張是浩，程 龍

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

隨著非線性動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，在初值敏感的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究中發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.混沌是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的不穩(wěn)定現(xiàn)象，其不穩(wěn)定體現(xiàn)在相軌道隨時(shí)間演化以指數(shù)速率分離上.混沌現(xiàn)象具有與線性動(dòng)力系統(tǒng)不同的特性，在數(shù)學(xué)、氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注.黑洞是引力理論的研究對(duì)象之一，并且是量子熱力學(xué)系統(tǒng)，該系統(tǒng)被認(rèn)為具有混沌現(xiàn)象，如特定的黑洞與特定的粒子形成的系統(tǒng)，粒子軌道將會(huì)出現(xiàn)混沌[1-2].

全息對(duì)偶領(lǐng)域中引力全息原理表明，在給定的體空間中，例如反德西特(antide sitter,AdS)時(shí)空，用引力理論描述一個(gè)系統(tǒng)，再在此空間的邊界上用一個(gè)共形場(chǎng)論去描述同一個(gè)系統(tǒng)，兩者是等價(jià)的.Maldacena、Shenker等[3-5]在該理論的框架下發(fā)現(xiàn)了Maldacena-Shenker-Stanford(MSS)邊界，即衡量量子多體系統(tǒng)的混沌的李雅普諾夫指數(shù)不能大于系統(tǒng)中黑洞的表面引力.由于該結(jié)論是在邊界上使用量子場(chǎng)論語(yǔ)言得出的，為了驗(yàn)證各種黑洞的混沌是否滿足MSS邊界，近年來(lái)的研究致力于在體空間中用引力理論對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)[6-11].

已有研究表明，黑洞自身攜帶的角動(dòng)量以及特殊的混沌源會(huì)導(dǎo)致對(duì)MSS邊界的違反，即求得的李雅普諾夫指數(shù)大于黑洞的表面引力.如Hashimoto等[6]研究了靜止球?qū)ΨQ黑洞系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象，并且指出此類黑洞在高自旋力下會(huì)出現(xiàn)違反MSS邊界的情況.Dalui等[7]研究了無(wú)質(zhì)量和無(wú)電荷粒子在球?qū)ΨQ黑洞和穩(wěn)態(tài)軸對(duì)稱黑洞的近視界區(qū)域運(yùn)動(dòng)的混沌現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)黑洞會(huì)導(dǎo)致混沌現(xiàn)象更加明顯.Zhao等[8]研究了帶電球?qū)ΨQ黑洞，以及帶有宇宙常數(shù)的帶電球?qū)ΨQ黑洞，發(fā)現(xiàn)了宇宙常數(shù)導(dǎo)致對(duì)MSS邊界的違反.Lei等[9]使用粒子徑向動(dòng)量與復(fù)雜度的對(duì)偶關(guān)系來(lái)研究AdS黑洞.Kan等[10]研究了四維時(shí)空中的旋轉(zhuǎn)帶電黑洞，得出了黑洞攜帶的角動(dòng)量會(huì)導(dǎo)致對(duì)MSS邊界的違反.Giataganas[11]證明了黑洞的李雅普諾夫指數(shù)在最大混沌處和宇宙學(xué)視界間是等價(jià)的.

值得注意的是，上述工作研究的黑洞均為傳統(tǒng)黑洞解.傳統(tǒng)黑洞解存在坐標(biāo)和時(shí)空的發(fā)散問(wèn)題，發(fā)散的數(shù)學(xué)結(jié)果在物理上是沒(méi)有研究意義的[12].為了避免傳統(tǒng)黑洞解的最大問(wèn)題時(shí)空發(fā)散性，Bardden[13]提出了正規(guī)(regular)黑洞解.正規(guī)黑洞解與傳統(tǒng)黑洞解的區(qū)別在于，通過(guò)將引力源視為奇異場(chǎng)，使其不會(huì)出現(xiàn)坐標(biāo)和時(shí)空的發(fā)散，即非奇異解.這樣的黑洞是在能夠形成視界并且避免獲得非物理模型的情況下，盡可能地違反奇點(diǎn)定理而得到的解[14-15].2006年，為了解決正規(guī)解能夠滿足場(chǎng)方程的問(wèn)題，Hayward得到一種消除了坐標(biāo)與時(shí)空發(fā)散的正規(guī)黑洞解，即Hayward黑洞解[12]，而胡冀萬(wàn)等[16]完成了Hayward黑洞的經(jīng)典檢驗(yàn).

