丁潔瑩， 薛 峰， 茍曉凡

（河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100）

（我刊編委茍曉凡來稿）

引 言

超導(dǎo)薄膜是一種采用化學(xué)涂層制備而成的多層薄膜結(jié)構(gòu)，因其具有極佳的低溫高場電性能，廣泛應(yīng)用于電力、交通、醫(yī)療等各個領(lǐng)域.對于超導(dǎo)薄膜結(jié)構(gòu)，通常超導(dǎo)層與基底結(jié)合界面較為脆弱[1-2].這種超導(dǎo)薄膜界面強(qiáng)度不僅關(guān)乎超導(dǎo)薄膜結(jié)構(gòu)的破壞與完整性，更為重要的是，與導(dǎo)電能力密切關(guān)聯(lián).為此，針對超導(dǎo)薄膜界面裂紋破壞及其影響規(guī)律的研究非常必要.截至目前，已有不少針對薄膜基底結(jié)構(gòu)的界面裂紋問題的研究[3-4].Hutchinson 等[5-6]通過理論推導(dǎo)，提出了穩(wěn)態(tài)開裂下雙層膜的界面裂紋計算模型，可用于分析裂紋尖端處的應(yīng)力分布.由于解析方法的局限性，以有限單元法和邊界元法為代表的數(shù)值解法紛紛涌現(xiàn)[7-8].Ma 和Su 等[9]使用拓展有限元法（X-FEM），解決了靜態(tài)雙材料界面斷裂問題；Gu 等[10]提出了基于邊界元法的新型裂紋尖端單元，可用于分析復(fù)合材料的界面裂紋.以上方法為分析超導(dǎo)薄膜界面處斷裂性能提供了幫助.

超導(dǎo)薄膜受到的電磁力是導(dǎo)致其界面發(fā)生裂紋破壞的重要因素.Gruss 等[11]觀察到外加磁場變化和溫度變化都會對薄膜內(nèi)電磁場產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響超導(dǎo)薄膜所受的電磁力.Zeldov 等[12]對無限長的Ⅱ型超導(dǎo)薄膜的臨界狀態(tài)進(jìn)行了理論分析，指出磁通穿透區(qū)域內(nèi)電流密度的幅值等于臨界電流密度jc.Brandt 和Indenbom等[13]給出了在外部磁場垂直作用下，Ⅱ型超導(dǎo)薄膜在臨界狀態(tài)下的電流密度和總磁場分布.然而，上述方法的臨界電流密度都是恒定的，McDonald 等[14]在臨界電流密度Jc(B) 任意給定的前提下，分析了無限長Ⅱ型超導(dǎo)薄膜的電磁場.此外，磁通釘扎效應(yīng)引起磁致伸縮對不同形狀的Ⅱ型超導(dǎo)體的應(yīng)力、應(yīng)變的影響不容忽視[15-16]，Zhao 等[17]考慮了在磁通釘扎效應(yīng)影響下，通量流動速度對超導(dǎo)薄膜的磁化強(qiáng)度和應(yīng)力的影響.結(jié)合以上方法，考慮磁通釘扎效應(yīng)的影響，可以更為合理地描述超導(dǎo)薄膜受到的電磁力.

為此，針對超導(dǎo)薄膜，在外磁場作用下，引入了超導(dǎo)磁通釘扎效應(yīng)所引起的黏性通量流動對于薄膜結(jié)構(gòu)電磁力的影響，并優(yōu)化了電磁力計算方法，深入研究了磁通流動速度對薄膜基底結(jié)構(gòu)界面裂紋的影響.

1 計算模型與公式

1.1 計算模型

如圖1(a)所示，長L、寬2a的超導(dǎo)薄膜(1#)被沉積在基底(2#)上，厚度分別為h1和h2，且滿足h1?h2.超導(dǎo)薄膜和基底之間的界面與y軸重合，在界面上存在初始裂紋.問題滿足以下假設(shè)：超導(dǎo)薄膜和基底都是各向同性和線彈性的；初始裂紋長度為超導(dǎo)膜厚度的數(shù)倍，初始裂紋尺寸不影響裂紋開裂；2a?L，問題滿足平面應(yīng)力條件.

