張東東， 欒福強(qiáng)， 趙禮輝， 鄭 玲

（1. 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2. 上海市新能源汽車(chē)可靠性評(píng)價(jià)公共技術(shù)平臺(tái)，上海 200093；3. 重慶大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶 400044）

引 言

振動(dòng)與噪聲的控制水平是衡量航天飛行器、大型飛機(jī)、艦艇、高速列車(chē)等現(xiàn)代裝備發(fā)展的重要技術(shù)指標(biāo).這些裝備日益向高速、重載、輕質(zhì)等方向發(fā)展，由此帶來(lái)的振動(dòng)與噪聲問(wèn)題更加突出.阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、減振降噪效果良好、可靠性高等優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于各種大型裝備薄壁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)噪聲控制，特別是對(duì)材料用量有苛刻要求的薄壁承載結(jié)構(gòu)[1].

阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的減振性能取決于材料分布和材料屬性.借助于拓?fù)鋬?yōu)化方法，對(duì)阻尼復(fù)合材料的分布進(jìn)行優(yōu)化，可在控制材料用量的約束下達(dá)到高效減振降噪目的.Ansari 等[2]采用水平集法（level set method,LSM）對(duì)薄板結(jié)構(gòu)表面約束阻尼材料的位置和形狀進(jìn)行尋優(yōu)設(shè)計(jì)，并通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了優(yōu)化方法的有效性.Fang 等[3]以最小化諧振響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)，采用漸進(jìn)優(yōu)化方法（evolutionary structural optimization, ESO）尋找板結(jié)構(gòu)表面約束阻尼材料的最優(yōu)布局.Pang 等[4]以最大化加權(quán)模態(tài)損耗因子為目標(biāo)對(duì)自由阻尼板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì).在上述阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化中，一般都預(yù)先確定了阻尼材料的屬性.

然而，材料屬性對(duì)阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的減振降噪性能也有著重要影響，比如夾層阻尼結(jié)構(gòu)主要依靠阻尼材料的橫向剪切變形耗散振動(dòng)能量，而且不同方向上剪切模量的差異還會(huì)引起抑振性能的變化.事實(shí)上，針對(duì)不同的抑振目標(biāo)或工作環(huán)境，往往要求不同的阻尼材料屬性，如夾層阻尼板梁結(jié)構(gòu)不同階抑振目標(biāo)所要求的阻尼材料最優(yōu)剪切模量都不相同[5].在工程應(yīng)用中，不可能按照材料屬性需求制造出所有相應(yīng)的阻尼材料.此時(shí)，通過(guò)材料微觀(guān)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)獲得期望的材料性能是一種非常有效實(shí)用的路徑.

一方面，可以宏觀(guān)結(jié)構(gòu)的性能為目標(biāo)設(shè)計(jì)材料微結(jié)構(gòu).Yang 等[6]以宏觀(guān)結(jié)構(gòu)的輻射聲功率最小化為目標(biāo)，對(duì)阻尼材料的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì).Chen 等[7]基于均勻化理論和實(shí)體各向同性材料懲罰（solid isotropic material with penalization, SIMP）插值方法設(shè)計(jì)了阻尼材料的微結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型，旨在獲得約束阻尼梁結(jié)構(gòu)最大模態(tài)損耗因子.Fang 等[8]以約束阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子最大化為目標(biāo)，基于能量法預(yù)測(cè)微結(jié)構(gòu)的等效性能，設(shè)計(jì)了阻尼材料三維微結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型.另一方面，則是直接以期望性能為目標(biāo)開(kāi)展阻尼材料的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).Chen 等[5]采用序列線(xiàn)性規(guī)劃（sequential linear programming, SLP）方法研究了具有期望性能的阻尼材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用到約束阻尼梁結(jié)構(gòu).Andreasen 等[9]首先分析了在給定體積約束下的阻尼復(fù)合材料等效性能上下界，研究討論了考慮制造性約束時(shí)阻尼材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)能否達(dá)到等效性能邊界的問(wèn)題.Huang 等[10]則以期望的材料損耗因子或彈性模量為目標(biāo)，基于均勻化理論對(duì)阻尼復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，將優(yōu)化后阻尼材料的儲(chǔ)能模量和耗能模量與Hashin 和Shtrikman[11-12]提出的理論界限（H-S 界限理論）進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明以最大化剛度為目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的材料的儲(chǔ)能模量接近H-S 理論的上限，以最大化阻尼為目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的材料的儲(chǔ)能模量接近H-S 理論的下限.上述文獻(xiàn)對(duì)阻尼材料微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究大都面向二維微結(jié)構(gòu)問(wèn)題，可以滿(mǎn)足主要依靠拉壓變形來(lái)耗散振動(dòng)能量的自由阻尼結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計(jì)要求.但在工程實(shí)踐中，具備更大減振降噪潛力的夾層阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)，主要依靠阻尼材料橫向剪切變形來(lái)耗散振動(dòng)能量，那么，夾層阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計(jì)就需考慮阻尼材料的橫向剪切模量.因此，將作為夾層的阻尼材料微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)定義為三維問(wèn)題則是非常有必要的.另外，上述文獻(xiàn)的優(yōu)化過(guò)程都預(yù)先設(shè)定了阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)，并可獲得預(yù)期材料性能，但對(duì)應(yīng)的材料用量并非最少，難以保證充分利用材料.