綜上所述，目前已有的研究對(duì)正規(guī)黑洞是否滿足MSS邊界是未知的，需要進(jìn)一步研究正規(guī)黑洞的李雅普諾夫指數(shù)在MSS邊界上的情況并與傳統(tǒng)黑洞形成對(duì)比.Hayward黑洞作為一種較為簡(jiǎn)單的正規(guī)黑洞，先對(duì)其研究有助于為研究更復(fù)雜的正規(guī)黑洞提供參考，并且Hayward黑洞能夠退化為傳統(tǒng)的施瓦西黑洞，有利于與傳統(tǒng)黑洞的研究形成對(duì)照.本文通過(guò)數(shù)值研究，求出粒子在具有特殊線性勢(shì)的Hayward黑洞附近運(yùn)動(dòng)的李雅普諾夫指數(shù)，研究Hayward黑洞是否滿足混沌邊界，并與施瓦西黑洞進(jìn)行比較.該研究可為使用數(shù)值方法計(jì)算正規(guī)黑洞的混沌邊界提供實(shí)例，為進(jìn)一步探索更多種類黑洞的混沌邊界提供參考.

1 理論基礎(chǔ)與計(jì)算過(guò)程

通過(guò)定義粒子在具有特殊線性勢(shì)的Hayward黑洞外視界以外的有效勢(shì)，研究粒子的有效勢(shì)是否具有不穩(wěn)定極大值，再?gòu)牧Ｗ拥倪\(yùn)動(dòng)方程中求出李雅普諾夫指數(shù)，將其與MSS邊界比較，判斷Hayward黑洞是否違反MSS邊界.

1.1 Hayward黑洞理論模型

Hayward黑洞的度規(guī)為[12]：

(1)

按照求解視界的辦法，此度規(guī)會(huì)產(chǎn)生3個(gè)解，舍棄負(fù)根，剩下的兩個(gè)正實(shí)根即為黑洞的內(nèi)外視界，其中外視界為：

(2)

Hayward黑洞的表面引力為

(3)

式中：l為與黑洞中心能量密度有關(guān)的自由參數(shù)，一般假設(shè)它是大于零的.

1.2 MSS邊界

一個(gè)量子多體系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)滿足MSS邊界：

(4)

式中：T表示黑洞的溫度；λ表示系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)；?為約化普朗克常數(shù).

李雅普諾夫指數(shù)是用以描述運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)混沌程度的參數(shù)，它的本質(zhì)是運(yùn)動(dòng)軌道的分離率，因此若一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)大于零，說(shuō)明此系統(tǒng)是混沌的.

表面引力是物體靜止在黑洞視界上所受的引力場(chǎng)強(qiáng)，它與溫度間有關(guān)系式2πT/?=κ，故MSS邊界式(4)實(shí)際上可以寫成λ≤κ.κ為黑洞的表面引力.這條不等式意味著在體空間中，一個(gè)由黑洞組成的系統(tǒng)，它的李雅普諾夫指數(shù)不能大于其表面引力.

假設(shè)一個(gè)有質(zhì)量的粒子繞著黑洞外視界運(yùn)動(dòng)，但是受到額外線性勢(shì)的影響(如電磁勢(shì))而不落入黑洞，于是可以根據(jù)此粒子的拉格朗日量來(lái)求出運(yùn)動(dòng)方程，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程來(lái)研究它是否具有混沌，一旦發(fā)現(xiàn)它具有混沌現(xiàn)象，則求出它的李雅普諾夫指數(shù)，再與系統(tǒng)中黑洞的表面引力比較，就可以判斷此系統(tǒng)是否滿足MSS邊界式(4).

1.3 計(jì)算方法與過(guò)程

1.3.1 等效勢(shì)的定義與極值

假設(shè)一個(gè)單位質(zhì)量的粒子，考慮到粒子繞著Hayward黑洞的外視界運(yùn)動(dòng)，為避免粒子落入黑洞視界內(nèi)，引入額外的線性勢(shì)V(x).

