(jié)果更加可靠。