?安徽省滁州中學(xué) 葉建友?廣西南寧市銀海三雅學(xué)校 林日官

1 引言

近幾年高考和各類模擬題中頻頻出現(xiàn)“同構(gòu)”的身影，即通過構(gòu)造相同的形式，根據(jù)相同的格式“脫掉”復(fù)雜形式的外殼，露出問題的本質(zhì)，或是萬象歸一，化歸為更統(tǒng)一的規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱美，具有一定的美學(xué)價值.

2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)方法

核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教育更注重數(shù)學(xué)的內(nèi)在美與本質(zhì)的體現(xiàn)，在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生既能夠明白相關(guān)的數(shù)學(xué)原理與應(yīng)用，還能體會到數(shù)學(xué)中的美，新高考更是在這個方面下足了功夫.我們來看下面幾道高考題.

2.1 利用同構(gòu)獲取變元的大小關(guān)系

例1(2020年全國Ⅱ卷文理)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：題目中給出的條件為關(guān)于兩個變元x,y的不等式，直接獲得關(guān)于y-x的式子并不容易，所以可以考慮構(gòu)造相同的形式，即由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，不等號兩端的形式完全一致，只是對應(yīng)的變量不同而已，達(dá)成了同構(gòu).構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，易知該函數(shù)為R上的增函數(shù)，由增函數(shù)的特點可知x1，所以ln(y-x+1)>0.又因為|x-y|與1的大小不確定，因此選項C，D無法確定.故選：A.

規(guī)律總結(jié)：數(shù)學(xué)中有許多形式對稱優(yōu)美的式子，它們遍布在數(shù)學(xué)的各種定義和性質(zhì)當(dāng)中，猶如數(shù)學(xué)中的瑰寶，給人美不勝收的感覺.在上面的問題中，我們構(gòu)造函數(shù)，知曉了該函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性的特點解決了問題.所以這類問題的理論依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的特點，根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值的大小得到了自變量的大小關(guān)系，相當(dāng)于脫掉了函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的外殼，直接獲得兩個變量的大小關(guān)系，從而能夠更簡潔地還原問題本質(zhì)，簡單地解決問題.

熟練應(yīng)用：

例2(2020全國Ⅰ卷理)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

分析：根據(jù)題意可將已知條件整理為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2(2b)-1的形式，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，易知f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，而f(a)=f(2b)-1f(1)，即a>1，此時a>b2.所以a與b2大小不確定.因此選：B.

在我們遇到的問題當(dāng)中，有時不一定一眼就能看出要構(gòu)造的函數(shù)的形式，而是需要通過變形整理再找到要構(gòu)造的函數(shù)，這樣的問題對我們知識的掌握要求較高，更能體現(xiàn)我們對一些數(shù)學(xué)問題理解的深度，所以構(gòu)造才是數(shù)學(xué)魅力的地方之一，有時可以借助于同構(gòu)獲取變元的關(guān)系來解決一些取值或不等式的相關(guān)問題.

例3解不等式log2(x12+3x10+5x8+3x6+1)>1+log2(x4+1).

例4已知實數(shù)x1，x2滿足x1ex1=e3，x2(lnx2-2)=e5，則x1x2的值為________.

分析：本題中涉及兩個變量，各自滿足一個對應(yīng)的方程，涉及到指數(shù)與對數(shù)的運算，所以一個角度是采用換元的方式.由于方程首先需要有意義，所以有x1>0,x2>e2.令lnx2-2=t>0,x2=et+2，則第二個方程化為tet=e3.構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex(x>0),f′(x)=(x+1)ex>0(x>0)，則知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f(x1)=f(t)=e3，則x1=t=lnx2-2,所以x1x2=x2(lnx2-2)=e5.

另一個角度就是化同構(gòu)，對第一個方程x1ex1=e3兩邊取自然對數(shù)，得lnx1+x1=3.

對第二個方程x2(lnx2-2)=e5兩邊取自然對數(shù)，得lnx2+ln(lnx2-2)=5.