(5)

從式(5)可知，粒子的拉格朗日量與φ無(wú)關(guān)，因此具有一個(gè)守恒量——粒子的軌道角動(dòng)量：

(6)

定義

(7)

可得

(8)

式中：Veff為有效勢(shì)，表示將粒子動(dòng)能項(xiàng)扣除以后，系統(tǒng)拉格朗日量中其他所有的項(xiàng)之和.令x=r-r+，則V(r)=V(x)=V1x，f(r)=f(x)=f1x，其中V1為線性勢(shì)系數(shù)，f1為f(x)在r=r+上的一階泰勒展開(kāi)系數(shù).隨后可以將有效勢(shì)改寫為：

(9)

得到有效勢(shì)式(9)后，需要研究等效勢(shì)是否具有不穩(wěn)定極大值點(diǎn)r0.并且由于粒子一旦落入視界內(nèi)，則外界觀測(cè)者將無(wú)從觀測(cè)系統(tǒng)行為，因此需要極值點(diǎn)位于外視界以外.

通過(guò)求解方程dVeff/dr=0，若此方程有解，則得到的解即為不穩(wěn)定極大值r0，并且需要滿足r0> r+.

1.3.2 不同參數(shù)下的等效勢(shì)

等效勢(shì)式(9)若具有位于外視界以外的不穩(wěn)定極大值r0，則需要研究不同參數(shù)對(duì)等效勢(shì)的影響，需固定M與V1不變，將不同的L代入式(9)，作出圖即可.

1.3.3 李雅普諾夫指數(shù)的求解

在求解等效勢(shì)的不穩(wěn)定極大值后，需要求出粒子的運(yùn)動(dòng)方程以便求出李雅普諾夫指數(shù).現(xiàn)將有效勢(shì)在不穩(wěn)定極大值點(diǎn)r0上泰勒展開(kāi)，展開(kāi)到二階項(xiàng)：

(10)

令ε=r-r0為徑向坐標(biāo)與徑向極大值點(diǎn)的差值，略去常數(shù)項(xiàng)和高階項(xiàng)后，可以將拉格朗日量改寫成：

(11)

隨后對(duì)拉格朗日量求變分，得到粒子的運(yùn)動(dòng)方程：

(12)

這是一個(gè)反諧振子運(yùn)動(dòng)方程，文獻(xiàn)[17]已經(jīng)證明此種系統(tǒng)具有混沌行為，并且其通解：ε=Aeλ+Be-λ也出現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)行為，通解中的λ就是此系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù).而其中：

(13)

進(jìn)一步分析，某些情況下這里可能出現(xiàn)λ2小于零的情況，對(duì)于這種情況，λ2就不能再作為系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)，而在后續(xù)的計(jì)算中，將要保證λ2大于零.

1.3.4 對(duì)混沌邊界的驗(yàn)證

得到李雅普諾夫指數(shù)λ2后，直觀的方法是利用數(shù)值作圖，作出λ2-κ2曲線，觀察其是否出現(xiàn)大于零的部分，即可知此系統(tǒng)是否對(duì)MSS邊界式(4)產(chǎn)生違反.

2 Hayward黑洞與施瓦西黑洞的計(jì)算結(jié)果與分析

2.1 Hayward解

在計(jì)算中，為了計(jì)算簡(jiǎn)便以及圖像行為更加顯著，取黑洞的ADM質(zhì)量設(shè)為1，線性勢(shì)系數(shù)設(shè)為0.4.由于反三角函數(shù)的定義域限制，為了保證外視界式(2)存在，選取參數(shù)時(shí)應(yīng)滿足約束條件l小于0.769 8，且l不為零.

作出l=0.7時(shí)Hayward黑洞的有效勢(shì)Veff，如圖1所示.隨著L的增大，有效勢(shì)的值越小，圖像越遠(yuǎn)離Veff=0，同時(shí)不穩(wěn)定極大值r0或者說(shuō)x0也在增大.這是因?yàn)榱Ｗ咏莿?dòng)量越大，將會(huì)越來(lái)越遠(yuǎn)離黑洞，反之將會(huì)不斷地靠近黑洞直至落入黑洞的外視界.考慮到極大值點(diǎn)存在且式(13)必須大于零，因此L不能小于2.23.由圖1的L=1對(duì)應(yīng)的Veff曲線可知，其曲線甚至不存在極值，這也說(shuō)明L=1的軌道不滿足極值點(diǎn)位于視界外的要求.

