胡 亮 李 歡 任桃桃 白俊磊 王一波

（上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109）

0 引言

現(xiàn)階段航空航天領(lǐng)域產(chǎn)品輕量化、小型化、集成化的趨勢(shì)愈來(lái)愈明顯，這對(duì)電路印制板結(jié)構(gòu)、尺寸和可靠性的要求越來(lái)越高。剛撓結(jié)合印制板將傳統(tǒng)PCB 板與尺寸更小、安裝方式更加靈活的撓性板結(jié)合在一起，不僅提高了電子系統(tǒng)連接的可靠性，還使得結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方式更加簡(jiǎn)單、可靠［1-2］。撓性板作為剛撓結(jié)合印制板的中間連接部件，制造工藝決定了其自身的剛度、強(qiáng)度等力學(xué)性質(zhì)［3-4］，然而在實(shí)際使用中撓性板往往存在彎折情況，特別是直角彎折和翻轉(zhuǎn)彎折［5］，導(dǎo)致局部應(yīng)力過(guò)大進(jìn)而造成其失效。撓性板的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)需為彎折預(yù)留足夠的操作空間，還應(yīng)使彎折到位后板內(nèi)的應(yīng)力盡量小，特別是撓性板與PCB板連接處，以及撓性板彎折曲率最大處［6］。

利用有限元分析軟件可以方便地計(jì)算撓性板彎折的位移、變形、應(yīng)力以及連接處的彎矩、剪力等情況［7-8］，但無(wú)法系統(tǒng)地給出各力學(xué)參數(shù)隨撓性板長(zhǎng)度變化的曲線，不便于在設(shè)計(jì)之初給出合適的設(shè)計(jì)參數(shù)。

本文以撓性板翻轉(zhuǎn)彎折為例，從材料力學(xué)中梁受力彎曲的撓曲線方程出發(fā)，利用數(shù)值積分方法求得給定彎矩和剪力情況下的撓性板彎折曲線，再以板長(zhǎng)和跨度作為約束條件反算彎矩和剪力的取值［9］，在取得板長(zhǎng)-跨度-彎矩-剪力4 者關(guān)系曲線后作進(jìn)一步的分析。

1 撓性板彎折的受力分析

一種典型的撓性板翻轉(zhuǎn)彎折如圖1所示。圖中兩塊PCB 板平行放置，其右側(cè)端面重合，中間由等寬等厚的均勻撓性板連接，撓性板自由彎曲變形。

圖1 撓性板彎折模型Fig.1 Model of bending flexible plate

撓性板為線彈性變形，采用材料力學(xué)中梁彎曲時(shí)的中性層假設(shè)，認(rèn)為該層的長(zhǎng)度在彎曲時(shí)無(wú)變化，截面內(nèi)水平方向應(yīng)力相同［10］，將問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維受力問(wèn)題，撓性板的受力情況如圖2所示。圖中A、B點(diǎn)為撓性板中性層曲線的兩端點(diǎn)，C 點(diǎn)為曲線頂點(diǎn)，撓性板在兩端點(diǎn)處收到彎矩和剪力的作用，撓性板總長(zhǎng)為L(zhǎng)，彎折后AB跨度為D，曲線高度為H。

圖2 撓性板彎折的受力分析Fig.2 Force analysis of the bending flexible plate

由于撓性板自由變形，其變形具有對(duì)稱性，且X方向的外力為零。只取上半部分AC 段進(jìn)行分析，將坐標(biāo)原點(diǎn)取為A 點(diǎn)，曲線上坐標(biāo)為X的一點(diǎn)P 的受力如圖3所示。

圖3 撓性板變形曲線上任意一點(diǎn)的受力分析Fig.3 Force analysis of any point of the bending flexible plate

取力和力矩的正方向與坐標(biāo)軸正方向相同且滿足右手法則，由力和力矩平衡可知：FP=-FA及MP=FAx-MA。即曲線上各點(diǎn)的剪力相同，且力矩為：

2 彎折曲線的數(shù)值積分

撓性板視為均一的線彈性材料，同時(shí)算例中梁的跨度遠(yuǎn)大于截面高度，因此根據(jù)材料力學(xué)中梁的撓曲線方程［10］，可得：

式中，E為撓性板材料的彈性模量，I為截面的慣性矩，矩形截面寬度為b，高度為h，則有I=bh3/12。

曲線二階導(dǎo)數(shù)y″與力矩Mx符號(hào)相同，根據(jù)力矩方向定義，若Mx>0（即力矩為逆時(shí)針?lè)较颍?，此時(shí)曲線具有上翹（下凸）趨勢(shì)，對(duì)應(yīng)的二階導(dǎo)數(shù)y″>0。注意到AC 段的末端必然向內(nèi)彎曲，即斜率為負(fù)且迅速減小，可知此處的力矩必然為負(fù)值。