在垂直于超導(dǎo)薄膜、平行于z軸方向施加密度為Ba的外加磁場，圖1(b)為超導(dǎo)薄膜內(nèi)電磁力分布的示意圖，在臨界狀態(tài)下，磁通Bz垂直于xOy平面穿透超導(dǎo)薄膜，使得超導(dǎo)薄膜內(nèi)產(chǎn)生密度為jc的矩形環(huán)狀電流，同一個電流環(huán)上的任意點(diǎn)到外部邊界的距離相等[15].屏蔽區(qū)對應(yīng)薄膜內(nèi)磁場強(qiáng)度為零的區(qū)域，圖中 2b對應(yīng)屏蔽區(qū)的寬度， 2b?為薄膜內(nèi)電磁分布的另一個間斷點(diǎn)，滿足a>b?>b.由于電流回路的特性，可以將薄膜劃分成四個區(qū)域.為了便于描述薄膜內(nèi)的電磁場分布，選取橫截面A，截面A 滿足y=L/2 且平行于xOz平面.

圖1 計算模型示意圖: (a) 超導(dǎo)薄膜/基底結(jié)構(gòu)界面裂紋問題；(b) 電磁力分布Fig. 1 The schematic drawing for calculation: (a) interface crack between superconducting thin film and substrate; (b) electromagnetic force distribution

1.2 電磁場公式

場冷和零場冷是使得Ⅱ型超導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生俘獲磁場的兩種常用方法.場冷指的是超導(dǎo)體在一個固定的外加磁場中冷卻，最后撤去外加磁場的過程；零場冷指的是先冷卻然后再施加外加磁場，最后撤去外加磁場的過程.這兩種方法在超導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的俘獲磁場分布不同，與路徑有關(guān)[18].本文研究零場冷的磁化過程.

當(dāng)外加磁場和臨界電流給定時，可由上式解出屏蔽區(qū)域尺寸b.

根據(jù)式(2)，可將式(1)與式(3)結(jié)合，得到考慮通量流動速度的屏蔽區(qū)尺寸的表達(dá)式為

超導(dǎo)膜內(nèi)的電流密度分布和磁通密度分布如下[14]：

1） 磁場上升階段

超導(dǎo)膜內(nèi)的電流密度和磁通密度分布明確后，磁化過程的電磁體力可以通過f=j×B得到.由于垂直于yOz平面的力fx對沿y軸的裂紋幾乎沒有影響，因此我們只考慮fy：

1.3 斷裂公式

需要說明的是，如圖2 所示，如果裂紋在界面中間且關(guān)于中軸對稱，則可以將問題簡化為圖1(a)的簡化計算模型[6]，此時斷裂公式(11) ～ (17)依舊可用，注意需要滿足前面部分所作的假設(shè)：h1?h2,2a?L且初始裂紋長度為薄膜厚度的數(shù)倍.

圖2 薄膜與基底結(jié)構(gòu)界面中心處裂紋計算模型示意圖Fig. 2 The calculation model of a crack at the center of the interface between the thin film and the substrate

2 結(jié)果與討論

2.1 磁場上升階段薄膜內(nèi)電磁場分布

當(dāng)外加磁場Ba/Bp=2時，截面A 的電流密度和磁通密度分布分別如圖3、圖4 所示，為了清楚地反映變化趨勢，選定磁通流動速度v0/a=0 s?1, 0.5 s?1,3 s?1.由圖3 可知，隨著磁通流動速度的增大，膜內(nèi)電流密度的最大值將會增大，并且電流密度分布的變化速率加快，這意味著維持膜內(nèi)最大電流密度的能力變?nèi)?從圖4 可以看出，隨著磁通流動速度的增大，磁通密度的極值隨之增大.此外，注意到圖4 薄膜內(nèi)磁通密度為零對應(yīng)的x軸范圍為屏蔽區(qū)的尺寸，即圖1(b)中所示的2b，較大的磁通流動速度將會導(dǎo)致較大的屏蔽區(qū)尺寸.