圖1 Hayward黑洞在固定參數(shù)下不同的L對(duì)應(yīng)的有效勢(shì)Veff圖像Fig.1 Veff for Hayward black hole with different values of L under fixed parameters

為了突出不同的L與l對(duì)λ2-κ2的影響，使用式(3)與式(13)來(lái)作出λ2-κ2曲線，具體的λ2-κ2曲線行為如圖2所示.從圖2可知，對(duì)于Hayward黑洞，在選取特定的參數(shù)時(shí)，其李雅普諾夫指數(shù)出現(xiàn)了違反MSS邊界式(4)的行為，如l=0.5與l=0.7，即在允許的角動(dòng)量取值區(qū)間上λ2-κ2大于0.并且隨著l的增大，κ2顯示出下降趨勢(shì)，最終導(dǎo)致λ2-κ2越來(lái)越接近λ2，并且隨著L的增長(zhǎng)，λ2-κ2的值也體現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)，這種趨勢(shì)主要是由于λ2隨著L的增長(zhǎng)也是增大后減小的趨勢(shì).這說(shuō)明系統(tǒng)的混沌隨著粒子角動(dòng)量的增長(zhǎng)，先變得越來(lái)越大，隨后開(kāi)始減小.但由圖2可知，對(duì)于l=0.3，其λ2是滿足MSS邊界式(4)的，這說(shuō)明不同的l對(duì)應(yīng)的Hayward黑洞對(duì)MSS邊界式(4)具有不同的結(jié)果.此外，從圖2還可知，l值的選取對(duì)λ2-κ2曲線影響較大，例如對(duì)于l=0.3與l=0.5來(lái)說(shuō)，l只改變了0.2，但是整個(gè)系統(tǒng)對(duì)于MSS邊界式(4)就從滿足到出現(xiàn)違反.通過(guò)以上分析，對(duì)于l=0.5與l=0.7，Hayward黑洞違反MSS邊界.

圖2 Hayward黑洞在不同l時(shí)對(duì)應(yīng)的λ2-κ2圖像Fig.2 λ2-κ2 for Hayward black hole with different values of l

2.2 施瓦西解

正規(guī)解作為消除了時(shí)空發(fā)散的解，具有能夠在漸近無(wú)窮遠(yuǎn)處退化成施瓦西解的特點(diǎn)，為了更好地突出Hayward黑洞混沌性質(zhì)，將Hayward黑洞與傳統(tǒng)的施瓦西黑洞進(jìn)行對(duì)比，后續(xù)計(jì)算結(jié)果表明，施瓦西黑洞是Hayward黑洞退化后的一種特例.

(14)

若M=0，則整體時(shí)空又退化成平坦的閔氏時(shí)空.

對(duì)于施瓦西黑洞，其表面引力為：

(15)

式中，rg=M為施瓦西半徑.

同樣，引入線性勢(shì)V(r)，并利用度規(guī)式(15)可以寫出此系統(tǒng)的拉格朗日量：

(16)

從而得到有效勢(shì)：

(17)

雖然施瓦西黑洞與Hayward黑洞的有效勢(shì)Veff相同，但是f(r)是不同的，因此f(r)的一階展開(kāi)系數(shù)f1也不相同.

為了研究有效勢(shì)式(17)的不穩(wěn)定極大值，選取不同參數(shù)，研究Veff的行為，如圖3所示.圖3不同的線形對(duì)應(yīng)不同的L.從圖3可知，與Hayward黑洞類似，有效勢(shì)Veff的值隨著L的增大而減小，但是不穩(wěn)定極大值x0也在增大，說(shuō)明粒子角動(dòng)量越大，形成混沌的軌道就越遠(yuǎn)離黑洞的視界.但當(dāng)L=1時(shí)，有效勢(shì)沒(méi)有不穩(wěn)定極大值，這說(shuō)明L必須足夠大，有效勢(shì)才會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定極大值.

