華南師范大學數(shù)學科學學院(510000) 池志陽

華南師范大學附屬中學(510000) 劉宇丹

新課標背景下,數(shù)學建模素養(yǎng)越發(fā)受到中小學教學所重視,不同版本的數(shù)學高中新教材均在課程中加入了數(shù)學建模課,然而許多一線數(shù)學教師從未有上數(shù)學建模課的經(jīng)驗,因此,探索新教材中的數(shù)學建模課的授課方式和內(nèi)容就成了當務(wù)之急.

在2020年11月28日的廣東廣雅中學、湖南長郡中學、華南師范大學聯(lián)合教學研討活動中,筆者參與了高中數(shù)學建模課的同課異構(gòu),和廣雅中學以及長郡中學的兩位任課老師共同探索了新課改下數(shù)學建模課的授課內(nèi)容,課后不少數(shù)學教師對筆者的教學設(shè)計很感興趣,人教版高中數(shù)學新教材的編審章建躍博士也對筆者設(shè)計的數(shù)學建模課給予好評.故筆者就數(shù)學建模課的教學談?wù)剛€人的看法,歡迎批評指正.

1 課前分析

數(shù)學建模與前后教材內(nèi)容的關(guān)聯(lián)如何?和學生的知識掌握情況是否適配?數(shù)學建模課的教學目標又是什么?只有明確了教學內(nèi)容、學生群體和教學目標,才能有的放矢,更精準地設(shè)計教學.

1.1 教材分析

“建立函數(shù)模型解決實際問題”選自人教版高中數(shù)學教材必修一[1],該內(nèi)容被安排在基本函數(shù)的學習之后,作為函數(shù)的應(yīng)用部分.這種設(shè)置一方面可以幫助學生通過函數(shù)的實際應(yīng)用過程加深對函數(shù)的認識,另一方面函數(shù)知識是數(shù)學建模的基礎(chǔ)內(nèi)容,對函數(shù)性質(zhì)的學習有助于促進學生后續(xù)對建模思想的理解.學生此前在學習基本函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)時穿插了兩節(jié)函數(shù)應(yīng)用課,初步接觸到了“函數(shù)模型”這個名詞,并練習過幾道與“函數(shù)模型”相關(guān)的應(yīng)用題.但是在本節(jié)課之前,教材中尚未正式提出數(shù)學建模的概念,因此本節(jié)課是學生真正走進數(shù)學建模的第一課.

此外,人教版高中數(shù)學教材必修一中明確提到,后續(xù)還需要學生小組在班里進行開題報告、課后進行建模研究以及最后進行成果展示,即至少需要3個課時和課后若干時間的自主探究.本文中所探討的數(shù)學建模課僅指代第一節(jié)課,不包含后續(xù)內(nèi)容.

1.2 學情分析

普通高中的學生數(shù)學基礎(chǔ)知識相對扎實,在本節(jié)課之前已經(jīng)比較熟練地掌握了各種基本函數(shù),并能夠初步使用簡單的函數(shù)模型解決數(shù)學應(yīng)用題.但是他們從來未曾自主建構(gòu)過數(shù)學模型,也并不了解數(shù)學建模的真正含義.

其次,該年齡段的學生是最具好奇心和主動性的,他們雖然掌握了一些數(shù)學基礎(chǔ)知識和技能,但在生活中無法將這些知識和技能應(yīng)用起來,從而產(chǎn)生了數(shù)學與生活的割裂感.因此在學習這節(jié)課之前,大部分學生心里存在著兩個疑惑,一是數(shù)學究竟有什么用?二是什么是數(shù)學建模,它和我們之前學的數(shù)學知識有什么關(guān)系?

此外,該年齡段的學生思維活躍,見識較廣,傳統(tǒng)的基礎(chǔ)建模案例可能無法引起他們的注意,因此在數(shù)學建模的教學過程中可以選取一些更現(xiàn)代化的、貼近他們當前生活的案例來幫助他們理解建模過程,加深他們的興趣.

1.3 教學目標分析

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》[2]指出,通過數(shù)學建模的學習,“學生能有意識地用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界,發(fā)現(xiàn)和提出問題,感悟數(shù)學與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián),學會用數(shù)學模型解決實際問題,積累數(shù)學實踐的經(jīng)驗.”根據(jù)課程標準,我們制定了相應(yīng)的教學目標.

首先,作為一節(jié)概念課,教師應(yīng)該在本節(jié)課中讓學生了解數(shù)學建模的定義,熟悉函數(shù)建模的流程,并且能夠按照這個流程對簡單的生活問題進行建?！R與技能目標.

