李志娜

由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題在數(shù)列中比較常見(jiàn)，此類問(wèn)題的難度一般不大，但題型多變，需根據(jù)遞推式的形式、特點(diǎn)，采用不同的方法進(jìn)行求解.本文重點(diǎn)探討一下三類遞推式以及求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法.

一、a=pa+q型

對(duì)于形如a=pa+q（p、q為非零常數(shù)）的遞推式，當(dāng)p=1時(shí)，數(shù)列{a}是等差數(shù)列，可直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解;當(dāng)p≠1時(shí)，需設(shè)a+t=p（a+t），將其與a=pa+q中a的系數(shù)、常數(shù)進(jìn)行對(duì)比，求得t的值，以便構(gòu)造出等比數(shù)列{a+t}，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得{a}的通項(xiàng)公式.

例1.已知在數(shù)列{a}中，a=1，a=2a+3，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)a+t=2（a+t），

則a=2a+t，

由a=2a+3可得t=3，

故數(shù)列{a+3}是首項(xiàng)為a+3=4，公比為2的等比數(shù)列，

所以a+3=4·2，

因此數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為a=2-3.

引入?yún)?shù)t，便可構(gòu)造出首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.解答本題，關(guān)鍵是根據(jù)遞推式的特點(diǎn)設(shè)出新的關(guān)系式，據(jù)此構(gòu)造出等比數(shù)列.

二、a=pa′型

當(dāng)遇到形如a=pa′（p>0，且p、r為非零常數(shù)）的遞推式時(shí)，可在遞推式a=pa′的左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到lga=rlga+lgp.當(dāng)r=1時(shí)，{1ga}是公差為lgp的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;當(dāng)r≠1且p=1時(shí)，{lga}是公比為r的等比數(shù)列，可根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解題.當(dāng)r≠1且p≠1時(shí)，需將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a=pa+q（p、q為非零常數(shù)）型數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題進(jìn)行求解.

例2.已知數(shù)列{a}中，a=2，a=a，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式.

解：由題意可知a>0，

在a=a的左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得lga=1ga，

∴l(xiāng)ga=3lga，

∴數(shù)列{lga}是首項(xiàng)為lga=lg2、公比為3的等比數(shù)列，

∴l(xiāng)ga=3lg2=lg2，

∴{a}的通項(xiàng)公式為a2.

本題中的遞推式為。a=pa′型，且r≠l，于是在遞推式的左右兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到lga=3lna，構(gòu)造出等比數(shù)列{lga}，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式就能求得{a}的通項(xiàng)公式.

解答本題的關(guān)鍵是在遞推式的左右兩邊同時(shí)取倒數(shù)，構(gòu)造出等差數(shù)列.此類遞推式的特點(diǎn)是：（1）遞推式為分式;（2）分子、分母中同時(shí)含有a或a.

由此可見(jiàn)，由復(fù)雜的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可通過(guò)引入待定系數(shù)、取對(duì)數(shù)、取倒數(shù)等方式，將遞推式進(jìn)行變形，以便構(gòu)造出等差數(shù)列或等比數(shù)列，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的等差、等比數(shù)列問(wèn)題來(lái)求解.