復(fù)合材料有效模量的界限理論，如Voigt-Reuss 界限理論[13]和H-S[11-12]界限理論等，都是基于不同材料相的體積分?jǐn)?shù)和本構(gòu)參數(shù)構(gòu)建多相復(fù)合材料等效性能極限的估計(jì)表達(dá)式，可用來(lái)指導(dǎo)材料微結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì).基于變分法的H-S 界限理論比較準(zhǔn)確地描述了復(fù)合材料用量和等效模量界限的關(guān)系，應(yīng)用較為廣泛.為了實(shí)現(xiàn)最小材料用量獲得期望的材料性能，本文將阻尼材料微結(jié)構(gòu)等效為由實(shí)體材料和空材料構(gòu)成的兩相復(fù)合材料，基于H-S 界限理論提出一種變體積約束的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法.基于均勻化理論，以阻尼材料期望的剪切模量為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建了阻尼材料三維結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.通過(guò)逆用H-S 界限理論估計(jì)對(duì)應(yīng)于期望等效剪切模量的材料體積分?jǐn)?shù)限，并考慮到界限理論的精度局限性，提出了一種材料體積分?jǐn)?shù)限移動(dòng)準(zhǔn)則，將原優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積約束下最大化等效模量的優(yōu)化問(wèn)題.采用最優(yōu)準(zhǔn)則法進(jìn)行求解得到阻尼材料三維最優(yōu)微結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)最小材料用量獲得期望材料性能.通過(guò)典型數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，著重討論了初始微構(gòu)型、網(wǎng)格密度和彈性模量等對(duì)阻尼材料微結(jié)構(gòu)的影響.

1 阻尼材料均勻化

1.1 阻尼材料復(fù)模量模型

那么，阻尼材料復(fù)數(shù)模量的張量形式可以重新表示為

1.2 阻尼材料均勻化方法

典型的夾層阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)，如圖1（a）所示，主要依靠黏彈性阻尼材料的橫向剪切變形（圖1（b））耗散能量實(shí)現(xiàn)減振降噪.圖1 中的uc，uv，ub分別為約束層中性面、阻尼層中性面和基板層中性面沿x方向的位移，w為夾層阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的橫向位移，?x為阻尼層繞y軸的轉(zhuǎn)角，?w/?x為夾層阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度.因此，對(duì)于夾層阻尼結(jié)構(gòu)的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)，需將其考慮為三維結(jié)構(gòu)（圖1（c））的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題.本文將阻尼材料單胞定義為正交各向異性材料，其本構(gòu)關(guān)系為

圖1 含阻尼材料微結(jié)構(gòu)的夾層阻尼結(jié)構(gòu)示意圖：(a) 夾層阻尼結(jié)構(gòu)；(b)阻尼材料變形圖；(c)阻尼材料三維微結(jié)構(gòu)Fig. 1 Schematic drawings of a sandwich damping structure with a damping core microstructure: (a) the sandwich damping structure;(b) the deformation of the damping core; (c) the 3D microstructure of the damping core

其中，σij和εkl為黏彈性材料的應(yīng)力和應(yīng)變張量.

