蔣吉清，章亦然，董北北，陳春來(lái)，魏 綱，丁 亮

（1.浙大城市學(xué)院土木工程系，浙江杭州 310015；2.浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，浙江杭州 310058）

引言

地鐵可有效緩解城市交通擁堵，但也帶來(lái)了噪聲、振動(dòng)及一系列自身安全問(wèn)題［1］。受到周邊工程建設(shè)、水文地質(zhì)條件和列車(chē)長(zhǎng)期循環(huán)荷載等因素影響，部分地鐵隧道區(qū)段道床與下部結(jié)構(gòu)間出現(xiàn)了空洞甚至脫空，對(duì)地鐵隧道的正常運(yùn)營(yíng)產(chǎn)生了不利影響，嚴(yán)重路段甚至?xí)＜靶熊?chē)安全［2－4］。在成都地鐵1號(hào)線(xiàn)三期工程中，全線(xiàn)共發(fā)現(xiàn)約1 000處道床與管片剝離［5］。因此，研究整體道床軌道局部脫空對(duì)地鐵車(chē)軌振動(dòng)的影響具有重要的工程意義。

國(guó)內(nèi)外已有不少學(xué)者研究整體道床軌道局部脫空對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響。在地鐵軌道方面，彭華等［6］利用ABAQUS有限元軟件建立了軌道-道床-襯砌三維空間耦合模型，分析了道床局部脫空下的變形，并用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)破壞特征進(jìn)行分析；季存建［7］通過(guò)數(shù)值模擬研究了道床脫空在3種不同施工工法下的力學(xué)響應(yīng)，并對(duì)道床脫空進(jìn)行了評(píng)價(jià)；在高速鐵路方面，田秀淑等［8］利用LS-DYNA建立了軌道板-砂漿層-支承層-路基有限元模型，分析了道床在不同脫空尺寸下系統(tǒng)的頻譜和速度時(shí)程曲線(xiàn)特性，并提出了識(shí)別砂漿層缺陷的參數(shù)；李培剛等［9］采用有限元方法，建立了列車(chē)-軌道-橋梁垂向非線(xiàn)性耦合振動(dòng)模型，分析了不同脫空區(qū)域尺寸條件下車(chē)軌動(dòng)力響應(yīng)。從現(xiàn)有文獻(xiàn)來(lái)看，地鐵隧道整體道床軌道局部脫空主要采用有限元模擬，缺乏較為系統(tǒng)的理論研究。

文中基于車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論［10－11］，建立了地鐵列車(chē)-整體道床軌道-隧道襯砌-地基二維垂向耦合模型，分別考慮了道床底部脫空以及道床、隧道底部同時(shí)脫空等不同情況，分析了不同脫空長(zhǎng)度和車(chē)速下的車(chē)軌系統(tǒng)響應(yīng)，并從中提取出對(duì)于局部脫空最為敏感的振動(dòng)指標(biāo)。

1 模型建立及方程求解

1.1 地鐵整體道床車(chē)軌系統(tǒng)模型

圖1所示為地鐵列車(chē)-整體道床軌道-隧道襯砌-地基二維耦合模型。假設(shè)列車(chē)由2節(jié)車(chē)廂組成，每節(jié)車(chē)廂包括車(chē)體、轉(zhuǎn)向架、輪對(duì)以及一系、二系懸掛系統(tǒng)，其中，車(chē)體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)均簡(jiǎn)化為剛體，一系和二系懸掛系統(tǒng)由彈簧-阻尼單元進(jìn)行模擬，車(chē)體和轉(zhuǎn)向架考慮豎向和點(diǎn)頭位移，輪對(duì)只考慮豎向位移，共計(jì)10個(gè)自由度。鋼軌采用兩端簡(jiǎn)支的Euler梁［12］模擬，鋼軌下方扣件采用離散的彈簧-阻尼單元模擬。整體道床和隧道襯砌分別采用兩端簡(jiǎn)支的Timoshenko梁［13］進(jìn)行模擬，兩者之間采用離散的彈簧-阻尼單元相連，隧道襯砌周邊的土體也采用離散的彈簧-阻尼單元模擬。

