鄧玉蘭

化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用探討

鄧玉蘭

（蘭州市第六十一中學(xué)，甘肅蘭州730060）

化歸與轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思維方式，甚至是其他數(shù)學(xué)思想方法的核心。掌握了化歸與轉(zhuǎn)化思想，不但能夠引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，還能夠使學(xué)生在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)和生活實(shí)際問(wèn)題的解決中得心應(yīng)手。

化歸與轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)教學(xué)；作用

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)活動(dòng)中“教與學(xué)”的靈魂，作為建立和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想，它指引著學(xué)習(xí)者和教學(xué)者順利完成在數(shù)學(xué)“教與學(xué)”中的各項(xiàng)工作和任務(wù)。由于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問(wèn)題千姿百態(tài)，所以衍生出了多種不同的數(shù)學(xué)思想方法，用于指導(dǎo)數(shù)學(xué)知識(shí)的教與學(xué)。

一、化歸與轉(zhuǎn)化思想簡(jiǎn)介

化歸與轉(zhuǎn)化思想就是這五彩繽紛的數(shù)學(xué)思想方法世界中最耀眼的一顆星，錢(qián)佩玲老師也稱化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中問(wèn)題解決的基本方法。首先化歸與轉(zhuǎn)化思想符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律；其次數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)，決定了化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)地位——數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的基本方法。

“化歸”一詞其實(shí)就含有轉(zhuǎn)化的意思，但是，其最終目的是將一個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為另外一個(gè)方便于解決的問(wèn)題?；舅枷胧牵涸跀?shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，人們通常會(huì)把需要解決的問(wèn)題M，經(jīng)過(guò)某種轉(zhuǎn)化的方法，將其變換為另外一個(gè)已經(jīng)解答或者已經(jīng)有固有的解決程序的數(shù)學(xué)問(wèn)題N，并且通過(guò)解決問(wèn)題N，進(jìn)而可以解決原問(wèn)題M。這樣一個(gè)化歸的過(guò)程通?？梢杂孟旅娴目驁D簡(jiǎn)單表示：

圖1

如圖1中標(biāo)示的，問(wèn)題N經(jīng)常被稱作化歸與轉(zhuǎn)化的方向或目標(biāo)，化歸與轉(zhuǎn)化的方法就是轉(zhuǎn)化，經(jīng)常被稱作化歸與轉(zhuǎn)化的策略?；瘹w的方向有時(shí)可能是將煩瑣的問(wèn)題化成單一的問(wèn)題，有時(shí)是將未知的問(wèn)題化成已知的問(wèn)題，有時(shí)是將不能解答的問(wèn)題化成已經(jīng)解答的問(wèn)題等，有時(shí)并不是一步就能完成化歸與轉(zhuǎn)化，需要經(jīng)過(guò)好幾步才能完成。也就是說(shuō)將原來(lái)的問(wèn)題M，通過(guò)轉(zhuǎn)化途徑，轉(zhuǎn)化為問(wèn)題M1，再將問(wèn)題M1轉(zhuǎn)化為問(wèn)題M2，按照“化難為易，化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知”的基本原則繼續(xù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至將其轉(zhuǎn)化為問(wèn)題N，然后一步一步地還原解答每一個(gè)問(wèn)題，直至解答原問(wèn)題M。如此一來(lái)，上面框圖又可以呈現(xiàn)為更一般的化歸模式，圖2：

圖2

由此可以看出化歸與轉(zhuǎn)化思想符合“小步子教學(xué)”的原則，把較復(fù)雜難以解決的問(wèn)題，不如就稱其為“大問(wèn)題”，轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)比較容易解答的“小問(wèn)題”，各個(gè)擊破，最終回歸到原問(wèn)題，解決一開(kāi)始的“大問(wèn)題”。也有人將化歸與轉(zhuǎn)化思想稱為是一種“迂回前進(jìn)”的方法，而其最終的目的是“回到老家”，解答原始的問(wèn)題。

