中國政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部 劉淑環(huán)

美國著名教育家、哲學(xué)家、心理學(xué)家約翰·杜威說過：“科學(xué)教育不僅僅是要讓學(xué)生學(xué)習(xí)大量的知識(shí)，更重要的是學(xué)習(xí)科學(xué)研究的過程或方法”，在教育家施瓦布所倡導(dǎo)的探究教學(xué)中，他認(rèn)為學(xué)習(xí)“不在于占有的信息，而在于擁有的探究能力”。

概率又稱“或然率”“可能性”，是概率論課程中的基本概念。古典概率是計(jì)算事件概率的一種形式，對(duì)古典概率內(nèi)涵的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生概率思維的養(yǎng)成及學(xué)習(xí)概率論其他內(nèi)容的效果。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過具體實(shí)例，對(duì)優(yōu)化古典概率教學(xué)內(nèi)容、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生概率思維、提升學(xué)生探究能力的途徑等方面進(jìn)行探討，以期為一線教師開展古典概率教學(xué)提供參考。

一、古典概率的定義及其內(nèi)涵

古典概率通常又叫“事前概率”，是指隨機(jī)事件中各種可能發(fā)生的結(jié)果及其出現(xiàn)的次數(shù)都可以由演繹或外推法得知，無需經(jīng)過任何統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)即可計(jì)算各種可能發(fā)生結(jié)果的概率。其定義如下。

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件：

（1）有限性：樣本空間Ω只有有限多個(gè)樣本點(diǎn)；

（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同；則事件A發(fā)生的概率為：這個(gè)概率稱為“古典概率”。

古典概率構(gòu)造了一種對(duì)有限點(diǎn)集的子集“測(cè)量”的比例方法。按照這種方法，隨機(jī)事件的概率可歸結(jié)為計(jì)算事件包含樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間包含樣本點(diǎn)數(shù)的比值。這種靜態(tài)的比例計(jì)算方法，簡(jiǎn)單、方便、直觀，無須做大量重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)，概率的許多運(yùn)算規(guī)則也是在這種模型下得到的。

但一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于其是否同時(shí)具備“有限性”和“等可能性”。隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的有限性容易判斷，但等可能性比較抽象，往往被學(xué)生忽視，進(jìn)而學(xué)生時(shí)常把“等可能性”游離出古典概率。

二、優(yōu)化古典概率教學(xué)，提升學(xué)生探究能力

（一）引導(dǎo)學(xué)生探究古典概率的數(shù)學(xué)內(nèi)涵

根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的目的，對(duì)樣本空間的樣本點(diǎn)是否“等可能”進(jìn)行判斷。通過具體實(shí)例，循序漸近、由淺入深，破解古典概率“等可能”屬性。

例如，連續(xù)擲一枚硬幣三次，觀察每次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。用枚舉法可得到樣本空間為：

Ω1＝｛（正正正），（反正正），（正反正），（正正反），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）｝

但若將問題改為同時(shí)擲三枚硬幣一次，觀察出現(xiàn)正面或反面次數(shù)的所有可能結(jié)果。此時(shí)，和上述情況不同，用枚舉法得到的樣本空間為：

Ω2＝｛（三正），（二正一反），（二反一正），（三反）｝

（二）貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生概率思維

在教學(xué)中要充分挖掘能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的素材，激發(fā)學(xué)生親自品味探究新事物的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生用概率的思維去面對(duì)各種隨機(jī)性問題的挑戰(zhàn)。

例如【生日問題】美國數(shù)學(xué)家伯格米尼曾做過一個(gè)實(shí)驗(yàn)：在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場(chǎng)上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上，請(qǐng)22個(gè)球迷分別寫下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同一天生日。這是巧合還是暗藏有某種必然的規(guī)律？

這個(gè)問題引起了學(xué)生的興趣，經(jīng)過思考，學(xué)生利用古典概率，給出事件A：“22個(gè)球迷中至少有兩人同一天生日”，它的概率為：

表達(dá)式很清楚，但求出這個(gè)具體結(jié)果會(huì)比較困難。正好留有懸念，讓學(xué)生猜測(cè)這個(gè)值的大小，并啟發(fā)學(xué)生探討：若有r個(gè)球迷，結(jié)果會(huì)如何？按照類比方法，會(huì)容易得到事件A：“r個(gè)球迷中至少有兩人同一天生日”，它的概率為：