圖1 地鐵整體道床車(chē)軌系統(tǒng)Fig.1 Metro train-monolithic track bed system

1.2 車(chē)軌系統(tǒng)振動(dòng)方程

基于達(dá)朗貝爾原理，建立列車(chē)動(dòng)力方程如下：

式中：M、C和K分別為列車(chē)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；v為列車(chē)的位移向量，共有20個(gè)自由度，包括前后2節(jié)車(chē)體的豎向位移vc1、vc2和點(diǎn)頭位移φc1、φc2，4個(gè)轉(zhuǎn)向架的豎向位移vb,i（i=1，…，4）和點(diǎn)頭位移φb,i（i=1，…，4），8個(gè)輪對(duì)豎向位移Zw,i（i=1，…，8）；上標(biāo)“··”和“·”分別表示列車(chē)位移關(guān)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù)；F為列車(chē)各部分所受的外力矩陣。

鋼軌由一根兩端簡(jiǎn)支的Euler梁模擬，其控制方程為：

式中：Er為鋼軌彈性模量；Ir為鋼軌截面慣性矩；vr(x,t)為鋼軌在x位置處t時(shí)刻的豎向位移；ρr為鋼軌密度；Ar為鋼軌截面面積；Prs,j為第j個(gè)扣件的扣件力；xrs,j為第j個(gè)扣件的位置；nrs為扣件數(shù)量；xw,i(t)為第i輪對(duì)在t時(shí)刻所在位置；P(xw,i(t))為第i輪對(duì)在t時(shí)刻的輪軌接觸力；δ為狄拉克函數(shù)。輪軌接觸力和扣件力的表達(dá)式如式（3）～式（5）所示。

式中：Krs和Crs分別為扣件剛度和阻尼；Kwr為輪軌接觸剛度；zw,i(t)為第i輪對(duì)在t時(shí)刻的豎向位移；vh(x,t)為整體道床在x位置處t時(shí)刻的豎向位移。

整體道床和隧道襯砌分別模擬為兩端簡(jiǎn)支的Timoshenko梁，其控制方程表達(dá)式如式（6）～式（9）所示。

式中：κh、κt分別為道床和襯砌剪切系數(shù)；Ah、At分別為道床和襯砌橫截面積；Gh、Gt分別為道床和襯砌剪切模量；φh(x,t)、φt(x,t)分別為道床和襯砌在x位置處t時(shí)刻的轉(zhuǎn)角位移；vh(x,t)、vt(x,t)分別為道床和襯砌在x位置處t時(shí)刻的豎向位移；ρh、ρt分別為道床和襯砌密度；Eh、Et分別為道床和襯砌彈性模量；Ih、It分別為道床和襯砌截面慣性矩；Fh(x,t)為道床所受的扣件反力和襯砌支承反力；Ft(x,t)為道床下傳力和地基土反力；Fh(x,t)、Ft(x,t)公式分別如（10）～式（11）所示。

式中：nhs為道床和襯砌之間離散彈簧阻尼單元個(gè)數(shù)；nts為襯砌和土體之間離散彈簧阻尼單元個(gè)數(shù)；xhs,j為道床和襯砌之間第j個(gè)彈簧阻尼單元位置；xrs,j為襯砌和土體之間第j個(gè)彈簧阻尼單元位置；Phs,i(t)、Pts,j(t)分別為在t時(shí)刻道床與襯砌間第i個(gè)彈簧阻尼單元力和襯砌與土體間第j個(gè)彈簧阻尼單元力，公式分別如（12）～（13）所示。

式中：Chs、Cts分別為道床與襯砌間離散單元阻尼；Khs、Kts分別為襯砌和土體間離散單元?jiǎng)偠取?/p>

采用模態(tài)疊加法進(jìn)行正交分解，分別得到鋼軌、道床和襯砌的常微分振動(dòng)方程，將其與式（1）聯(lián)立，即可得到列車(chē)-整體道床-襯砌-地基耦合振動(dòng)方程，最后利用Newmark算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