據(jù)說(shuō)，從研究數(shù)學(xué)思想方法中可以看出一個(gè)重要的問(wèn)題，那就是與一般的科學(xué)家（如化學(xué)家）相比，數(shù)學(xué)家具有其特殊的地方，那便是在數(shù)學(xué)思想方法這一方面，因?yàn)閿?shù)學(xué)家具有重要的思維特點(diǎn)——他們善于利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想解決問(wèn)題。這也就更加突出了，化歸與轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學(xué)思想方法中的重要地位。

二、化歸與轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)階段、每一個(gè)環(huán)節(jié)化歸與轉(zhuǎn)化思想都具有指導(dǎo)意義，并且是眾多數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)，比如說(shuō)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、一般與特殊的思想等。其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要作用有：

1.運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)新知識(shí)的形成

比如《分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》《兩平行線間距離公式》的可以用等價(jià)轉(zhuǎn)化法去講解，《集合的基本運(yùn)算》《平明向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算》的講解可以充分地利用數(shù)形結(jié)合的思想講解等，這些案例都體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想對(duì)新知識(shí)形成的指導(dǎo)作用。

2.利用化歸與轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)問(wèn)題的解決

問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)“教”與“學(xué)”活動(dòng)的核心，新知識(shí)的講解也是為問(wèn)題的解決提供依據(jù)和新的方法?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想其實(shí)是通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將煩瑣的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一的問(wèn)題等。轉(zhuǎn)化的方法也是多種多樣，比如，數(shù)形結(jié)合法、特殊化的方法、正反轉(zhuǎn)化的方法等。但是方法再多，其核心的思想就是簡(jiǎn)化問(wèn)題，不要用靜止的態(tài)度看待問(wèn)題，而是要用變化的態(tài)度看問(wèn)題，學(xué)會(huì)變通。

師：復(fù)合函數(shù)求值域，不做變換直接求比較復(fù)雜。觀察到根號(hào)下的內(nèi)容是二次式，可以聯(lián)想到配方法，進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化后大家再觀察該式。

生：

師：很好，還可以繼續(xù)轉(zhuǎn)化嗎？想一想兩點(diǎn)間的距離公式。

生：

生：解：因?yàn)?/p>

師：很好，這道題的主要思想是數(shù)形結(jié)合，通過(guò)換元法把函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和的最值問(wèn)題。

利用化歸與轉(zhuǎn)化思想的熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則以及和諧化原則解數(shù)學(xué)題，能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的思維活動(dòng)，使之能夠順利解決問(wèn)題。

3.利用化歸與轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)的梳理

每次學(xué)完一節(jié)或一章內(nèi)容的時(shí)候，都應(yīng)進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的梳理和總結(jié)。梳理過(guò)程中可以消化、提煉、整理知識(shí)，系統(tǒng)化地記憶知識(shí)，把零零碎碎的知識(shí)組織成井然有序的、層次分明的知識(shí)地圖，將課本知識(shí)學(xué)薄，提綱挈領(lǐng)，更容易記憶、理解和利用。

圖3

三、在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)該注意的問(wèn)題

化歸與轉(zhuǎn)化思想作為問(wèn)題解決的基本方法，其進(jìn)行轉(zhuǎn)化的方法可謂是多種多樣。恩格斯和馬克思的辯證唯物主義告誡后人：“世界永遠(yuǎn)都是處于運(yùn)動(dòng)與變化之中的，要用辯證的態(tài)度去看待一切。”所以在利用化歸與轉(zhuǎn)化思想的時(shí)候，不能將思維局限于某一具體的方法，而是要用動(dòng)態(tài)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。在化歸與轉(zhuǎn)化的過(guò)程中應(yīng)該注意：

1.有目的、有意識(shí)地介紹和突出化歸與轉(zhuǎn)化，找準(zhǔn)目標(biāo)