圖3 截面A 的電流密度分布 (磁場上升階段)Fig. 3 The current density distribution in cross-section A (the increasing field)

圖4 截面A 的磁通密度分布 (磁場上升階段)Fig. 4 The flux density distribution in cross-section A (the increasing field)

進(jìn)一步可以得到，當(dāng)磁通流動速度增大時，非零的電磁力將會向膜邊緣集中，且電磁力最大值將增大.

2.2 磁場上升階段裂尖應(yīng)力場

圖5 和圖6 分別給出了Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子與外加磁場的關(guān)系.Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子表示裂紋尖端處法向正應(yīng)力的強(qiáng)度，Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子則表示裂紋尖端處切應(yīng)力的強(qiáng)度.圖5 和圖6 表明，隨著外加磁場逐漸增大，裂紋尖端處的正應(yīng)力和切應(yīng)力均增大.在外加磁場不變的情況下，磁通流動速度越大，裂紋尖端處正應(yīng)力和切應(yīng)力越大，且切應(yīng)力的增量相對于正應(yīng)力更大一些.此外，較大的磁通流動速度將會導(dǎo)致裂尖應(yīng)力場的變化速率加快.

圖5 Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KI/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場上升階段)Fig. 5 The relationship between mode Ⅰ stress intensity factor KI/K0 and the magnetic field (the increasing field)

圖6 Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場上升階段)Fig. 6 The relationship between mode Ⅱ stress intensity factor KⅡ/K0 and the magnetic field (the increasing field)

通過以上分析可以得到，磁通流動速度和裂紋尖端處的應(yīng)力是正相關(guān)的，且磁通流速變化對切應(yīng)力的影響更大.

2.3 磁場下降階段薄膜內(nèi)電磁場分布

當(dāng)Ba/Bp=1.5時，截面A 的電流密度和磁通密度分布分別如圖7、圖8 所示.如圖7 所示，電流密度分布關(guān)于零點(diǎn)反對稱，在x軸正方向，電流密度從零點(diǎn)開始先增大至極大值，后減小至極小值隨后保持恒定，兩個極值對應(yīng)的x軸坐標(biāo)分別是b和b?.圖7 表明，磁通流動速度的增大將會導(dǎo)致膜內(nèi)電流密度的最大值增大，電流密度分布的變化速率也將提高，同時電流密度的分布將會更加靠近薄膜邊緣.如圖8 所示，磁通密度分布關(guān)于截面A 的中軸對稱，與電流密度分布一致，磁通密度分布也存在兩個分段點(diǎn).圖8 表明，磁通密度峰值的大小會隨著磁通流動速度的增大而增大.此外，磁通流動速度的增大會導(dǎo)致磁通密度分布更加接近薄膜邊緣.

圖7 截面A 的電流密度分布 (磁場下降階段)Fig. 7 The current density distribution in cross-section A(the decreasing field)

圖8 截面A 的磁通密度分布 (磁場下降階段)Fig. 8 The flux density distribution in cross-section A(the decreasing field)

將上述內(nèi)容與磁場上升階段的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對比，可以得出：超導(dǎo)薄膜在外加磁場的作用下，磁通流動速度越大，膜內(nèi)屏蔽區(qū)尺寸就越大，同時薄膜內(nèi)電流密度的極值和變化速率也將增大，磁通密度分布同理.相對于磁場上升階段，上述變化在磁場下降階段更為明顯.

2.4 磁場下降階段裂尖應(yīng)力場

Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子和Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子與外加磁場的關(guān)系分別如圖9、圖10 所示.由于裂紋面正向壓應(yīng)力對裂紋張拉破壞沒有影響，也就是說KI/K0取負(fù)值沒有意義，因此將負(fù)的KI/K0取為零.由圖9 和圖10 可知，磁通流動速度的增大，會導(dǎo)致裂紋尖端的應(yīng)力(正應(yīng)力和切應(yīng)力)增大，以及應(yīng)力場的變化速率加快.需要注意：大約在外加磁場Ba/Bp<1 的區(qū)域內(nèi)，裂紋尖端正應(yīng)力為零，切應(yīng)力為負(fù)，磁通流動速度的增大將會減小出現(xiàn)這一現(xiàn)象的Ba/Bp的范圍.結(jié)合式(10)、(15)可以得到，裂紋尖端應(yīng)力為負(fù)值是由于此時作用在裂紋邊緣處的合力 σu為負(fù)值造成的，這對應(yīng)了超導(dǎo)薄膜兩端受拉的情況.