均勻化理論是基于微觀(guān)結(jié)構(gòu)和材料組分來(lái)預(yù)測(cè)宏觀(guān)結(jié)構(gòu)性能的一種方法，它具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，其性能預(yù)測(cè)結(jié)果更接近真實(shí)值[15].假設(shè)材料單胞尺寸遠(yuǎn)小于材料宏觀(guān)結(jié)構(gòu)尺寸，基于能量均勻化方法，阻尼材料單胞的等效復(fù)模量可以寫(xiě)為[16]

式中，vi表示虛擬位移場(chǎng)，屬于可允許位移空間，yj表示微觀(guān)尺度坐標(biāo)系下的坐標(biāo).將式（1）代入式（5），則阻尼材料等效復(fù)模量可以寫(xiě)為

因此，基于單元的交互性能量，式（7）可轉(zhuǎn)化為另一種新形式[17]：

本文中，周期性邊界條件為給三維單胞邊界施加約束方程，約束方程用周期性單胞頂點(diǎn)、邊和面上的節(jié)點(diǎn)之間的位移差來(lái)表示[18].設(shè)阻尼材料單胞的微觀(guān)單元材料是各向同性的，采用SIMP 插值模型函數(shù)來(lái)表示阻尼材料微觀(guān)單元復(fù)模量的實(shí)部，則第e個(gè)微觀(guān)單元?jiǎng)偠染仃嚨膶?shí)部為

2 變體積約束的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 傳統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化模型

對(duì)于以期望等效材料性能為目標(biāo)的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，通?？梢员硎鰹?/p>

2.2 變體積約束拓?fù)鋬?yōu)化模型及求解

本文提出一種變體積約束的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法.逆用H-S 界限理論估計(jì)對(duì)應(yīng)于期望等效剪切模量的材料體積分?jǐn)?shù)限，并考慮到界限理論的精度局限性，提出一種材料體積分?jǐn)?shù)限移動(dòng)準(zhǔn)則，將傳統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積約束下最大化等效模量的優(yōu)化問(wèn)題.采用優(yōu)化準(zhǔn)則（optimal criterion，OC）法進(jìn)行求解，得到阻尼材料三維最優(yōu)微結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)最小材料用量獲得期望材料性能.

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于夾層阻尼結(jié)構(gòu)，主要依靠阻尼材料的橫向剪切變形來(lái)耗散能量.為最大化利用材料且充分挖掘阻尼材料的阻尼特性，將式（14）表達(dá)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積約束下最大化等效模量的優(yōu)化問(wèn)題.這里的體積約束限在下一小節(jié)由H-S 界限理論公式給出，是理論上獲得期望等效模量的體積約束限.本文中最大化目標(biāo)函數(shù)取為阻尼材料微結(jié)構(gòu)單胞三個(gè)方向剪切模量的平均值，表示如下：

2.2.2 變體積約束

1) 初始體積約束限

如引言中所述，復(fù)合材料的界限理論描述了組分材料體積分?jǐn)?shù)與等效性能極限之間的近似關(guān)系，應(yīng)用較廣泛的是H-S 界限理論.阻尼材料微結(jié)構(gòu)可認(rèn)為是由兩相材料組成的復(fù)合材料，第一相為空材料，第二相為阻尼材料.那么，在給定阻尼材料體積下，基于H-S 界限理論公式可以預(yù)測(cè)阻尼材料微結(jié)構(gòu)的等效剪切模量上限Gu為[11-12]

其中，G1，K1分別為空材料的剪切模量和體積模量，G2，K2分別為阻尼材料的剪切模量和體積模量，f1，f2分別為空材料和阻尼材料的體積分?jǐn)?shù).顯然K1

本文旨在采用最小的材料用量獲得具有期望等效性能的阻尼材料微結(jié)構(gòu).逆用H-S 界限理論，獲得期望等效性能對(duì)應(yīng)的阻尼材料體積限，這個(gè)體積即為理想情況下獲得期望等效材料性能的最小體積.設(shè)Gexp為已知的期望阻尼材料剪切模量，則由方程（16）可獲得Gu=Gexp時(shí)空材料和阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)f1和f2之間的關(guān)系如式（17）所示：

設(shè)空材料和阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)之和為1，令f1= 1–f2時(shí)，則可得到阻尼材料期望等效性能對(duì)應(yīng)的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)限：

由于H-S 界限理論是一個(gè)理想理論，那么由式（18）的材料體積分?jǐn)?shù)計(jì)算得到的最大剪切模量與期望剪切模量可能存在一定的誤差.因此，本文進(jìn)一步提出變體積約束限移動(dòng)準(zhǔn)則，保證優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)的等效剪切模量盡可能達(dá)到期望的剪切模量.將式（18）得到的阻尼材料初始體積分?jǐn)?shù)f2記為所提出優(yōu)化問(wèn)題中的阻尼材料初始體積分?jǐn)?shù)約束限f(0).

