方躍法，孫天宇

（北京交通大學機械與電子控制工程學院, 北京 100044）

在科技不斷進步和裝備自動化程度不斷發(fā)展的今天，機器人行業(yè)逐漸成為了當下研究的熱門領域.由于需求的不同，機器人的結構種類趨于多樣化［1］.其中，移動機器人的應用較為廣泛，但是，大多數(shù)輪式移動機器人［2］存在無法適應多變地形、狹小空間無法轉向等問題，難以適應空間受限和崎嶇山路等工況.因此足式全向移動機器人的研究顯得尤為重要.

目前國內(nèi)外眾多研究學者針對足式機器人的研究做了大量富有成效的工作.研究多以仿生機械腿為主，其中大部分的仿生機械腿都追求外形仿生，因而采用多關節(jié)串聯(lián)的形式，如Plecnik 等［3］基于stephensonⅠ-Ⅲ型六桿機構設計的足式步行機器人，可根據(jù)不同的設計軌跡衍生出不同的設計方案；Zhang 等［4］設計的蝗蟲跳躍機器人具有良好的穩(wěn)定性，能實現(xiàn)直線跳躍；Seok 等［5］設計了一種腿部機構基于三連桿串聯(lián)的獵豹機器人，奔跑速度可以達到24.12 km/h.雖然功能強大，但串聯(lián)機構具有承載能力偏低、速度偏慢、運動慣性較大等缺點，所以針對并聯(lián)移動機器人的研究越來越深入.

并聯(lián)機構可以將驅(qū)動器安裝在基座或接近基座的運動副上，因此具有運動慣性小、承載能力高、響應速度快等特點.如Giewont 等［6］設計的Delta-Quad 機器人，具有低慣性和高速度.Air Hopper 機器人［7］可提高驅(qū)動加速度，以提供強勁動力.Pan 等［8］設計的六足章魚機器人具有較高精度和承載能力.王洪波等［9］設計的可重構步行機器椅，既可提高穩(wěn)定性，又可降低重心.

此外，目前移動機器人轉彎功能的實現(xiàn)，多采用差速或臀部轉向關節(jié)，在轉彎過程中需要占用一定的空間.因此，本文設計了一種具有三自由度并聯(lián)機構腿的足式步行機器人.該機器人的腿部結構應用了多自由度驅(qū)動系統(tǒng)，同時采用多耦合閉鏈結構，相比傳統(tǒng)并聯(lián)機構，結構上更加簡單，減少了干涉，增大了可達工作空間且具有2R1T 自由度，實現(xiàn)了全向［10］移動，避免了轉彎的復雜步態(tài)，解決了空間受限情況下無法移動的問題.

1 機構概述

獵豹的基本運動形式見圖1，前肢肩關節(jié)能夠?qū)崿F(xiàn)前后擺動和左右張開，如同運動副中的U 副.肘或膝關節(jié)可上下彎曲，如同關節(jié)R 副，根據(jù)動物踝關節(jié)是否能夠全方位轉動，可演變?yōu)镽 副或S 副，因此動物腿部可以利用URS 或URR 關節(jié)串聯(lián)來代替.為了簡化結構，取消踝關節(jié)，因此本文采用UR結構來設計并聯(lián)腿.

整體結構分為驅(qū)動系統(tǒng)和被動執(zhí)行系統(tǒng).其中，驅(qū)動系統(tǒng)通過共用驅(qū)動的方法，用3 個電機控制2 個U 副，同時產(chǎn)生2 個輸出桿.如圖2（a）所示，第一 支 鏈 由 電 機1 通過轉動副R11，R12，R13依次連接L11，L12，L13，第三支鏈由電機3 通過轉動副R31，R32依次連接L31，L13，形成第一U 副，L13作為第一輸出桿.同理，第二支鏈與第三支鏈可形成第二U 副，L23作為第二輸出桿.由圖2（b）可知，桿L31，L13，L23形成了一組復合鉸鏈，其連接運動副為R32，R33.

圖2 驅(qū)動結構拆解圖Fig.2 Disassembly diagram of drive structure

被動執(zhí)行系統(tǒng)由傳統(tǒng)的四桿機構組成，將第一、二輸出桿作為四桿機構的兩驅(qū)動桿，可實現(xiàn)類似于獵豹膝關節(jié)的R 副，進而設計了一種全新機構如圖3所示.圖3 中桿La、Lb為四桿機構的被動桿，可通過兩驅(qū)動桿的控制實現(xiàn)足端任意位置的移動.