從常規(guī)的教學(xué)看，（1）式正確。但在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為古典概率時(shí)，這個(gè)解答存在一定的瑕疵，且往往被學(xué)生忽視。首先，球迷的人數(shù)r應(yīng)小于365，（1）式才有意義，否則基于抽屜原理，一定會(huì)有兩個(gè)人生日相同；其次，這個(gè)問題能否用古典概率計(jì)算，如何保證“等可能”，如何提出滿足“等可能”的假設(shè)？借助這個(gè)具體實(shí)例，教師引導(dǎo)學(xué)生不要忽視古典概率“等可能”內(nèi)涵。需要明確，假設(shè)“每個(gè)球迷的生日在365天的任何一天是等可能的”，才可以用古典概率得到（1）式結(jié)果。

就該問題，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究：若班級(jí)有60名學(xué)生，打賭“班級(jí)中至少有兩人生日相同”對(duì)打賭的人是否有利？班級(jí)有多少人時(shí)，這個(gè)問題對(duì)打賭的人有利？在學(xué)生猜測(cè)、討論，并急切想知道概率結(jié)果的情況下，教師把不同的r值與對(duì)應(yīng)的P（A）結(jié)果，如表1所示呈現(xiàn)給學(xué)生。

看到表1的結(jié)果，學(xué)生都會(huì)感到很驚奇。“22個(gè)人中至少有兩人同一天生日”的概率居然已達(dá)0．476，若班級(jí)有23人，打賭說“至少有兩人同一天生日”對(duì)打賭的人就已經(jīng)有利。當(dāng)班級(jí)人數(shù)達(dá)到60人時(shí)，幾乎可以百分之百地肯定“其中至少有兩人同一天生日”。

表1 至少有兩人同一天生日的概率

學(xué)生對(duì)這樣的結(jié)果感到驚奇，其實(shí)更多的是對(duì)概率感到神奇。一個(gè)60人的班級(jí)里，居然可以基本肯定至少會(huì)有兩個(gè)學(xué)生生日相同。特別地，當(dāng)和實(shí)際情況對(duì)照檢驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)所在60人的班級(jí)中，真的是至少有兩名學(xué)生生日相同，學(xué)生對(duì)概率的學(xué)習(xí)熱情高漲起來，再回味這個(gè)實(shí)例，也理解了概率的作用：概率結(jié)果本身雖無法告訴你下一次一定會(huì)發(fā)生什么事情，也無法替你做決策，但用概率可以預(yù)測(cè)未來。

（三）挖掘古典概率思政素材，培育學(xué)生思辨能力

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯有句名言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實(shí)只是概率問題。”這些概率問題又有很多可以用古典概型來描述。通過精心設(shè)計(jì)的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生理解并應(yīng)用古典概率知識(shí)求解，其中蘊(yùn)含的思政元素，既可培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，又可以起到對(duì)學(xué)生思想引領(lǐng)和價(jià)值觀塑造的作用。

例如【賭博的陷阱】街頭有一個(gè)擺攤的人，通過有獎(jiǎng)摸球設(shè)賭。路過的人只要交2元錢就可以參加賭局。擺攤?cè)嗣媲坝袀€(gè)袋子，裝有8個(gè)紅球、8個(gè)白球。參加者從中隨機(jī)摸出8個(gè)球，當(dāng)紅、白兩色球數(shù)出現(xiàn)不同比例時(shí)，可得到對(duì)應(yīng)獎(jiǎng)懲：8∶0獎(jiǎng)100元；7∶1獎(jiǎng)10元；6∶2獎(jiǎng)5元；5∶3獎(jiǎng)2元；4∶4罰2元。乍一看，這五種情況中有四種可獲得獎(jiǎng)勵(lì)，只有一種會(huì)受到懲罰。試問這個(gè)游戲真的對(duì)參加人有利嗎，擺攤?cè)说氖找媲闆r又如何？