2) 體積約束限的移動(dòng)準(zhǔn)則

本文中的初始體積約束限為f(0)，在迭代過(guò)程中通過(guò)改變阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)約束限使優(yōu)化后阻尼材料單胞的等效剪切模量達(dá)到期望的剪切模量.材料體積分?jǐn)?shù)約束限f(k)的迭代格式可表示為

2.2.3 變體積約束拓?fù)鋬?yōu)化模型及求解

以等效彈性模量構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)是材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中廣泛采用的一種方法，尤其是以材料等效剪切模量構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，可使優(yōu)化過(guò)程具有非常高的穩(wěn)健性.基于SIMP 插值方法，以式（15）為目標(biāo)函數(shù)、材料的移動(dòng)體積分?jǐn)?shù)限為約束進(jìn)行材料微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出變體積約束的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型如下：

式中，f(k)是由式（19）定義的在第k迭代步的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)約束限.采用直接求導(dǎo)法得到目標(biāo)函數(shù)和約束條件對(duì)變量的靈敏度后，通過(guò)優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解.為了保證微結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，采用靈敏度過(guò)濾技術(shù)消除棋盤(pán)格式[19].

3 數(shù)值算例與分析

筆者基于上述所提出的方法編制了變體積約束的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化程序.阻尼材料三維微結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型如圖2 所示，為方便描述，將其命名為初始構(gòu)型A.將其離散為20 × 20 × 20 個(gè)有限元單元，每個(gè)單元的尺寸為0.05 mm × 0.05 mm × 0.05 mm，8 個(gè)角點(diǎn)單元為空材料（密度變量等于0），其余單元為實(shí)體阻尼材料單元（密度變量等于1）.實(shí)體阻尼材料采用復(fù)常數(shù)模量模型，彈性模量Ev為12 MPa、Poisson 比為0.48、材料損耗因子為0.5.

圖2 阻尼材料單胞初始構(gòu)型AFig. 2 Initial configuration A of the damping material unit cell

考慮阻尼材料微結(jié)構(gòu)單胞的期望剪切模量Gexp分別為1 MPa，2 MPa 和3 MPa，那么由式（18）可得對(duì)應(yīng)于3 個(gè)期望剪切模量的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)約束值分別為0.360，0.624 和0.830.此時(shí)為了獲得3 種期望的剪切模量值，阻尼材料微結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為理想情況下在體積約束分別為0.360，0.624 和0.830 下的剪切模量最大化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)如式（15）所示.在優(yōu)化過(guò)程中，為了與求解最小化問(wèn)題的優(yōu)化算法相適應(yīng)，將目標(biāo)函數(shù)修改為最小化問(wèn)題.

對(duì)于上述3 個(gè)不同的期望剪切模量，優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型、迭代歷程以及等效剪切模量如圖3 所示.優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)仍呈軸對(duì)稱(chēng)特征，迭代過(guò)程中阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)限呈現(xiàn)出移動(dòng)變化的特征.對(duì)應(yīng)的等效剪切模量分別為1.02 MPa，2.04 MPa 和3.04 MPa，非常接近期望剪切模量且誤差都能控制在2%以?xún)?nèi).優(yōu)化后阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)分別為0.395，0.614 和0.830，與逆用H-S 界限理論得到的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)限相比，分別增加了9.73%，?1.61%，0%，與初始的材料體積分?jǐn)?shù)限有一定的差異.這是由于H-S 界限理論本身是一種理想的近似理論，那么逆用H-S 界限理論獲得的對(duì)應(yīng)于期望等效剪切模量的材料體積分?jǐn)?shù)限也是一個(gè)理想的估計(jì)值，必然存在一定的精度局限.因此，本文構(gòu)造了材料體積分?jǐn)?shù)限移動(dòng)準(zhǔn)則，在優(yōu)化過(guò)程中通過(guò)增大或者減小材料的體積分?jǐn)?shù)約束限來(lái)獲得最小材料用量下具有期望剪切模量的阻尼材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型，實(shí)現(xiàn)材料的充分利用.