圖3 施瓦西黑洞在固定參數(shù)下不同的L對(duì)應(yīng)的有效勢(shì)Veff圖像Fig.3 Veff for Schwarzschild black hole with different values of L under fixed parameters

最后，本文同樣研究了施瓦西黑洞在特定參數(shù)下的λ2-κ2曲線行為，這里以粒子的角動(dòng)量L為自變量，再結(jié)合李雅普諾夫指數(shù)式(13)與施瓦西黑洞的表面引力式(15)，可以得到特定參數(shù)下的λ2-κ2曲線.從圖4可知，與Hayward黑洞類似，λ2曲線與λ2-κ2曲線都出現(xiàn)了先增大后減小的趨勢(shì)，這也說(shuō)明隨著粒子的角動(dòng)量的增大，系統(tǒng)的混沌也在增大，但是如果角動(dòng)量過(guò)大，則系統(tǒng)混沌將會(huì)減小.這是因?yàn)楫?dāng)粒子的角動(dòng)量增大時(shí)，能夠形成混沌的軌道也越來(lái)越遠(yuǎn)離黑洞視界，當(dāng)角動(dòng)量繼續(xù)增大，黑洞對(duì)粒子的影響也會(huì)越來(lái)越小，所以出現(xiàn)了混沌行為越來(lái)越小的趨勢(shì).圖4選取了與Hayward黑洞相同的參數(shù)，發(fā)現(xiàn)施瓦西黑洞在此組參數(shù)的允許區(qū)間上滿足MSS邊界式(4)，而這一結(jié)論也與使用解析方法研究的文獻(xiàn)[6]一致，因此施瓦西黑洞與文獻(xiàn)[8,10]中的研究對(duì)象在所有參數(shù)區(qū)間上都違反的情況又不相同，這是因?yàn)槭┩呶骱诙床痪哂薪莿?dòng)量且不帶宇宙常數(shù)及電荷，因此很難出現(xiàn)全參數(shù)區(qū)間上的違反行為.上述結(jié)果說(shuō)明，施瓦西黑洞的李雅普諾夫指數(shù)在同樣的參數(shù)下滿足MSS邊界式(4).

圖4 施瓦西黑洞在特定參數(shù)下的λ2-κ2圖像Fig.4 λ2-κ2 for Schwarzschild black hole under fixed parameters

3 結(jié)論

經(jīng)過(guò)研究Hayward黑洞是否滿足MSS邊界式(4)以及與傳統(tǒng)黑洞混沌行為的對(duì)比，通過(guò)分析粒子的運(yùn)動(dòng)方程的穩(wěn)定性來(lái)研究Hayward解與它的漸近無(wú)窮遠(yuǎn)情形——施瓦西解的混沌現(xiàn)象.得出結(jié)論如下：

(a) Hayward黑洞在l=0.5與l=0.7時(shí)違反了MSS邊界式(4)，但是通過(guò)改變自由參數(shù)l，可以使其滿足這樣的邊界.

(b) 作為Hayward黑洞的漸近無(wú)窮遠(yuǎn)形式——施瓦西黑洞，它在同樣的參數(shù)下滿足MSS邊界.

本文的研究表明，Hayward黑洞的混沌現(xiàn)象與文獻(xiàn)[8,10]中的情況不同，并沒(méi)有出現(xiàn)在任何參數(shù)區(qū)間上都違反MSS邊界的情況，而對(duì)于特定的l，Hayward黑洞違反MSS邊界，但在同樣的參數(shù)下施瓦西黑洞卻滿足MSS邊界，這樣的區(qū)別只能來(lái)源于正規(guī)解與傳統(tǒng)解的差異.因此，正規(guī)黑洞與傳統(tǒng)黑洞相比有不同的混沌行為，但由于正規(guī)黑洞存在可調(diào)節(jié)的自由參數(shù)l，在l不斷減小時(shí)正規(guī)黑洞的度規(guī)能夠近似成傳統(tǒng)黑洞的度規(guī)，從而使其與傳統(tǒng)黑洞的行為越來(lái)越一致.并且，與文獻(xiàn)[8]中所指出的一樣，旋轉(zhuǎn)黑洞對(duì)于MSS邊界式(4)的違反是由于此類黑洞自身攜帶的角動(dòng)量，由于本文研究的Hayward黑洞不攜帶角動(dòng)量，因此也就不會(huì)出現(xiàn)明顯的全參數(shù)區(qū)間違反行為.