為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將上式進(jìn)一步變形為(lnx2-2)+ln(lnx2-2)=3.

構(gòu)造f(x)=lnx+x，易知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)=3的解只有一個.所以x1=lnx2-2，因此x1x2=(lnx2-2)x2=e5.

2.2 利用同構(gòu)求參數(shù)的取值范圍

除了能夠根據(jù)同構(gòu)直接獲得變元的大小關(guān)系外，有時也可以利用同構(gòu)間接地解決恒成立、參數(shù)范圍等問題，應(yīng)用比較廣泛.

合并前，兩館都使用《中國圖書館分類法》，但在各自的分編工作中，兩館的分類規(guī)則有差別，導(dǎo)致索書號不同，南館圖書使用的索書號是用著者號排序，北館則使用種次號排序。這兩種不同的排序法會造成讀者從北館借閱的書還到南館后上不了架。由于索書號的取號法、館藏標(biāo)記符號等方面存在差異，如何將讀者所借的北館上萬冊圖書歸入南館分類排架系統(tǒng)中，是合并后圖書館所面臨的一個迫切任務(wù)。

該題將題中復(fù)雜的條件同構(gòu)處理后相當(dāng)于知道所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)值取值情況來獲取參數(shù)的范圍.

例6(2020山東新高考)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：本題若直接帶參討論，即使用常規(guī)處理方法會比較麻煩，而考慮同構(gòu)處理則會大大簡化解題流程，提高效率.由題意知aex-1-lnx+lna≥1，即ex+lna-1+lna-1≥lnx，亦即ex+lna-1+x+lna-1≥x+lnx=lnx+elnx.構(gòu)造新函數(shù)g(x)=x+ex，易知該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有x+lna-1≥lnx，即lna≥-x+1+lnx.令h(x)=-x+1+lnx，可知其最大值為h(1)=0，所以有l(wèi)na≥0，因此a≥1.

下面給出同構(gòu)的一些經(jīng)典方案：

(1)基本型：

(3)和差型：ea±a>b±lnb.

①可變形為ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x；

②也可變形為ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

(4)積型：aea≤blnb.

①變形為ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx，即有f(ea)≤f(b)；

②變形為aea≤(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex，即有f(a)≤f(lnb)；

③兩邊取對數(shù)：a+lna≤lnb+ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx，即有f(a)≤f(lnb).

③兩邊取對數(shù)變形為a-lna≤lnb-ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-lnx，即有f(a)≤f(lnb).

同步練習(xí)：

練習(xí)3：已知對于任意的實數(shù)m,n，不等式kmen-1-2n+1+(2n-2m+1)e2n-m≥0恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為________.

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與落實往往需要很多具體的材料與媒介，同構(gòu)的思想就是較好的媒介之一.學(xué)生對同構(gòu)的認(rèn)知與應(yīng)用體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)相關(guān)概念與思想的理解深度，這也是同構(gòu)相關(guān)的試題越來越多的原因之一.學(xué)生需要具有相關(guān)的學(xué)科視角和對應(yīng)的學(xué)科思想，這是我們當(dāng)前教育的主旋律，也就是更需要學(xué)生能夠從整體上認(rèn)識與把握相關(guān)學(xué)科，進(jìn)而在細(xì)節(jié)的完善中成為一個發(fā)展完整的人，才能達(dá)成我們的教育目標(biāo).函數(shù)中的同構(gòu)聯(lián)結(jié)了其形式與內(nèi)在的統(tǒng)一，自變量與函數(shù)值的依存關(guān)系通過同構(gòu)的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)得淋漓盡致，不僅有數(shù)學(xué)思想的深刻性，也給人以美的感受，是更高的科學(xué)追求.當(dāng)然，同構(gòu)的思想在其他領(lǐng)域，如解析幾何的相關(guān)運算中也有很多應(yīng)用，亟待我們繼續(xù)發(fā)掘和探索.