1.3 局部脫空模型

在地鐵隧道長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，道床與襯砌之間、襯砌與地基之間都有可能發(fā)生局部脫空情況，影響地鐵安全運(yùn)營(yíng)。圖2為整體道床軌道局部脫空區(qū)段，整體道床與襯砌、襯砌與地基之間離散彈簧-阻尼單元的間距設(shè)為0.1 m，并按從左到右依序編號(hào)。在脫空區(qū)段，上下層結(jié)構(gòu)之間發(fā)生局部脫離。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，本文假設(shè)脫空區(qū)域道床和襯砌之間的離散彈簧-阻尼單元?jiǎng)偠认禂?shù)、阻尼系數(shù)都設(shè)置為0，且不考慮非線(xiàn)性接觸；當(dāng)考慮襯砌與地基之間的局部脫空時(shí)，也類(lèi)似處理。

圖2 地鐵整體道床軌道局部脫空區(qū)段Fig.2 Local disengagement section of metro monolithic track bed

2 模型驗(yàn)證及數(shù)值分析

2.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證模型及計(jì)算方法的正確性，將文中結(jié)果跟文獻(xiàn)［14］有限元軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。參照文獻(xiàn)［14］的算例設(shè)置，假設(shè)鋼軌長(zhǎng)度取為420 m，車(chē)速300 km/h，脫空長(zhǎng)度2.5 m（距離左側(cè)端點(diǎn)206.4 m～208.9 m區(qū)段），將整體道床模型修改為兩端自由的Timoshenko梁，其它模型參數(shù)如表1所示。

表1 文獻(xiàn)［14］參數(shù)取值Table 1 Parameter values of literature［14］

圖3為本文計(jì)算得到的鋼軌位移時(shí)程曲線(xiàn)圖。經(jīng)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文與文獻(xiàn)［14］的鋼軌垂向位移時(shí)程曲線(xiàn)規(guī)律一致，在脫空區(qū)段鋼軌位移均有突變。本文與文獻(xiàn)［14］的鋼軌位移振動(dòng)幅值分別為0.45 mm和0.53 mm，誤差為15%?？紤]到文獻(xiàn)［14］的列車(chē)參數(shù)以及輪軌接觸剛度等部分計(jì)算參數(shù)沒(méi)有列明，且本文結(jié)果跟文獻(xiàn)［14］結(jié)果整體變化趨勢(shì)上基本吻合，因此可以認(rèn)為本文計(jì)算方法正確，計(jì)算結(jié)果具有可參考性。

圖3 鋼軌位移時(shí)程曲線(xiàn)Fig.3 Time history curve of rail displacement

2.2 局部脫空的數(shù)值分析

在下面的算例中，列車(chē)及軌道的計(jì)算參數(shù)取值參考文獻(xiàn)［15］，其中，鋼軌、道床及襯砌的長(zhǎng)度取為325 m，扣件類(lèi)型為DTVI2-1型，扣件間隔為0.625 m，即，在計(jì)算范圍內(nèi)共520個(gè)扣件。整體道床和襯砌之間的彈簧-阻尼單元參數(shù)值參考文獻(xiàn)［16］，即彈簧剛度值取為100 MN·m－1，阻尼值取為20 kN·s·m－1。此外，參考《樁基工程手冊(cè)》中樁周土反力系數(shù)計(jì)算方法并采用Novak法確定地基參數(shù)，即彈簧剛度值取為10 MN·m－1，阻尼值取為375 kN·s·m－1，地鐵列車(chē)運(yùn)行速度取為72 km/h。軌道系統(tǒng)計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 軌道系統(tǒng)計(jì)算參數(shù)Table 2 Track system calculation parameters

假設(shè)整體道床及襯砌之間局部脫空，襯砌與地基之間保持完好接觸，脫空長(zhǎng)度為2.0 m，脫空區(qū)域?yàn)榫幪?hào)1616到1635的彈簧-阻尼單元區(qū)段（參見(jiàn)圖2標(biāo)示，距離左端點(diǎn)161.5 m～163.5 m），分別計(jì)算脫空前后地鐵車(chē)軌系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