從計(jì)算結(jié)果看，游戲規(guī)則對(duì)參加者很不利。參加者基本不可能得到100元和10元。雖然得到2元（本來就是自己的）的概率達(dá)到0．49，但出現(xiàn)懲罰2元的概率也達(dá)到了0．38。而對(duì)擺攤的人，更關(guān)心這樣的游戲能給他帶來多少收益。假設(shè)有100人參與，從統(tǒng)計(jì)的角度看，平均會(huì)有12次6∶2，49次5∶3，38次4∶4，1次7∶1，0次8∶0。于是，擺攤?cè)烁督o參與人獎(jiǎng)金的期望值為92元。而擺攤?cè)藦倪@100個(gè)人中實(shí)際可得到200元，二者差距一目了然。由此看出，雖然該游戲表面看起來很優(yōu)惠，但實(shí)際上具有很大的欺騙性。這正體現(xiàn)了“隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)。無序隱有序，統(tǒng)計(jì)解謎離”。

（四）注重古典概率“由果索因”探索

在古典概率教學(xué)中，教師不僅要學(xué)生注重“由因索果”的推理，更要學(xué)生注重“由果索因”的探索，要強(qiáng)化問題意識(shí)，即什么條件可以保證“等可能”，那么如何避免將“等可能”游離出古典概率？教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過提出合理的假設(shè)，親歷“等可能”的生成過程，在“等可能”的前提下進(jìn)行深度探究，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

例如【女士品茶問題】一位常飲奶茶的女士稱，她能從一杯沖好的奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶沖制而成。做了10次測(cè)試，結(jié)果是她都正確地辨別出來了。問該女士的說法是否可信？

概率可以告訴學(xué)生某件事情發(fā)生的概率有多大，但如果想檢驗(yàn)它預(yù)測(cè)的對(duì)不對(duì)，不可能通過一兩次試驗(yàn)就能看出來，而是需要大量試驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)?；谠囼?yàn)結(jié)果對(duì)預(yù)測(cè)進(jìn)行判斷的思維方式，可延伸出數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)思想：首先提出一個(gè)原假設(shè)H，假如試驗(yàn)結(jié)果與H發(fā)生矛盾就否絕原假設(shè)H，否則就接受原假設(shè)H。

為檢驗(yàn)該女士說法是否可信，根據(jù)背景，提出原假設(shè)H：該女士說法不可信。

只有在此假設(shè)下，該女士純粹是靠運(yùn)氣猜對(duì)的，即每次試驗(yàn)的兩個(gè)可能結(jié)果“奶＋茶”或“茶＋奶”是等可能的，才可以用古典概率求解（注：學(xué)生一般都沒有提出這個(gè)假設(shè)的意識(shí)。同時(shí)，若提出假設(shè)：該女士說法可信，則兩個(gè)可能結(jié)果“奶＋茶”或“茶＋奶”就不是“等可能”，也就不能用古典概率），具體如下。

10次實(shí)驗(yàn)一共有210個(gè)等可能結(jié)果，而事件A：“能正確分辨出放奶和放茶先后順序”，它只包含了其中一個(gè)樣本點(diǎn)，故該女士猜對(duì)的概率為：

根據(jù)“小概率實(shí)際推斷原理”，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生，但現(xiàn)在該事件竟然發(fā)生了，這只能說明原假設(shè)H不當(dāng)，應(yīng)予否絕，故認(rèn)為該女士的說法可信。

三、結(jié)語

在實(shí)際問題中，古典概率“等可能”的屬性可基于對(duì)稱性、均勻性等判斷；在理論層面上，可以通過假設(shè)檢驗(yàn)的思想和方法進(jìn)行驗(yàn)證。在古典概率的教學(xué)中，教師要時(shí)刻關(guān)注生活中“司空見慣”現(xiàn)象及其背后蘊(yùn)含的科學(xué)道理和邏輯關(guān)系并予以提煉，通過精心組織、設(shè)計(jì)契合古典概率且有新意的實(shí)例，讓“呆板”的古典概率在豐富的實(shí)踐中變得栩栩如生、趣味盎然。這樣可以在提高學(xué)生對(duì)古典概率知識(shí)的理解及應(yīng)用的同時(shí)，啟迪學(xué)生的概率思維，強(qiáng)化學(xué)生自主提煉“等可能”假設(shè)的意識(shí)與能力，提升學(xué)生的探究能力，最終達(dá)到“寓德于教、寓教于樂、樂有所思、思有所得、得有所悟”的教學(xué)效果。這也是筆者在常年的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中一以貫之、不懈追求的目標(biāo)。