圖9 Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KI/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場下降階段)Fig. 9 The relationship between mode Ⅰ stress intensity factor KI/K0 and the magnetic field (the decreasing field)

圖10 Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅡ/K0 與外加磁場的關(guān)系(磁場下降階段)Fig. 10 The relationship between mode Ⅱ stress intensity factor KⅡ/K0 and the magnetic field (the decreasing field)

將上述內(nèi)容與磁場上升階段的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對比，可以得出：隨著磁通流動速度的增大，裂紋尖端場的應(yīng)力(正應(yīng)力和切應(yīng)力)將會增大，且變化速率加快.特別是在磁場下降階段中，當(dāng)外加磁場的取值為靠近零點(diǎn)的一個小范圍時，會出現(xiàn)裂紋尖端處拉應(yīng)力為零且剪應(yīng)力為負(fù)值的現(xiàn)象，磁通流動速度的增大將減小這個范圍.

2.5 能量釋放率

圖11 展示了不同的磁通流動速度下，能量釋放率G與外加磁場強(qiáng)度Ba的關(guān)系，用不帶標(biāo)記的線和帶標(biāo)記的線分別表示磁場上升階段和磁場下降階段.從圖11(a)可以看出，磁場上升和下降階段都在Ba=Bm時達(dá)到G的最大值.相同外部條件下，磁通流動速度越大會導(dǎo)致能量釋放率越大，這意味著裂紋開裂的風(fēng)險增大.大多數(shù)時候磁場上升階段的能量釋放率都大于磁場下降階段，這意味著最大開裂概率發(fā)生在磁場上升階段.如圖11(b)所示，在Ba接近于零點(diǎn)的一個較小范圍內(nèi)，磁場下降階段中的能量釋放率大于上升階段.需要注意到，在磁場下降階段中，隨著外加磁場的增加，能量釋放率有一個先上升至峰值后減小至0 最后繼續(xù)上升的山形走勢，通過增大磁通流動速度，將會使得出現(xiàn)上述山形曲線對應(yīng)的Ba的范圍減小.

圖11 磁場上升階段和磁場下降階段能量釋放率與外加磁場的關(guān)系：（a） Ba≤2.0Bp；（b） Ba≤1.2Bp, G/G0≤0.04Fig. 11 The relationship between the energy release rate and the external magnetic field in increasing and decreasing fields:（a） Ba≤2.0Bp; （b） Ba≤1.2Bp, G/G0≤0.04

我們得出，在磁場上升階段和磁場下降階段中，能量釋放率均在Ba=Bm處均達(dá)到最大值.相同條件下，磁通流動速度越大，裂紋開裂的風(fēng)險就越大，此外，最大開裂概率發(fā)生在磁場上升階段.

3 結(jié) 論

為了分析超導(dǎo)薄膜與厚基底在外部磁場作用下的界面裂紋問題，本文基于磁通量子穿透薄膜理論和線彈性斷裂理論，建立了研究超導(dǎo)層與基底界面裂紋問題的解析模型，對外加磁場作用下磁通流動速度對裂紋尖端應(yīng)力場和能量釋放率的影響進(jìn)行了分析.所得結(jié)果表明：超導(dǎo)薄膜在外加磁場的作用下，磁通流動速度越大，裂紋尖端處的應(yīng)力越大，能量釋放率也越大，這意味著裂紋開裂的風(fēng)險越大.本解析模型有助于分析磁通流動效應(yīng)對薄膜基底結(jié)構(gòu)界面斷裂行為的影響，但與超導(dǎo)薄膜的實(shí)際應(yīng)用情況相比仍有差距，例如做出了線彈性假設(shè)以及忽略了熱應(yīng)力的影響，因此，今后仍需針對更為復(fù)雜的情況進(jìn)行研究.

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