圖3 基于初始構(gòu)型A 獲得阻尼材料單胞微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 3 Topology optimization results of the damping material unit cell microstructure for initial configuration A

3.1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)初始構(gòu)型的依賴(lài)性分析

在阻尼材料微結(jié)構(gòu)單胞尺寸和網(wǎng)格密度不變的情況下，改變阻尼材料單胞的初始構(gòu)型，分析它們對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響.定義了兩種不同的初始構(gòu)型B 和C，如圖4 所示.初始構(gòu)型B 的中心8 個(gè)單元為空材料，其余單元為實(shí)體阻尼材料；初始構(gòu)型C 的中心8 個(gè)單元為實(shí)體阻尼材料，其余單元為密度等于初始體積分?jǐn)?shù)限值的阻尼材料.

圖4 阻尼材料初始構(gòu)型：(a) 阻尼材料初始構(gòu)型B； (b) 阻尼材料初始構(gòu)型CFig. 4 The initial configurations of the damping material unit cell：(a) initial configuration B of the damping material unit cell;(b) initial configuration C of the damping material unit cell

基于初始構(gòu)型B 的阻尼材料微結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型及等效剪切模量如圖5 所示.優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)仍呈軸對(duì)稱(chēng)特征，對(duì)應(yīng)的等效剪切模量分別為1.03 MPa，2.04 MPa 和3.04 MPa，可以認(rèn)為達(dá)到了期望的剪切模量.優(yōu)化后阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)分別為0.385，0.620 和0.828，與逆用H-S 界限理論得到的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)限相比，分別增加了6.95%，?0.60%，?0.24%.

圖5 基于初始構(gòu)型B 獲得阻尼材料單胞微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 5 Topology optimization results of the damping material unit cell microstructure for initial configuration B

基于初始構(gòu)型C 的阻尼材料微結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型及剪切模量如圖6 所示.優(yōu)化規(guī)整后的等效剪切模量分別為1.03 MPa，2.05 MPa 和3.05 MPa，與期望的剪切模量相比，誤差控制在3%以?xún)?nèi)，仍可認(rèn)為達(dá)到了期望的剪切模量.優(yōu)化后阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)分別為0.388，0.604 和0.820，分別增加了7.78%，?3.20%，?1.2%.

圖6 基于初始構(gòu)型C 獲得阻尼材料單胞微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig. 6 Topology optimization results of the damping material unit cell microstructure for initial configuration C

分析上述優(yōu)化結(jié)果可以看出：在不同的初始構(gòu)型下，都可獲得具有期望剪切模量的阻尼材料微結(jié)構(gòu)，且材料用量（微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)）差別不大，但優(yōu)化構(gòu)型存在差異.本文采用相似度描述優(yōu)化構(gòu)型的差異性，定義為：不同初始構(gòu)型的優(yōu)化構(gòu)型與參考構(gòu)型的單元重合數(shù)量之比[20].以初始構(gòu)型A 對(duì)應(yīng)的優(yōu)化構(gòu)型（如圖3 所示）為

參考構(gòu)型，可獲得初始構(gòu)型B 下3 個(gè)優(yōu)化構(gòu)型的相似度分別為0.162，0.475 和0.794；初始構(gòu)型C 下3 個(gè)優(yōu)化構(gòu)型的相似度分別為0.830，0.917 和0.968.因此，可以認(rèn)為以初始構(gòu)型B 獲得的優(yōu)化構(gòu)型與初始構(gòu)型A 差異大；以初始構(gòu)型C 獲得的優(yōu)化構(gòu)型與初始構(gòu)型A 相似度高.

3.2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)網(wǎng)格密度的依賴(lài)性

討論了阻尼材料單胞的網(wǎng)格密度對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響.以初始構(gòu)型A 為例，修改阻尼材料單胞網(wǎng)格密度分別為15 × 15 × 15，25 × 25 × 25 和30 × 30 × 30，對(duì)應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果如圖7～9 所示.