將式（1）代入式（2）中，整理得：

已知x0=0，y0=0，y′0=0，上式可用數(shù)值積分的方法求取曲線的一階和二階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得曲線方程。積分方法可選擇歐拉法或四階Runge-Kutta 法［11］，后者具有更高的求解精度，且計(jì)算量不大，本文選擇后者進(jìn)行求解，遞推公式如下：

式中，h為步長(zhǎng)。坐標(biāo)y和弧長(zhǎng)Δs的遞推采用前一點(diǎn)的一階和二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算：

利用MATLAB 軟件編寫計(jì)算程序，考慮到曲線末端斜率增加很快，采用變步長(zhǎng)算法來(lái)減小計(jì)算誤差。計(jì)算時(shí)以終點(diǎn)的斜率作為終止的條件，閾值取為-50 000。積分求解時(shí)需確定FA和MA的數(shù)值，為方便初值選取，考慮到此時(shí)撓性板受純彎矩作用時(shí)其曲率理論上為常數(shù)，即彎曲曲線為半徑為R的圓弧，則有：1/R=MO/EI，同時(shí)取F0=MO/R。撓性板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則FA和MA的取值定義為：

式中，KM和KF分別為力矩和力取值的系數(shù)。

MATLAB 中數(shù)值計(jì)算流程圖如圖4所示，仿真計(jì)算所采用的參數(shù)見(jiàn)表1。

圖4 MATLAB數(shù)值計(jì)算流程圖Fig.4 Flow chart of the numerical calculation in MATLAB

表1 仿真計(jì)算參數(shù)表Tab.1 Parameters of the simulate calculation

對(duì)所有的組合分別求解，結(jié)果如圖5所示。圖中數(shù)值積分工具對(duì)于每個(gè)KM和KF值下不同跨度曲線均進(jìn)行求解，同時(shí)曲線構(gòu)型首先要滿足同一長(zhǎng)度條件和AC 段（初始段）向下彎曲的條件。邊界曲線以下部分為不滿足初始段曲線向下彎曲構(gòu)型的組合，長(zhǎng)度條件曲線為滿足撓性線長(zhǎng)度60 mm 的組合，跨度條件曲線為撓性線彎折后滿足相應(yīng)跨度的組合，兩者的交點(diǎn)即為同時(shí)滿足長(zhǎng)度和跨度條件的取值組合（求解精度為1%）。

從圖5中可以明顯看到隨著跨度不斷增大，跨度條件曲線向右側(cè)移動(dòng)，且其右上段逐漸向長(zhǎng)度條件曲線靠近，滿足相應(yīng)跨度的取值組合點(diǎn)也在長(zhǎng)度條件曲線上向右上方移動(dòng)。從數(shù)值上可以看出：

圖5 數(shù)值積分結(jié)果Fig.5 Numerical integration

（1）D=2R時(shí)（本算例中R=60/pi），剪力系數(shù)為0，力矩系數(shù)為1，符合梁純彎曲構(gòu)型時(shí)受力狀態(tài)；

（2）剪力絕對(duì)值隨跨度增大首先逐漸減小，剪力值減小為0后，剪力改變方向，且絕對(duì)值逐漸增大；

（3）力矩絕對(duì)值隨跨度增大同樣先減小后增大，但力矩方向改變時(shí)刻先于剪力。

3 有限元仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證數(shù)值分析結(jié)果的有效性，本文用ANSYS Workbench軟件對(duì)相同模型進(jìn)行了有限元求解［12］，仿真參數(shù)設(shè)置同前。得到撓性板彎折至跨度30 和20 mm時(shí)的變形和應(yīng)力情況，如圖6所示。

圖6 撓性板彎折應(yīng)力的有限元仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results of the bending stress of flexible plate in finite element method

取撓性板中間層的變形曲線與數(shù)值積分結(jié)果，由跨度為30 和20 mm 時(shí)的結(jié)果對(duì)比如圖7可見(jiàn)，兩條變形曲線非常吻合，對(duì)應(yīng)點(diǎn)處誤差最大值在0.2 mm 左右，越接近彎折頂點(diǎn)C（積分末端）誤差越大。通過(guò)減小積分步長(zhǎng)可提高積分精度，減小誤差。

圖7 彎折曲線的數(shù)值積分與有限元仿真結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of the numerical integration and finite element simulation results of the bending curves