圖3 并聯(lián)機構腿幾何模型圖Fig.3 Geometric model diagram of parallel leg mechanism

機器人整體三維結構圖如圖4 所示，移動平臺通過螺栓連接多個固定板組成，驅(qū)動電機通過電機座與移動平臺固連.每個機構腿通過3 個電機控制，共12 個電機且均用聯(lián)軸器直接與驅(qū)動連桿相連.

圖4 四足全向步行機器人三維結構圖Fig.4 Three-dimensional structure of four-footed omnidirectional walking robot

2 運動學分析

2.1 自由度分析

由于該并聯(lián)機構含閉鏈結構，無法直接運用GK 公式進行計算，需引入復合運動副概念，將閉鏈結構轉化為傳統(tǒng)機構后計算.圖5（a）為機構腿第一、三支鏈組成的復合運動副機構簡圖，轉化后的傳統(tǒng)機構如圖5（b）所示.

圖5 閉鏈結構轉換圖Fig.5 Conversion diagram of closed-chain structure

首先，分析復合運動副自由度，以保證簡化后機構的運動狀態(tài)不變.按照圖5（a）中坐標系寫出支鏈運動副的運動螺旋系為

式中：符號c 表示余弦函數(shù)；符號s 表示正弦函數(shù)；$表示旋量；θ表示角度，旋量和角度的下標表示圖5（a）中對應的轉動副，根據(jù)互易積為0，可得復合運動副的總約束螺旋系為

式中：$pr表示復合運動副約束螺旋，其下標表示約束螺旋個數(shù)，根據(jù)式（2）可知，公共約束λ=3，剩余約束tr=1，不存在線性相關性，其秩kr=1 則冗余約束v=tr-kr=0.代入G-K 公式可得

式中：M表示機構自由度；n表示構件數(shù)目；g1表示運動副的數(shù)目；d為空間機構自由度數(shù)；fi表示第i個運動副的自由度數(shù)；ζ表示機構中存在的局部自由度.對式（2）求反螺旋，可得復合運動副的總運動螺旋系為

式中：$pm表示復合運動副的運動螺旋，可簡化為兩轉動副串聯(lián)的形式，如圖5（b）中運動副R1、R2所示.同理可得由機構腿第二、三支鏈組成的復合運動副的總運動螺旋系，簡化后如圖5（b）中運動副R1、R3所示.按照圖5（b）中坐標系可得腿部結構運動副的運動螺旋系為

式 中：α1=sθ1（cθ2+cθ3）；β1=sθ2+sθ3；γ1=-cθ1（cθ1+cθ3）.旋量和角度的下標表示圖5（b）中對應的轉動副，根據(jù)互易積為0 可得腿部結構的總約束螺旋系為

式中：$tr表示腿部結構約束螺旋，其下標表示約束螺旋個數(shù)，由式（6）可知，公共約束λ=1，剩余約束tr=3，線性相關且秩kr=2，故冗余約束v=1，由于計算自由度過程中，運動副R1被重復使用了兩次，故構件數(shù)量n=7，運動副數(shù)量g1=7，代入G-K 公式可得

綜上所述，并聯(lián)機構的自由度為2R1T且為RxRyTz.

2.2 運動學逆解分析

繪制機構運動簡圖，建立如圖6 所示左手坐標系運動學模型，圖6 中，連接轉動副R13與Ra之間的連桿為桿L13，連接轉動副Ra與Rc之間的連桿為桿Lc，連接轉動副R12與R13之間的連桿為桿L12，連接轉動副R23與Rb之間的連桿為桿L23，連接轉動副R31與R32之間的連桿為桿L31，轉動副R33為復合鉸鏈連接桿L13和桿L23.根據(jù)自由度的類型，該機構輸出的參數(shù)應為2 個姿態(tài)參數(shù)和1 個位置參數(shù)（θx，θy，z）.由于足端不需要考慮姿態(tài)的變化，且足端軌跡計算只需末端位置參數(shù)P=（x，y，z）即可.參數(shù)P與（θx，θy，z）又存在函數(shù)關系，所以用（x，y，z）表示運動學參數(shù).計算機構逆解即給定P=（x，y，z），求解驅(qū)動關節(jié)（θ11，θ21，θ31）的數(shù)值，根據(jù)幾何關系可得P，P1，P2點坐標為