圖7 單胞初始構(gòu)型A 優(yōu)化結(jié)果(15 × 15 × 15)Fig. 7 Topology optimization results of initial configuration A (15 × 15 × 15)

通過(guò)對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)：①不同的網(wǎng)格密度下獲得的阻尼材料單胞等效剪切模量與期望剪切模量的誤差都在3%以?xún)?nèi)；②與逆用H-S 界限理論得到的阻尼材料理想體積分?jǐn)?shù)相比，在期望剪切模量較小時(shí)（1 MPa），不同的網(wǎng)格密度下阻尼材料體積分?jǐn)?shù)略微增加，其余兩種期望剪切模量下的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)則變化很??；③不同的網(wǎng)格密度下，相對(duì)于阻尼材料的微結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型具有相似的的材料分布特征，且隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，微結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型越光滑.

3.3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)材料彈性模量的依賴(lài)性分析

基于初始構(gòu)型A，阻尼材料微結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格密度為20 × 20 × 20，每個(gè)微觀(guān)單元的尺寸為0.05 mm × 0.05 mm ×0.05 mm .阻尼材料的Poisson 比和損耗因子分別為0.48 和0.5，阻尼材料的彈性模量分別選取10 MPa 和15 MPa.

阻尼材料的彈性模量為10 MPa 時(shí)，由式（18）可得對(duì)應(yīng)于3 個(gè)期望剪切模量的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)約束值分別為0.417，0.712 和0.931.優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型及等效剪切模量如圖10 所示.對(duì)應(yīng)的等效剪切模量分別為1.01 MPa，2.03 MPa 和3.01 MPa，可以認(rèn)為達(dá)到了期望的剪切模量；優(yōu)化后阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)分別為0.436，0.701 和0.929，與逆用H-S 界限理論得到的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)限相比，分別增加了4.36%，?1.57%，?0.22%.

圖9 單胞初始構(gòu)型A 優(yōu)化結(jié)果(30 × 30 × 30)Fig. 9 Topology optimization results of initial configuration A (30 × 30 × 30)

圖10 基于初始構(gòu)型A 的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果(Ev=10 MPa)Fig. 10 Topology optimization results of initial configuration A (Ev=10 MPa)

阻尼材料的彈性模量為15 MPa 時(shí)，對(duì)應(yīng)于3 個(gè)期望剪切模量的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)約束值分別為0.295，0.526 和0.712.優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)構(gòu)型及等效剪切模量如圖11 所示.對(duì)應(yīng)的等效剪切模量分別為1.02 MPa，2.04 MPa 和3.03 MPa，與期望的剪切模量相比，誤差控制在2%以?xún)?nèi)，仍可認(rèn)為達(dá)到了期望的剪切模量；優(yōu)化后阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)分別為0.333，0.531 和0.699，與逆用H-S 界限理論得到的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)限相比，分別增加了11.41%，?0.94%，?1.86%.

對(duì)比不同彈性模量下阻尼材料的優(yōu)化結(jié)果，可以看出：阻尼材料的彈性模量變化時(shí)，仍可獲得具有期望剪切模量的微結(jié)構(gòu)；當(dāng)期望的剪切模量相同時(shí)，阻尼材料彈性模量越大，優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)越小.

4 結(jié) 論

本文以最小材料用量獲得期望阻尼材料特性為目標(biāo)，提出了基于變體積約束的阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法.以獲得阻尼材料的期望剪切模量為目標(biāo)，逆用H-S 界限理論估計(jì)對(duì)應(yīng)于期望等效剪切模量的材料體積分?jǐn)?shù)限，并提出體積分?jǐn)?shù)約束限的移動(dòng)準(zhǔn)則，將阻尼材料微結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料體積約束下的阻尼材料剪切模量最大化拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.通過(guò)數(shù)值算例，得出了以下結(jié)論：

1) 該方法可以很好地實(shí)現(xiàn)在最小材料用量下獲得具有期望性能的阻尼材料微結(jié)構(gòu)；

2) 優(yōu)化后阻尼材料微結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型受初始構(gòu)型的影響較大，但基于不同初始構(gòu)型優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)差別不大；

3) 優(yōu)化后阻尼材料微結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型和體積分?jǐn)?shù)對(duì)阻尼材料單胞網(wǎng)格密度的依賴(lài)性很小，且優(yōu)化后的拓?fù)錁?gòu)型隨著網(wǎng)格密度的增加而變得光滑；

4）優(yōu)化后阻尼材料微結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型對(duì)彈性模量的依賴(lài)性較小，阻尼材料彈性模量越大，優(yōu)化后的阻尼材料微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)越小.

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