2.2.1 道床局部脫空的影響

圖4為整體道床與襯砌之間局部脫空對(duì)地鐵車(chē)軌振動(dòng)的影響。由圖4可見(jiàn)，當(dāng)列車(chē)到達(dá)脫空區(qū)域（即距離左端點(diǎn)161.5 m～163.5 m，具體見(jiàn)圖4標(biāo)示）附近，相較于未脫空情況，地鐵車(chē)軌系統(tǒng)各項(xiàng)動(dòng)力響應(yīng)都將顯著增大，其中，首車(chē)車(chē)體豎向加速度幅值在脫空前后分別為4.10×10－5m/s2和5.76×10－4m/s2，增幅最為顯著，達(dá)到了1 303.2%。首個(gè)轉(zhuǎn)向架豎向加速度幅值分別為2.86×10－3m/s2和7.39×10－3m/s2，增大了159%。道床加速度幅值以及首輪對(duì)加速度幅值的增幅分別達(dá)到了63.8%和54%。

此外，由圖4（a）可見(jiàn)，脫空情況下車(chē)體豎向加速度時(shí)程曲線(xiàn)有4個(gè)峰值點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)著列車(chē)4個(gè)轉(zhuǎn)向架的前輪對(duì)駛過(guò)脫空區(qū)域正上方時(shí)的車(chē)體動(dòng)力響應(yīng)。此外，當(dāng)首車(chē)駛過(guò)脫空區(qū)域后，受第2輛車(chē)體振動(dòng)的影響，首車(chē)位移和加速度仍有少量增幅。從影響區(qū)域來(lái)看，車(chē)體豎向加速度受脫空影響的范圍較大，轉(zhuǎn)向架豎向加速度、道床加速度和輪對(duì)加速度受脫空影響的范圍較小。

圖4 道床與襯砌間的局部脫空對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響Fig.4 The effect of local disengagement between the monolithic track bed and the lining on the vibration of the train-track system

圖5是地鐵車(chē)速在72 km/h情況下，不同脫空長(zhǎng)度對(duì)車(chē)體豎向加速度影響范圍的大小。由圖5可見(jiàn)，脫空長(zhǎng)度與車(chē)體豎向加速度受影響的范圍呈正相關(guān)，且隨著脫空長(zhǎng)度的增加，車(chē)體豎向加速度的影響范圍曲線(xiàn)趨于平緩。

圖5 脫空長(zhǎng)度對(duì)車(chē)體豎向加速度的影響范圍Fig.5 The influence range of the disengagement length on the vertical acceleration of the carriage

2.2.2 列車(chē)速度的影響

考慮地鐵列車(chē)速度對(duì)整體道床局部脫空情況下車(chē)軌振動(dòng)的影響，圖6為列車(chē)速度取36 km/h、57 km/h、72 km/h、90 km/h和144 km/h情況下，地鐵車(chē)軌動(dòng)力響應(yīng)隨道床脫空長(zhǎng)度的變化規(guī)律。

圖6 列車(chē)速度及脫空長(zhǎng)度對(duì)車(chē)軌振動(dòng)幅值的影響Fig.6 The effect of train speed and disengaging length on the vibration amplitude of train-track system

由圖6可見(jiàn)，車(chē)體豎向加速度、轉(zhuǎn)向架豎向加速度、輪對(duì)加速度、道床加速度、鋼軌位移和道床位移等振動(dòng)幅值均隨脫空長(zhǎng)度的增大而增大。其中，車(chē)軌的豎向加速度振動(dòng)幅值跟列車(chē)速度呈正相關(guān)，且隨著車(chē)速的增大，脫空長(zhǎng)度的變化對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響程度也顯著增大，如圖6（a）、（d）～（f）所示。鋼軌位移、道床位移的幅值隨車(chē)速的增大而減小，且在不同車(chē)速情況下，脫空長(zhǎng)度對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響趨勢(shì)差別不大，具體見(jiàn)圖6（b）、6（c）。此外，由圖6（e）、6（f）可知，在常見(jiàn)地鐵列車(chē)速度情況下，即車(chē)速低于72 km/h時(shí)，脫空長(zhǎng)度對(duì)輪對(duì)加速度幅值和道床加速度幅值的影響較小。

當(dāng)整體道床脫空長(zhǎng)度一定時(shí)，不同列車(chē)速度對(duì)于地鐵車(chē)軌振動(dòng)的受影響范圍具有顯著影響。以車(chē)體豎向加速度為例，當(dāng)整體道床脫空長(zhǎng)度取為2.0 m情況下，車(chē)體豎向加速度的受影響范圍隨著列車(chē)速度的增加而增加，二者近乎呈正比關(guān)系，具體如圖7所示。