式中：φ1為桿L23與yz平面所成線面角的角度；φ2為桿L13與y軸負方向所成角度；φ3為桿L23與y軸負方向所成角度；P1為轉動副R13的位置坐標；P2為轉動副R23的位置坐標；a為桿L13上轉動副R32與Ra之間長度；c為桿Lc的長度；e為桿L12的局部長度；r為桿L23上轉動副R33與R23之間長度；b為桿L31的局部長度；根據(jù)結構特征可得出φ3＞φ2，θ角的下角標與圖6 中轉動副的下角標相對應.

圖6 腿部機構結構簡圖Fig.6 Schematic diagram of leg mechanism

（x，y，z）坐標已知，根據(jù)點P位置參數(shù)易得

式中

聯(lián)立式（9）～式（11）可以解出

2.3 運動學正解分析

運動學正解，即已知輸入驅(qū)動（θ11，θ21，θ31），求解末端的位置參數(shù)P=（x，y，z）.由式（8）可知，P 點的位置可用中間參數(shù)（φ1，φ2，φ3）表示，故建立（θ11，θ21，θ31）與中間參數(shù)（φ1，φ2，φ3）之間的函數(shù)關系，再代入到P 點坐標中，正解可得.由式（13）可知

選取兩轉動副R13和R32的中點連線的中點P3，建立函數(shù)關系可得

聯(lián)立式（15）中對應項，求解可得

式中：θ12為中間變量，表示轉動副R12轉動的角度，利用兩轉動副R13和R32的中點連線的定桿長約束條件，消去中間變量θ12后可得

將式（17）代入到式（16）中可解得φ2，同理可以求得φ3為

綜上所述可得

將式（19）代入到式（8）中可得運動學正解參數(shù).

3 性能分析

3.1 工作空間

機器人工作空間是衡量運動性能的重要指標之一，分為可達工作空間、靈活工作空間、定姿態(tài)位置工作空間和定位置姿態(tài)工作空間.可達工作空間指末端執(zhí)行器上某一點所有可達到的點的集合，不需要考慮足端的姿態(tài)，所以僅對可達工作空間進行分析.參考桌面型樣機尺寸確定參數(shù)a=122 mm，c=158 mm，r=16 mm，e=48 mm，b=26.5 mm，采用逆解搜索法，先確定連桿干涉條件，保證Dqi≥D（Dqi表示兩相鄰桿中心線之間最小距離，D 表示兩連桿寬度或直徑和的一半），再確定驅(qū)動關節(jié)變量范圍為

最后選取空間的搜索范圍為

離散化三維空間，依次將點集代入逆解程序，保留符合關節(jié)和干涉條件的點集，最終得到點集圖如圖7 所示.

由Matlab 求解工作空間邊界點所圍體積為V=9144270.345 7440 mm3，工作空間性能的體積指數(shù)［11］表示為

式中：V表示機構工作空間體積；L3vi表示第vi個相關的桿件長度的立方，與本機構相關的桿件長度共2 個，分別為圖6 所示的a、c，將相關數(shù)據(jù)代入式（22）可求得VI=1.587 5.標準化工作空間性能指數(shù)NVI，可表示為

式中：VImax為理想最大工作空間體積指數(shù)，對于平行四邊形結構，其值為定值故根據(jù)式（23）計算可得NVI=0.378.而傳統(tǒng)的PUMA 機器人的標準指數(shù)僅為0.32［11］，由此可知，該機構具有較大的可達工作空間.此外，圖7 中工作空間為三維且不同方向的運動相互獨立互不影響，可為全向移動提供可行條件，無需規(guī)劃復雜步態(tài)，應用更簡單.

