廖永龍，宋嘉琪

(北京石油化工學(xué)院數(shù)理系， 北京 102617)

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)理論的一個(gè)重要特性，所謂穩(wěn)定性是指在各種外部和內(nèi)部因素的干擾下，系統(tǒng)保持預(yù)定運(yùn)行或正常工作狀態(tài)能力的一種度量。

穩(wěn)定性問題實(shí)質(zhì)上是控制系統(tǒng)自身的屬性問題，在大多數(shù)情況下，穩(wěn)定是系統(tǒng)正常運(yùn)行的前提條件[1]。在實(shí)際系統(tǒng)中，過去狀態(tài)往往不可避免地對(duì)當(dāng)前的狀態(tài)產(chǎn)生影響，即系統(tǒng)的演化趨勢(shì)不僅依賴于系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，也依賴于過去某一時(shí)刻或多個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，這類系統(tǒng)稱為時(shí)滯系統(tǒng)。時(shí)滯常見于傳染病和流行病模型[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3]、機(jī)械控制系統(tǒng)[4]等領(lǐng)域。連續(xù)時(shí)間域中的時(shí)滯系統(tǒng)是無窮維系統(tǒng)，有無窮多個(gè)特征根[5-6]，這給系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)帶來很大的困難和挑戰(zhàn)。因此，時(shí)滯系統(tǒng)無論在理論分析還是在工程實(shí)踐中都是一個(gè)研究熱點(diǎn)。

線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法主要有譜理論、代數(shù)系統(tǒng)理論、泛函微分方程理論等[7-12]。盡管對(duì)定常時(shí)滯系統(tǒng)的精確穩(wěn)定性問題的研究較多，但是目前還未建立起成體系的理論將定常時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)推廣到時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是一個(gè)開放的問題[13]。Lyapunov-Krasovskii泛函法(LKF)是一種研究時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的主要方法，由Krasovskii于20世紀(jì)50年代末提出，通常由一個(gè)線性矩陣不等式表示。在不等式的放縮過程中，Jensen不等式發(fā)揮著重要的作用[14]。此外，Wirtinger積分不等式和Auxiliary積分不等式也經(jīng)常用于不等式的放縮[15-16]。

由于Lyapunov-Krasovskii方法高度依賴于泛函的構(gòu)造，而時(shí)滯個(gè)數(shù)的增加又相應(yīng)地增加了泛函構(gòu)造的難度。通過引入冗余方程對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)重新表示，可簡(jiǎn)化Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造，并且可有效降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性[17]。文獻(xiàn)[18-19] 中的研究結(jié)果表明，基于Finsler引理可有效降低判別矩陣的階數(shù)。

筆者將基于Finsler引理考慮多個(gè)時(shí)滯的情形，特別地以2個(gè)時(shí)滯為代表進(jìn)行研究，給出穩(wěn)定性定理，并構(gòu)建新的Lyapunov-Krasovskii泛函，然后用線性矩陣不等式進(jìn)行證明。

1 問題的數(shù)學(xué)描述和基本引理

考慮連續(xù)時(shí)間狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)：

(1)

其中：x(t)∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)向量；hi(t)(i=1，2)表示時(shí)間的滯后量，并且滿足：

0≤h1(t)≤h2(t)≤hm

(2)

(3)

這里的常數(shù)hm>0，表示滯后量的最大值;常數(shù)d≥0，表示滯后量變化率的最大絕對(duì)值。函數(shù)φ(θ)(θ∈[-hm，0] )是初始狀態(tài)，A，A1，A2∈Rn×n均是常數(shù)矩陣。

將討論時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性問題。首先，給出下述3個(gè)引理：

引理1[1](Lyapunov穩(wěn)定性定理)對(duì)于n維自治系統(tǒng)：

引理2[11](Jensen不等式)對(duì)于任意的常數(shù)矩陣M∈Rn×n，M=MT>0，標(biāo)量γ>0，向量函數(shù)ω:[0，γ] →Rn，若下述各積分存在，則有如下不等式成立：

引理3[17](Finsler引理)設(shè)B∈Rn×pn，?！蔙pn×pn為對(duì)稱矩陣，對(duì)任意滿足Bx=0的非零向量x∈Rpn，xTΓx<0當(dāng)且僅當(dāng)矩陣B⊥TΓB⊥<0(表示該矩陣負(fù)定)，其中B⊥表示B的任意右正交補(bǔ)。

2 主要結(jié)果

給出系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定性定理，并構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函對(duì)定理進(jìn)行證明。