有目的、有意識(shí)地介紹和突出化歸與轉(zhuǎn)化，緊緊“鎖住”目標(biāo)，利用化歸與轉(zhuǎn)化的原則，將題目化生為熟，化難為易；進(jìn)行規(guī)范化、高效化的化歸與轉(zhuǎn)化。

在教學(xué)中，首先，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)內(nèi)容，考慮突出介紹化歸與轉(zhuǎn)化思想環(huán)節(jié)，學(xué)生把握化歸與轉(zhuǎn)化思想的層次。其次，對(duì)每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)要合理的設(shè)計(jì)，精心的安排，有意識(shí)、有目的地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化的教學(xué)。

化歸與轉(zhuǎn)化思想包括化歸與轉(zhuǎn)化的對(duì)象、目標(biāo)以及途徑和方法（如圖4）。因此，在化歸與轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，應(yīng)該明確化歸與轉(zhuǎn)化的對(duì)象，找準(zhǔn)化歸與轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)幕瘹w與轉(zhuǎn)化的途徑。目標(biāo)是指引化歸與轉(zhuǎn)化前進(jìn)的關(guān)鍵所在，所以要選準(zhǔn)化歸與轉(zhuǎn)化的目標(biāo)。選目標(biāo)總是基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行的，根據(jù)學(xué)生已有的規(guī)范性知識(shí)，將學(xué)生遇到的問(wèn)題規(guī)范化。除此之外，化歸與轉(zhuǎn)化能否順利進(jìn)行還依賴于化歸與轉(zhuǎn)化的方法是否選擇的恰到好處，即要同時(shí)考慮目標(biāo)和方法的可操作性、合理性和規(guī)范性。在解題的過(guò)程中緊緊地鎖住目標(biāo)——原問(wèn)題的解決，才能選擇合理恰當(dāng)?shù)姆椒?，從而避免盲目地選擇方法，致使無(wú)法順利地完成問(wèn)題的解答。

圖4

2.有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，注意化歸與轉(zhuǎn)化的等價(jià)性

化歸與轉(zhuǎn)化大體上可以分為等價(jià)和非等價(jià)的化歸與轉(zhuǎn)化，但是中學(xué)階段的化歸與轉(zhuǎn)化大多數(shù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化。因此在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要注意化歸與轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，在以上的案例中也有所體現(xiàn)，每一階段對(duì)于學(xué)生掌握化歸與轉(zhuǎn)化的水平要求是不一樣的，所以教學(xué)的過(guò)程中教師應(yīng)該有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行該思想方法的教學(xué)，而學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)該花費(fèi)時(shí)間實(shí)踐，不斷探索化歸與轉(zhuǎn)化思想暗含的玄機(jī)。

3.注意化歸與轉(zhuǎn)化方法的多樣性，設(shè)計(jì)合理方案，選擇最佳的方法

化歸與轉(zhuǎn)化的方法多種多樣，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題就可以用多種不同的途徑實(shí)現(xiàn)，但并不是所有的方法都能簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決方案，可能反而會(huì)使問(wèn)題更加煩瑣，無(wú)論如何其中總有使問(wèn)題最簡(jiǎn)化的一種方法途徑，所以選擇最佳的方法是必要的。比如說(shuō)下面的例題：

（A）點(diǎn)有兩個(gè)（B）點(diǎn)有四個(gè)

（C）點(diǎn)不一定存在（D）點(diǎn)一定不存在

解法二：由圖可知，

不可能，所以選。

作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該加強(qiáng)訓(xùn)練自己利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)的能力，提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。在備課的時(shí)候應(yīng)該豐富自己的教學(xué)目標(biāo)，將數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)一并列入教學(xué)過(guò)程中，以輔助數(shù)學(xué)知識(shí)的講解。只有讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想方法的真諦，才能將數(shù)學(xué)知識(shí)更好地納入自己的知識(shí)體系，加強(qiáng)自己的數(shù)學(xué)能力，終身受益，而作為教師也才能真正地做到“授學(xué)生以漁”。

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