3.2 靜力學分析

靜力學分析的目的是為了計算驅(qū)動電機上所受轉矩大小以選取合適的電機，如果電機的轉矩大小選取不當則無法實現(xiàn)穩(wěn)定行走，故靜力學分析是十分必要的.本文利用虛功原理［12］進行求解.對于機構力學系統(tǒng)來說，應逐個分析并聯(lián)機構腿各桿件所受的外力.在不忽略任何條件的情況下，對整體系統(tǒng)進行力學模型的建立，則可得方程

式中：Tg表示重力對廣義坐標的影響力矩；Tw表示外力對廣義坐標的影響力矩；Ta表示驅(qū)動力矩；Ti表示系統(tǒng)慣性力對廣義坐標的影響力矩.靜力學計算無需考慮慣性力對廣義坐標的影響.其中，機器人運動過程中外力的影響是指地面給機構的支撐力.而對于主要采用鋁合金材料制成的機器人，根據(jù)材料密度2.7 g/cm3以及solidworks 計算所得機構體積可得實際樣機重量約為5 kg，假定施加20 kg 負重，共25 kg.雙足支撐時支撐力最大為F=25g/2≈125 N，其方向為豎直向上.對于重力矩的計算，每個連桿的重力都對機構產(chǎn)生影響，故均不能忽略.經(jīng)計算可得，在直角坐標系下的靜力學方程為

式中：Mj表示第j個驅(qū)動力矩；θj表示第j個驅(qū)動轉角；mu表示第u個連桿的重量；dzu表示第u個連桿的重力在豎直方向上的虛位移；dz表示外力在豎直方向上的虛位移.由于式（25）是在直角坐標系下的靜力學方程，所以需要轉化成廣義坐標方程進行求解.通過運動學正解，建立廣義坐標與豎直位移間關系，代入式（25）求導可得

因為虛位移不為0，則根據(jù)式（26）可知

式中：A1，B1，C1是與廣義坐標有關的多項式，轉矩的大小隨廣義坐標值的變化而變化.在計算驅(qū)動力矩時，給定驅(qū)動參數(shù)為每條腿最大受力約為125 N，按照給定驅(qū)動參數(shù)進行仿真所得結果如圖8（a）所示.在末端負載125 N 的情況下，驅(qū)動力矩最大不超過20 N·m，提高了驅(qū)動電機的利用率.故在實際應用過程中，可有效運輸一定重量的重物.運用Mathematica 軟件進行靜力學理論計算所得圖像如圖8（b）所示.

圖8 靜力學分析圖像Fig.8 Static analysis images

由圖8 可知，理論值和仿真值曲線幾乎完全一致，仿真值與理論計算值結果對比見表1.

由表1 可知，根據(jù)計算所得的理論數(shù)據(jù)值與仿真所得真實數(shù)據(jù)值幾乎完全一致，但仍存在一定誤差.產(chǎn)生誤差原因主要在于靜力學計算忽略了加速度產(chǎn)生的影響，所以計算值必然會產(chǎn)生一定誤差.但從結果來看，相對誤差最大不超過5%，實際誤差不超過0.5 N·m，故可論證計算過程與方法的正確性.

表1 力矩結果對比表Tab.1 Comparison of torque results N·m

4 軌跡規(guī)劃與步態(tài)

4.1 步態(tài)分析

四足機器人在行走過程中，腿可分為支撐腿和擺動腿，機器人向前運動的產(chǎn)生是通過支撐腿與地面的靜摩擦力來實現(xiàn)的，故支撐腿一定存在.根據(jù)支撐腿的個數(shù)不同，分為單足支撐步態(tài)，雙足支撐步態(tài)和三足支撐步態(tài)3 種［13］，其中雙足支撐步態(tài)又分為同側雙足支撐步態(tài)和異側雙足支撐步態(tài).每一種步態(tài)又分3 個階段：啟動階段，行走階段和制動階段.步態(tài)的支撐腿越多穩(wěn)定性越強，三足支撐步態(tài)在降低速度的同時提高了穩(wěn)定性，可用于越障，雙足支撐步態(tài)雖然犧牲了穩(wěn)定但提高了速度，可用于平地運輸，故需規(guī)劃三足支撐步態(tài)和雙足異側支撐步態(tài)兩種步態(tài).具體行走步態(tài)如圖9、圖10 所示，紅色表示擺動腿，黑色表示支撐腿.