定理1對(duì)于給定的標(biāo)量hm>0和d≥0，以及滿足條件(2)～(3)的時(shí)變時(shí)滯hi(t)，i=1，2，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的充分條件是:存在n階正定矩陣P、Qi(i=1，2，3)、R使得線性矩陣不等式：

S⊥TΓS⊥<0

(4)

成立，其中

(5)

(6)

矩陣Γ中的Wi(i=1，2，3，4)表示如下：

其中：S⊥表示S的右正交補(bǔ)。

證明:構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函如下:

(7)

因?yàn)榫仃嘝、Qi(i=1，2，3)、R均為正定矩陣，所以V(x)≥0。對(duì)式(7)關(guān)于t求導(dǎo)，得

xT(t)Q1x(t)-xT(t-h1(t))Q1x(t-h1(t))×

(8)

根據(jù)引理2可知

x(t-h(t)]

于是

x(t-h1(t))]

(9)

因?yàn)閠-h2介于t-hm到t之間，所以有

(10)

結(jié)合式(8)～式(10)和式(3)可得：

xT(t-h1(t))Q1x(t-h1(t))(1-d)+

xT(t)Q2x(t)-xT(t-h2(t))Q2x×

(t-h2(t))(1-d)+xT(t)Q3x(t)-

x(t-hm)] -[x(t)-x(t-h1(t))]T×

(11)

令

(12)

式(11)可記作

(13)

其中，Γ由定義(6)給出。

此外，利用式(5)和式(12)可以將系統(tǒng)(1)重新記作：

Sξ(t)=0

(14)

根據(jù)引理1可知，如果對(duì)于滿足方程(14)的所有ξ(t)不等式：

ξT(t)Γξ(t)<0

(15)

均成立，那么原系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。根據(jù)引理3可知，不等式(15)等價(jià)于不等式(4)，定理得證。

3 穩(wěn)定性條件的進(jìn)一步討論

系數(shù)矩陣S∈Rn×5n的正交補(bǔ)S⊥∈R5n×4n，于是對(duì)式(4)作進(jìn)一步的化簡(jiǎn)。取S的正交補(bǔ)：

則有

其中，

分別對(duì)U2和U3作如下分解：

則可得到如下簡(jiǎn)化后的穩(wěn)定性定理。

定理2給定標(biāo)量hm>0和d≥0，對(duì)于任意滿足條件(2)～(3)的時(shí)變時(shí)滯hi(t)，i=1，2，系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的充分條件是存在n階正定矩陣P、Qi(i=1，2，3)、R使得矩陣負(fù)定。

(16)

依據(jù)定理2可直接通過矩陣不等式來判斷時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 數(shù)值仿真

通過2個(gè)數(shù)值算例對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

取正定矩陣P=10，R=1，Q1=0.1，Q2=0.1，Q3=1。計(jì)算得矩陣Ψ的特征值依次為λ1=-40.322 4，λ2=-6.731 4，λ3=-4.028 3，λ4=-0.527 8，即可判斷出矩陣Ψ負(fù)定。仿真結(jié)果(如圖1所示)也表明系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。

圖1 一階系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.1 State trajectory of the first order system

例2(二階系統(tǒng))考慮系統(tǒng)(1)，設(shè)其系數(shù)矩陣分別取為：

取正定矩陣

計(jì)算得矩陣Ψ的特征值依次為λ1=-168.040 5，λ2=-12.209 7，λ3=-10.654 5，λ4=-10.202 0，λ5=-1.712 5，λ6=-0.369 4，λ7=-0.011 7，λ8=-0.078 5。即可判斷出矩陣Ψ負(fù)定。仿真結(jié)果(如圖2所示)也表明系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。

圖2 二階系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectories second order system

2個(gè)數(shù)值算例仿真結(jié)果表明，對(duì)于變時(shí)滯系統(tǒng)(1)，若存在正定矩陣P、Qi(i=1，2，3)、R使得二次型矩陣Ψ負(fù)定，即可知系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。

5 結(jié)論

討論了具有多個(gè)時(shí)變時(shí)滯的連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，特別地，以2個(gè)時(shí)滯為例進(jìn)行了研究?；贔insler引理給出了這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理，并構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii泛函給出定理的證明。證明過程表明，若對(duì)于給定的最大滯后量系統(tǒng)穩(wěn)定，則對(duì)小于該滯后量的時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)是否穩(wěn)定還與其滯后量的變化速率有關(guān)，這是與常時(shí)滯系統(tǒng)的不同之處。此外，分析了正交補(bǔ)矩陣的結(jié)構(gòu)，對(duì)穩(wěn)定性條件做了進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。成功地將現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)論推廣到多個(gè)時(shí)變時(shí)滯的情形。最后通過2個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了結(jié)論的有效性。