其次,本節(jié)課相較于常規(guī)數(shù)學課而言,更注重數(shù)學的應(yīng)用,因此教師需要讓學生在課程中親身體驗建立函數(shù)模型的過程,感受數(shù)學建模的思想,形成數(shù)學化的意識——過程與方法目標.

此外,本節(jié)課還承載著更為重要的使命,即通過數(shù)學建模課,讓學生認識到數(shù)學在生活中的廣泛應(yīng)用價值,進而了解學習數(shù)學的意義,重拾學習數(shù)學的興趣,不再簡單地將數(shù)學看作應(yīng)付考試的科目——情感態(tài)度價值觀目標.然而,這一目標被許多數(shù)學教師所忽略.

事實上,數(shù)學建模作為數(shù)學核心素養(yǎng),在教材中的課時卻非常有限,這是由于數(shù)學建模本質(zhì)上并非簡單的數(shù)學技能和方法,而是一種將數(shù)學知識和能力推廣到生活中的思維方式和素養(yǎng),因此如何幫助學生產(chǎn)生數(shù)學建模的意愿,提升數(shù)學建模的興趣才是本節(jié)課的重點.基于這一教學目標,本節(jié)課應(yīng)側(cè)重于數(shù)學建模的價值體現(xiàn),而不僅僅是數(shù)學建模的技能傳授.

2 教學設(shè)計

根據(jù)教材的設(shè)置、學生的學情以及具體的目標要求,我們設(shè)計如下課堂內(nèi)容:

2.1 引入新知

數(shù)學建模是數(shù)學應(yīng)用價值的重要體現(xiàn),因此對數(shù)學建模的引導(dǎo)應(yīng)緊貼數(shù)學的價值.教師可以從“數(shù)學有什么用?”這一學生感興趣的問題出發(fā),延伸出數(shù)學在不同領(lǐng)域的價值是經(jīng)由數(shù)學建模而體現(xiàn)的,從而引出數(shù)學建模的概念.此后教師可以對數(shù)學建模的定義和內(nèi)容做簡單介紹——什么是模型?什么是數(shù)學模型?什么是數(shù)學建模?并且讓學生簡單瀏覽數(shù)學建模的流程,幫助學生形成數(shù)學建模的初步印象.

2.2 活動探究

在初步了解數(shù)學建模的定義之后,教師開始引領(lǐng)學生參與數(shù)學建模的活動,在活動的過程中學習數(shù)學建模的方法,感受數(shù)學建模的價值.

課本上關(guān)于數(shù)學建模的流程涉及6個環(huán)節(jié),其中前兩個環(huán)節(jié)分別是“觀察實際情景”和“發(fā)現(xiàn)和提出問題”.這兩個環(huán)節(jié)的聯(lián)系非常密切,因此可以將其合并成一個部分.此外,由于時間有限,本節(jié)課難以讓學生細致地經(jīng)歷所有環(huán)節(jié),故而將重心放在“提出問題”、“收集數(shù)據(jù)”、“建立模型”這三個環(huán)節(jié).后續(xù)的“模型求解”以及“結(jié)果檢驗”并非本節(jié)課的重點,可以簡單略過.

2.2.1 根據(jù)實際情形,發(fā)現(xiàn)和提出問題

設(shè)計分析:數(shù)學建模的本質(zhì)是應(yīng)用數(shù)學方法解決實際問題,然而想要解決問題,首先需提出問題,因此發(fā)現(xiàn)問題的過程對于數(shù)學建模尤為重要.在真實情境中,如何將看似和數(shù)學無關(guān)的問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學問題,就成了數(shù)學建模的關(guān)鍵.

具體實施:教師可以選取一些生活化的數(shù)學建模案例,比如最近的新冠疫情,各大醫(yī)學組織紛紛構(gòu)建了新冠病毒的傳播模型,這為抑制病毒傳播起到了重要作用.再比如美顏相機,通過分析用戶手動調(diào)節(jié)的大眼和瘦臉比例,擬合出了良好的美顏模型,于是推出一鍵美顏功能等等.這些案例可以讓學生意識到數(shù)學不是課本上死板的公式和運算,而是真正深入到我們生活中的重要工具,從而提高對數(shù)學建模的興趣,產(chǎn)生發(fā)現(xiàn)問題的意愿.教師也可以在這個環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學生自主提出生活問題,并嘗試從數(shù)學的角度理解問題,從而幫助學生形成問題意識,提升數(shù)學眼光.