圖9 三足支撐步態(tài)規(guī)劃圖Fig.9 Gait planning diagram of three-footed support

圖10 雙足異側支撐步態(tài)規(guī)劃圖Fig.10 Gait planning diagram of two-footed support on different sides

三足支撐步態(tài)啟動階段為前兩階段，后兩個階段為制動階段，時間為t1，中間4 個階段為行走階段，時間為t2.圖9 中擺動和支撐過程中較長步幅為2L/3，足端擺動和支撐過程中較短的步幅為L/3.由于三足支撐的穩(wěn)定性較強，在工作空間允許的情況下，可選用高度H=50 mm，步長L=90 mm.雙足異側支撐步態(tài)相比三足支撐步態(tài)較簡單，第一階段為啟動階段，最后一階段為制動階段，時間為t1，中間兩個階段為行走階段，時間為t2.圖10 中足端擺動和支撐階段的步幅均為L.雙足支撐的穩(wěn)定性相對較差，所以選用步態(tài)高度和步長時需要考慮減小高度和步長，縮短運動行走時間保證運動穩(wěn)定性，故選用H=30 mm，步長L=50 mm.

步態(tài)規(guī)劃是為了協(xié)調(diào)四足行走順序，使每個腿能有序的行走且連續(xù)不間斷.除此之外，還需對不同的足端進行軌跡規(guī)劃，使其按照特定的軌跡移動，實現(xiàn)行走步長和邁步高度.

4.2 軌跡規(guī)劃

由于本文實現(xiàn)全向運動的理論基礎在于可以控制足端落在三維工作空間內(nèi)的任意位置且各個方向不存在相互干擾現(xiàn)象.對于不同方向的移動，足端軌跡規(guī)劃的不同之處只是在末端軌跡函數(shù)上乘以與方向角相關的系數(shù)，故僅對直線方向進行規(guī)劃.

無論是三足支撐還是雙足支撐步態(tài)，軌跡規(guī)劃都需要規(guī)劃水平和高度2 個方向.因此分別對二者的坐標進行規(guī)劃，再將其綜合起來.以三足支撐直線行走為例，對足端進行軌跡規(guī)劃.首先規(guī)劃水平方向軌跡，為保證重心高度不變以提高穩(wěn)定性，采用倒立擺方法［14］規(guī)劃，其運動方程為

式中：g表示重力加速度.取初始和結束速度為-15 mm/s 和15 mm/s，初始和結束位置為-30 mm 和30 mm.利用特征方程以及邊界條件，求解式（28）可得

由式（30）可以看出啟動階段速度與加速度為0，會出現(xiàn)卡死現(xiàn)象，需要利用五次多項式規(guī)劃提供行走階段的初始速度并保證運動軌跡光滑連續(xù)［15］.五次多項式［16］曲線一般形式為

式中：c0、c1、c2、c3、c4、c5分別表示6 個五次多項式待定系數(shù).所以給定初始狀態(tài)和結束狀態(tài)的位置xs、xe，速度vs、ve和加速度as、ae6 個邊界條件后，可寫成矩陣形式為

式中：te、ts表示初始時間和結束時間.式（32）中的6×6 階矩陣為系數(shù)矩陣，左乘系數(shù)矩陣的逆矩陣，可求得五次多項式系數(shù)進而得到規(guī)劃曲線.

高度方向上，要求軌跡呈先上升后下降趨勢，落地時無加速度沖擊，故起始和結束位置的速度以及速度的導數(shù)均為0.此軌跡速度曲線酷似余弦函數(shù)，根據(jù)余弦規(guī)劃可知，速度函數(shù)的一般形式為

式 中：A2表 示 余 弦 振 幅；D2表 示 余 弦 偏 距，τ表 示余弦函數(shù)周期，其中A2=D2，H=50 mm，對速度式（33）進行整理、求導、積分可得余弦規(guī)劃三曲線為

根據(jù)圖9 所示步態(tài)再配合以上足端軌跡規(guī)劃方法可以得到如圖11 所示的4 種主要運動軌跡，根據(jù)圖11 中軌跡可知，在高度和水平方向上符合設計要求且比例適中.

圖11 三足支撐步態(tài)4 種主要足端軌跡Fig.11 Four main foot trajectories of the gait of three-footed support

5 樣機實驗

5.1 虛擬樣機實驗

并聯(lián)機構腿運動學逆解仿真驗證，選取參數(shù)為x=0+30t，y=-300+20t，z=-360+30t，得到驅(qū)動角度θ11，θ21，θ31隨時間變化的理論曲線和仿真曲線對比圖，如圖12（a）所示.