圖7 車(chē)速對(duì)車(chē)體豎向加速度的影響范圍Fig.7 Influence range of vehicle speed on carriage vertical acceleration

2.2.3 道床與襯砌同時(shí)脫空的影響

在地鐵列車(chē)荷載、地面堆載、鄰近工程施工等因素影響下，軟土地區(qū)地鐵隧道易發(fā)生不均勻沉降［17-18］，造成隧道變形以及整體道床與襯砌之間的局部脫空，此外，隧道襯砌與土體之間也可能發(fā)生局部剝離。在下面的算例中，文中同時(shí)考慮了道床與襯砌、襯砌與地基之間的組合脫空情況，假設(shè)列車(chē)運(yùn)行速度仍取為72 km/h，分別取4種不同的工況進(jìn)行對(duì)比研究：（1）工況1，道床和襯砌間脫空1.2 m，襯砌和地基間脫空2.0 m；（2）工況2，道床和襯砌間脫空1.6 m，襯砌和地基間脫空2.0 m；（3）工況3，道床和襯砌間脫空2.0 m，襯砌和地基間脫空2.0 m；（4）工況4，道床和襯砌間脫空2.0 m，襯砌和地基間脫空1.2 m。

表3為4種工況下地鐵車(chē)軌振動(dòng)幅值的計(jì)算結(jié)果。由表3可知，相較工況1，工況2和工況3情況下的首車(chē)車(chē)體加速度、首個(gè)轉(zhuǎn)向架加速度、輪對(duì)加速度和道床加速度幅值均明顯增大，其中，車(chē)體加速度幅值分別增大了30.4%、70.3%，轉(zhuǎn)向架加速度幅值分別增大22.8%、50.1%，輪對(duì)加速度幅值分別增大10.8%、23.6%，道床加速度幅值分別為12.6%、28.1%；而鋼軌位移、道床位移、襯砌位移及襯砌加速度則變化較小。此外，由表3可知，工況3和工況4的各項(xiàng)振動(dòng)響應(yīng)幅值差別不大，由此可見(jiàn)，在組合脫空情況下，道床和襯砌之間的局部脫空對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響較為顯著，而襯砌與地基之間的局部脫空對(duì)其影響較小。

表3 四種工況下的車(chē)軌振動(dòng)幅值Table 3 Train-track vibration amplitudes under four different cases

3 結(jié)語(yǔ)

本文基于車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，建立了地鐵列車(chē)-整體道床軌道-隧道襯砌-地基垂向耦合模型，考慮了地鐵隧道底部和整體道床底部的局部脫空情況，并分析了脫空長(zhǎng)度和列車(chē)速度對(duì)于地鐵車(chē)軌振動(dòng)的影響，得到如下結(jié)論：

（1）整體道床局部脫空對(duì)車(chē)體加速度、轉(zhuǎn)向架加速度等車(chē)軌振動(dòng)響應(yīng)影響范圍遠(yuǎn)超出脫空所在區(qū)域，以車(chē)體豎向加速度為例，當(dāng)車(chē)速為72 km/h，脫空長(zhǎng)度在0.4 m～2.0 m時(shí)，加速度受影響的范圍在23 m～57 m之間。

（2）整體道床局部脫空會(huì)加劇車(chē)體加速度、轉(zhuǎn)向架加速度等車(chē)軌振動(dòng)響應(yīng)，以車(chē)體豎向加速度為例，當(dāng)整體道床脫空長(zhǎng)度為2.0 m時(shí)，加速度幅值將增大13倍。

（3）在常規(guī)地鐵車(chē)速情況下（低于72 km/h），車(chē)體加速度、鋼軌位移和道床位移等振動(dòng)響應(yīng)對(duì)整體道床的脫空長(zhǎng)度較為敏感，隨脫空長(zhǎng)度的增大而顯著增大，可作為脫空監(jiān)測(cè)的敏感振動(dòng)指標(biāo)。

（4）整體道床底部脫空對(duì)地鐵車(chē)軌振動(dòng)的影響較為顯著，而隧道底部脫空對(duì)車(chē)軌振動(dòng)的影響較小，難以通過(guò)振動(dòng)變化直接觀測(cè)。