跨度為5～50 mm 時(shí)兩種方法計(jì)算的彎矩和剪力結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表2。兩種方法的計(jì)算結(jié)果較為一致，剪力的誤差基本在0.024 N 以下，彎矩的誤差基本在0.504 N·mm 以下，在兩端處誤差較大；剪力和彎矩的相對(duì)誤差基本在9%以下。剪力相對(duì)誤差最大出現(xiàn)在跨度為40 mm 時(shí)（接近圓弧彎曲），此時(shí)剪力數(shù)值非常小，較小的誤差值引起了較大的相對(duì)誤差。

表2 不同跨度時(shí)兩種方法計(jì)算的彎矩和剪力計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of the bending moment and shearing force calculated by two methods in different span

兩種方法的誤差來(lái)源有：（1）積分算法（特別是弧長(zhǎng)）的遞推公式；（2）積分步長(zhǎng)的選擇；（3）初始參數(shù)的間距；（4）對(duì)彎矩和變形方程的簡(jiǎn)化。后續(xù)可從以上幾方面入手提高數(shù)值算法的計(jì)算精度。

4 數(shù)值積分結(jié)果分析

基于數(shù)值積分的結(jié)果進(jìn)一步分析各參數(shù)的關(guān)系，如圖8所示?？梢钥闯觯海?）曲線高度H隨跨度D增加逐漸減?。唬?）KM和KF數(shù)值隨跨度D增加單調(diào)增加且斜率迅速增大；（3）KM和KF呈正相關(guān)關(guān)系（實(shí)際上該曲線即圖5中的長(zhǎng)度條件曲線）。采用多項(xiàng)式擬合的方式可以獲得各參數(shù)的近似關(guān)系表達(dá)式，可應(yīng)用于后續(xù)數(shù)值積分的優(yōu)化，以提高仿真結(jié)果的精度。

撓性板彎折曲線的形狀與剪力和彎矩符號(hào)之間的關(guān)系如圖9所示。聯(lián)系圖8（c）可知：（1）若FA>0，必然有MA>0，否則不滿足曲線的構(gòu)型，此時(shí)有D>2R；（2）若FA=0，必然有MA=M0，此時(shí)有D=2R；（3）若FA<0，且MA≥0，此時(shí)D<2R，且曲線完全內(nèi)縮無(wú)外擴(kuò)段；（4）若FA<0，且MA<0，此時(shí)D<2R，且曲線存在外擴(kuò)段（二階導(dǎo)數(shù)先正后負(fù)），跨度臨界值為27.44 mm。4種狀況下跨度依次減小，高度逐漸增加。

圖8 各參數(shù)關(guān)系曲線Fig.8 Curves of the relationship of each parameter

圖9 參數(shù)符號(hào)與曲線形狀的關(guān)系Fig.9 Relationship of the parameter sign and curve shape

在實(shí)際應(yīng)用中，可以首先根據(jù)工程實(shí)際需求得到撓性板所需要的初始長(zhǎng)度與跨度，然后利用數(shù)值仿真根據(jù)撓性板的力學(xué)性質(zhì)下以及長(zhǎng)度與跨度關(guān)系來(lái)判斷其所承受的剪力與彎矩的方向和數(shù)值大小，再以剪應(yīng)力或正應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，在合理的約束下選取一系列可行的長(zhǎng)度與跨度參數(shù)，最后得到同時(shí)兼顧操作工藝性和應(yīng)力要求的撓性板構(gòu)型。

5 結(jié)論

本文首先對(duì)撓性板彎折進(jìn)行受力分析，然后基于梁的撓曲線方程，將彎矩和剪力作為自變量，利用四階Runge-Kutta 方法計(jì)算了撓性板翻轉(zhuǎn)彎折的曲線構(gòu)型，最后利用曲線長(zhǎng)度和跨度反算來(lái)確定彎矩和剪力的數(shù)值，仿真計(jì)算得到的結(jié)論如下：

（1）將數(shù)值積分結(jié)果與ANSYS Workbench 的有限元仿真結(jié)果相對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩種計(jì)算方法得到的撓性板變形曲線非常吻合，彎矩和剪力數(shù)據(jù)非常接近；

（2）基于數(shù)值積分結(jié)果進(jìn)一步分析彎矩、剪力與撓性板彎折曲線的跨度、高度間的關(guān)系，指出參數(shù)符號(hào)與彎折曲線構(gòu)型間的關(guān)系，對(duì)工程設(shè)計(jì)具有一定的借鑒意義。

本文發(fā)展的數(shù)值積分方法可推廣應(yīng)用于撓性板的其他彎折情況，如直角彎折或特定角度彎折。由于支撐反力的增加，自變量數(shù)量增加，需要有合適的優(yōu)化方法配合計(jì)算。