最后教師向?qū)W生拋出水溫案例,明確建模問題:剛泡好的茶水在室溫情況下需要多久才能冷卻到適合飲用的溫度.

2.2.2 分析相關(guān)因素,收集相關(guān)數(shù)據(jù)

設(shè)計分析:明確問題后,需要分析相關(guān)因素并收集相關(guān)數(shù)據(jù).然而,對于一個陌生的實際問題,學生不知道哪些條件是可以數(shù)學化的、哪些條件是有助于解決問題的、哪些條件是可以收集到數(shù)據(jù)的,這就需要教師引導(dǎo)學生根據(jù)自己對問題的理解,分析相關(guān)因素,然后從中篩選出主要的影響因素,并查找(收集)數(shù)據(jù).比如在水溫案例中,要研究剛沖泡好的茶水在室溫情況下需要多久才能冷卻到適合飲用的溫度,即計算降溫所耗費的時間.這個時間顯然和茶水降溫的速度有關(guān),而降溫的速度又會受到其他相關(guān)因素的影響.

具體實施:教師可以組織學生進行小組討論,探索與降溫時間有關(guān)的因素.然后教師引導(dǎo)學生總結(jié)討論的結(jié)果,保留其中容易測量、且與溫度變化有密切聯(lián)系的因素,以此作為主要影響因素,進而收集相關(guān)數(shù)據(jù).由于數(shù)據(jù)的收集需要準備相應(yīng)的器材和工具,并花費不少時間,因此這部分內(nèi)容可以由教師代勞或者直接給出結(jié)果(課本上給出了一份水溫隨時間變化的數(shù)據(jù)表):室溫:25°C,適宜飲用水溫:60°C,水溫變化數(shù)據(jù)如表1所示:

表1 水溫變化數(shù)據(jù)

2.2.3 建立數(shù)學模型

設(shè)計分析:數(shù)學模型的建立大致有三種方式,一是通過觀察、分析、處理數(shù)據(jù),自主建構(gòu)模型,二是利用數(shù)理邏輯方法,自主建構(gòu)模型,三是引入相關(guān)模型,經(jīng)過組織、調(diào)整,建構(gòu)符合情境的新模型.本節(jié)課主要采用第一種方式來建立模型,首先是因為該方法最簡單、直接,符合學生當前的學情;其次,該方法可以引入計算機軟件輔助處理數(shù)據(jù),在數(shù)學建模的過程中展現(xiàn)信息技術(shù)的價值,開拓學生視野的同時,也提升了學生對信息技術(shù)的興趣.

具體實施:教師可以組織學生對水溫隨時間變化的數(shù)據(jù)進行討論(見圖1),分析這份數(shù)據(jù)之中所蘊含的潛在價值.學生通過分析可能會得到“水溫隨著時間的變化而越來越低”、“水溫下降的速度越來越慢”、“水溫變化的趨勢不像是一條直線”等觀點.教師進而幫助學生總結(jié)觀點,并啟發(fā)學生提出可能的數(shù)學模型來表示水溫的變化規(guī)律.學生可能會提出一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)等多種模型來匹配水溫變化的規(guī)律,這些函數(shù)模型都可能部分切合水溫的變化規(guī)律,那么究竟如何選取正確的模型呢?

圖1

教師可以帶領(lǐng)學生對比函數(shù)模型的變化規(guī)律與實際水溫的變化規(guī)律,排除一些不太符合實際的模型,也可以直接通過計算機軟件進行函數(shù)模型擬合,進而確定不同的函數(shù)模型與數(shù)據(jù)規(guī)律的匹配程度.擬合函數(shù)的軟件有很多,比如MATLAB、mathematica等等,也可以選擇excel工作表進行擬合.在excel工作表中輸入數(shù)據(jù)后,可以生成折線圖,并在此基礎(chǔ)上選取不同的函數(shù)模型一鍵擬合參數(shù),整個過程非常便捷,方便學生理解和學習.教師一方面向?qū)W生展示函數(shù)擬合的步驟(有條件的學習可以讓學生在電腦或平板上自行操作學習),讓學生學習函數(shù)擬合的方法和工具,另一方面,教師可以向?qū)W生展示函數(shù)擬合的結(jié)果(見表2),以及呈現(xiàn)不同函數(shù)的擬合優(yōu)度(教師可以在這里向?qū)W生普及擬合優(yōu)度的概念——擬合優(yōu)度越接近1,代表擬合程度越高,模型越符合數(shù)據(jù)的變化規(guī)律).