圖12 運動學驗證曲線圖Fig.12 Kinematic verification curves

由圖12 可知，由Matlab 計算的理論數(shù)據(jù)與Adams 導出的仿真真實數(shù)據(jù)相似度較高，由此可以論證運動學正逆解分析的正確性.

對四足機器人全向行走步態(tài)進行仿真，根據(jù)軌跡規(guī)劃結果給定驅(qū)動數(shù)據(jù)，采用CUBSPL 函數(shù)作為驅(qū)動函數(shù)，避免輸入產(chǎn)生斷點或不連續(xù)現(xiàn)象，再利用Adams 的函數(shù)單元功能，可得三足支撐步態(tài)的全向行走仿真結果如圖13 所示.

圖13 四足步行機器人步態(tài)仿真實驗圖Fig.13 Simulation diagram of gait from four-footed walking robot

由仿真結果可知，四足步行機器人可以實現(xiàn)全向行走，無需特殊的轉彎步態(tài)，避免了差速轉向.而在行走過程中，機構穩(wěn)定性是表征步態(tài)規(guī)劃可行性的重要指標，可通過行走過程中虛擬樣機的質(zhì)心高度變化曲線來體現(xiàn)，如圖14 所示.

由圖14 中可知，質(zhì)心高度的變化范圍在43.075～43.45 mm 之間變化，其范圍大小不超過0.5 mm 且波動呈周期性變化，說明在行走過程中的穩(wěn)定性良好.

圖14 直線行走過程中質(zhì)心高度變化曲線Fig.14 Height variation curve of the center of mass during straight walking

在軌跡規(guī)劃過程中所使用的方法，如五次多項式，倒立擺和余弦規(guī)劃均可以得到連續(xù)的加速度，因此避免了因加速度階躍而產(chǎn)生的剛性沖擊或柔性沖擊，直線行走加速度變化曲線圖如圖15 所示.

由圖15 中可知，4 個并聯(lián)機構腿的驅(qū)動電機角加速度在運動過程中具有良好的連續(xù)性且?guī)缀鯚o突變和斷點，其積分的速度曲線仍具有以上特點，說明虛擬樣機具有良好的運動性能.

圖15 驅(qū)動電機加速度變化曲線Fig.15 Acceleration curves of driving motor

5.2 原理樣機實驗

制作四足全向步行機器人原理樣機，進行相關步態(tài)實驗，驗證樣機的真實可行性.樣機主要由機械桿件，連 接主板，DS3230 舵 機，TTL 串口，供 電模塊，控制模塊，上位機等部件組成，樣機如圖16 所示.

圖16 原理樣機Fig.16 Principle prototype

由于桿件多為彎折形狀，應用CNC 金屬材料制作較為復雜，故桿件通過3D 打印技術完成，材料選擇強度較高的尼龍材料.根據(jù)靜力學計算力矩，選取電機為DS3230 舵機，通過上位機對舵機控制板發(fā)送指令，同時控制舵機實現(xiàn)三種步態(tài)的行走如圖17所示.

圖17 樣機行走實驗Fig.17 Walking experiment of prototype

圖17可知，機器人能夠按照理論軌跡行走，實現(xiàn)全方向的全向移動，根據(jù)不同的速度需求，可切換兩種步態(tài)，有效地解決極端空間條件下的變向問題，證實了四足全向步行機器人的可行性.

6 結論

1）設計了一種具有并聯(lián)機構腿的全向步行機器人.該機器人無需轉向關節(jié)或差速裝置來改變方向，可有效解決空間受限條件下，無法轉向的問題.

2）根據(jù)運動學逆解，分析了足端位置工作空間.在位置工作空間的范圍內(nèi)，規(guī)劃了多種行走步態(tài)，可實現(xiàn)快速行走和慢速越障等功能.

3）利用Adams 軟件對運動學性能和力學性能進行仿真分析，驗證了力學計算的正確性并為選取電機提供了理論依據(jù).

4）通過系統(tǒng)模塊對舵機進行控制，制作原理樣機進行不同步態(tài)實驗，實現(xiàn)了全向行走的全過程，證明了機構的合理性.