表2 幾種基本函數(shù)模型的擬合結(jié)果

在實際的擬合過程中,學生會遇到許多問題,比如是否直接選取擬合優(yōu)度最高的模型作為最終模型呢?我們通過分析可以得到:在擬合優(yōu)度為1的三次函數(shù)模型中,由于三次項系數(shù)為負數(shù),因此隨著時間的推移,最終溫度會低至負數(shù).同樣的,盡管二次函數(shù)模型的擬合優(yōu)度大于指數(shù)型函數(shù)模型的擬合優(yōu)度,但是由于二次函數(shù)模型中的二次項系數(shù)為正數(shù),隨著時間的推移,最終溫度反而會不斷上升.上述兩種結(jié)果顯然是不符合實際的.事實上對于任意數(shù)量的有限數(shù)據(jù),我們均可以通過高次多項式擬合出擬合優(yōu)度高達1的模型,但是這種通過盲目提高多項式次數(shù)來增加擬合優(yōu)度的方式并不能真正體現(xiàn)實際問題的變化規(guī)律.因此選取的模型必須要結(jié)合真實情境,要符合事物的客觀發(fā)展規(guī)律,這也是教師在數(shù)學建模課中要向?qū)W生傳達的一個重要理念.之后,教師還可以組織學生討論“一次函數(shù)模型和指數(shù)型函數(shù)模型哪一個更符合實際的水溫變化規(guī)律?”學生在這樣的討論中不斷加深對不同函數(shù)的理解,也對實際問題中需要考慮的各項因素有了更全面的考慮.最終教師引導(dǎo)學生確定指數(shù)型函數(shù)模型作為描述水溫變化的模型.

如果學生學有余力,教師還可以簡單地介紹數(shù)學建模的另外兩種方法.比如第二種方法,利用數(shù)理邏輯方法,自主建構(gòu)模型:

假設(shè)水溫變化速率與水溫和室溫之差成正比,那么令水溫為T(t),在t=t0時的溫度為T0,室溫為H,就可以列出微分方程:T′(t)=?a(T(t)?H),用不定積分的方法可以解得:

當t0=0時,T0= 85,H=25,代入原式得:y=60e?at+25.然后利用數(shù)據(jù),擬合出參數(shù),得到最終模型.

該方法對于高一的學生而言還難以理解,但是教師可以通過它向?qū)W生表明“直接將現(xiàn)實規(guī)律數(shù)學化的方法也可以幫助我們建構(gòu)數(shù)學模型”,而不僅僅只能通過分析數(shù)據(jù).此外教師向?qū)W生展示了高等數(shù)學的強大應(yīng)用,為學生未來學習更高深的數(shù)學工具做好鋪墊.

第三種方法是引入相關(guān)模型,經(jīng)過組織、調(diào)整,建構(gòu)符合情境的新模型.事實上關(guān)于溫度變化的模型有很多,其中最基礎(chǔ)的是“牛頓冷卻定理”,該模型在網(wǎng)上就可以找到:

令此物之溫度為T(t),在t=t0時的溫度為T0,室溫為H,那么就有T(t)=H+(T0?H)e?a(t?t0).將當t0=0時,T0=85,H=25,代入原式算得T(t)=60e?at+25.然后利用數(shù)據(jù),擬合出參數(shù),得到最終模型.

這種引入相關(guān)模型的方法,可以開拓學生視野,讓學生不再拘泥于自身對模型的建構(gòu),轉(zhuǎn)而將部分目光投放在“搜尋相關(guān)知識和模型,進而轉(zhuǎn)化為符合當前問題情境的新模型”上.這種方法也適合學生當前的學情,有利于培養(yǎng)他們搜索信息、主動探究的能力.

2.2.4 求解數(shù)學模型

設(shè)計分析:在水溫案例中,模型的求解非常簡單,只需要明確數(shù)學問題:85°C的水在25°C的室溫下需要多久才能冷卻到60°C?然后將溫度y=60代入擬合出的模型,求得結(jié)果即可.這部分內(nèi)容并非本節(jié)課的重點,簡單帶領(lǐng)學生了解即可.

2.2.5 檢驗結(jié)果

設(shè)計分析:這部分內(nèi)容并非本節(jié)課的重點,有條件的教師可以在課堂中設(shè)置實驗,通過實驗的方式得到結(jié)果,將這結(jié)果與數(shù)學建模所求得的解相比較.如果結(jié)果吻合,則通過檢驗.如果結(jié)果不吻合,則需要分析差異形成的原因,并據(jù)此重新建構(gòu)模型.缺乏條件的教師也可以簡單略過.

2.3 課堂小結(jié)

課堂小結(jié)不僅是對數(shù)學建模內(nèi)容的回顧和總結(jié),更是對數(shù)學教育價值觀的提煉和升華.

2.3.1 回顧數(shù)學建模的實施流程

簡單回顧一下本節(jié)課的課堂內(nèi)容和數(shù)學建模的實施流程,幫助學生鞏固剛剛習得的數(shù)學知識和技能,回味剛剛經(jīng)歷的過程和方法.

2.3.2 品味數(shù)學的應(yīng)用價值

如今是大數(shù)據(jù)的時代,從來沒有一個時代像今天這樣迫切地需要數(shù)學.因此教師應(yīng)該通過數(shù)學建模課讓學生深刻感受數(shù)學的應(yīng)用價值,升華學生的數(shù)學情感態(tài)度價值觀.

2.4 作業(yè)布置

思考1冪函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型為什么無法直接擬合得到?這兩種模型可以直接被排除?如果非要進行擬合,應(yīng)該怎么做?

思考2如果函數(shù)模型求解的結(jié)果與實際情況不符,可能有哪些影響因素?

3 設(shè)計總結(jié)

通過對本節(jié)課的教學設(shè)計和實施,筆者產(chǎn)生了以下幾點思考:

3.1 側(cè)重科普效果

本節(jié)課的重點在于引入數(shù)學建模的概念,幫助學生形成對數(shù)學建模的初步認識,然后通過案例帶領(lǐng)學生完整地經(jīng)歷一遍數(shù)學建模的過程,讓他們對數(shù)學建模有一個大概的了解.其主要目的是為了讓學生全面地認識數(shù)學建模,產(chǎn)生對數(shù)學建模的興趣,并初步形成數(shù)學建模意識,為后續(xù)正式開展建?；顒幼龊娩亯|.

3.2 側(cè)重內(nèi)容廣度

本節(jié)課的思路應(yīng)當更側(cè)重于廣度,而非深度.數(shù)學建模課的真正意義在于幫助學生使用數(shù)學工具解決實際問題,然而許多學生難以從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學問題,他們從來沒有想過,一些看似與數(shù)學無關(guān)的問題都可以用數(shù)學的方法進行表示和解決.這并非學生數(shù)學能力的不足,而在于數(shù)學化意識的缺失.因此,教師需要向?qū)W生介紹數(shù)學在各個領(lǐng)域中的應(yīng)用,讓學生感受到數(shù)學的廣泛應(yīng)用價值,加深對數(shù)學學科的理解,形成數(shù)學建模的意識,提高數(shù)學學習的興趣,進而完善數(shù)學價值觀.

3.3 側(cè)重思維活動

本節(jié)課應(yīng)當側(cè)重學生的數(shù)學思維活動，數(shù)學建模是培養(yǎng)學生數(shù)學化思維的重要方式,也是連接數(shù)學與實際生活的重要途徑.在數(shù)學建模過程中夾雜了常規(guī)的數(shù)學思維和對現(xiàn)實規(guī)律的思考,這是有別于學生以往學習數(shù)學的經(jīng)驗的.因此,對數(shù)學建模的學習并不僅僅在于對建模流程的機械套用,更在于掌握其中的思想方法,提高學生的數(shù)學化思維.

3.4 側(cè)重信息技術(shù)

本節(jié)課應(yīng)當注重信息技術(shù)的介紹,在數(shù)學建模的過程中引入適當?shù)挠嬎銠C工具.通過介紹信息技術(shù)在數(shù)學建模中的應(yīng)用,可以開拓學生的數(shù)學視野,理解數(shù)學工具的強大功能.此外,教師通過本節(jié)課對數(shù)學軟件(例如excel)的演示,教授學生如何通過數(shù)據(jù)進行函數(shù)模型的擬合,這將有利于學生后續(xù)數(shù)學建?；顒拥捻樌_展.

隨著時代的發(fā)展,數(shù)學建模越來越凸顯其重要地位,而對建模課的授課方式也應(yīng)當跟上時代的步伐.教師應(yīng)該有效利用現(xiàn)代豐富的信息技術(shù),給學生呈現(xiàn)出貼合實際生活的建模案例,進而充分發(fā)揮學生學習數(shù)學建模的主觀能動性,讓學生在建模的過程中培養(yǎng)數(shù)學思維、打開數(shù)學視野,提高數(shù)學素養(yǎng).