王 鵬, 孫志禮, 吳 楠, 駱海濤

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 沈陽 110819; 2. 曼尼托巴大學 工程系, 加拿大 溫尼伯 R3T2N2; 3. 中國科學院 沈陽自動化研究所, 遼寧 沈陽 110016)

大多數(shù)具有滑動表面的機械系統(tǒng),如制動系統(tǒng)、離合器、位置控制系統(tǒng)等,都會發(fā)生摩擦誘發(fā)振動.近年來,摩擦作用下的結(jié)構(gòu)振動特性,包括動靜摩擦的轉(zhuǎn)換[1-2]、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[3]、摩擦下的能量采集[4-6]和主動振動控制[7]受到了研究者的關(guān)注.

執(zhí)行器是近年來在工程上廣泛應(yīng)用的一種機構(gòu),根據(jù)驅(qū)動原理,精密執(zhí)行器的類型包括電致伸縮、磁致伸縮、人工肌肉執(zhí)行器、形狀記憶合金、光致伸縮和機械力化學執(zhí)行器[8].執(zhí)行器有以下幾個優(yōu)點[9]:可以產(chǎn)生非常精細的位移,通常在納米范圍內(nèi);具有快速的頻率響應(yīng),能夠以非常高的頻率工作;具有較大的剛度;壓電驅(qū)動在接合時消耗的功率非常小.基于以上優(yōu)點,執(zhí)行器的主要應(yīng)用之一是和壓電材料一起用作主動振動控制.其中摩擦力作用下壓電執(zhí)行器的主動控制具有重要意義[7,10-11].振動特性分析是壓電應(yīng)用的前提,摩擦工況下的靜態(tài)和振動控制都需要了解壓電摩擦誘發(fā)振動的響應(yīng),從而提供所需要的振動控制信號.摩擦力是一種實時變化的動態(tài)力,所以很難得到摩擦力作用下的結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的解析解.據(jù)作者所知,還沒有對摩擦力作用下的壓電執(zhí)行器的振動特性和參數(shù)分析的研究.

鑒于以上分析,本文采用迭代法計算和分析壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動特性.研究了參數(shù)變化對摩擦力和振動特性的影響.引入彈性雙線性和三線性,研究參數(shù)變化對于摩擦力作用下的雙線性壓電執(zhí)行器[12-15]的振動特性和摩擦力的影響并比較了單線性、雙線性和三線性[16]壓電執(zhí)行器的摩擦力和振動特性.

1 數(shù)學建模

摩擦力作用下的壓電執(zhí)行器模型如圖1所示.左右兩邊的柔性鉸鏈剛度為kq(左右相等)并和中間的壓電堆相連,kq=E/lA,E為柔性鉸鏈的彈性模量,l為圖中柔性鉸鏈的長度,A為柔性鉸鏈的橫截面積.柔性鉸鏈和3方向的角度為α(α′),kp3為壓電堆的3方向剛度.壓電堆和下面的壓電堆底座相連,壓電堆底座可以沿著1方向自由滑動.壓電堆底座、壓電堆和柔性鉸鏈的等效質(zhì)量為m.上面的剛性板和壓電堆接觸并以速度v向右(正方向)勻速運動,正壓力FN作用在板上.假設(shè)振動過程中壓電堆只有縱向變形,柔性鉸鏈的變形會造成壓電堆的橫向位移和縱向變形且橫向位移和α(α′)的變化很小.那么壓電執(zhí)行器的等效剛度為

圖1 摩擦力作用下的壓電執(zhí)行器模型Fig.1 Piezoelectric actuator model under friction force(a)—主視圖； (b)—俯視圖.

k=k1+k2.

(1)

式中:k1和k2為壓電堆左右兩邊柔性鉸鏈的等效剛度,k1=8kq(sinα)2(kp3)2/(2kp3+kq-kq(sinα)2)2,k2=8kq(sinα′)2(kp3)2/(2kp3+kq-kq(sinα′)2)2.

壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動方程為

(2)

式中:c為阻尼系數(shù),c=2mωξ,ξ是阻尼比,ω是固有頻率;f(t)為板作用在壓電堆上的摩擦力;x(t)為壓電堆在摩擦力作用下的振動響應(yīng).

本文采用迭代法來計算摩擦力作用下壓電堆的振動響應(yīng).迭代法的前提是假設(shè)時間為0 s時系統(tǒng)的初始狀態(tài)是已知的.迭代步長為Δt=tn+1-tn, 1≤n<∞,下標n表示迭代步數(shù).在時間t1=0 s時的初始條件為

(3)

式中x1(t1)是壓電堆的初始位移.

時間為t1-t2時,壓電堆和剛性板之間處于黏著狀態(tài),壓電堆隨著板一起向右勻速運動.壓電堆時間為t1-t2時的振動響應(yīng)為

x1(t)=v·t,t1≤t≤t2.

(4)

作用在壓電堆上的黏著摩擦力為

f1(t)=x1(t)·k,t1≤t≤t2.

(5)

式中摩擦力和兩個柔性鉸鏈彈力合力的大小相等、方向相反.

時間為t2-t3時,如果柔性鉸鏈的彈力滿足|x1(t2)·k|≤FN·μS,μS是靜摩擦系數(shù).壓電堆和板之間仍然處于黏著狀態(tài),壓電堆的振動響應(yīng)為

x2(t)=v·(t-t2)+x1(t2),t2≤t≤t3.

(6)

作用在壓電堆上的黏著摩擦力為

f2(t)=x2(t)·k,t2≤t≤t3.

(7)

如果柔性鉸鏈的彈力滿足|x1(t2)·k|>FN·μS,壓電堆和板之間為滑動狀態(tài),假設(shè)短時間內(nèi)壓電堆的速度沒有變化,作用在壓電堆上的滑動摩擦力為[17]

(8)

(9)

e-ξωt2(A2cosωdt2+B2sinωdt2)=x1(t2) ,

(10)

(11)

通過以上兩式可以得到A2和B2:

(12)

(13)

在時間為tn-tn+1時,壓電堆的振動響應(yīng)和所受摩擦力計算如下:

xn(t)=v(t-tn)+xn-1(tn),tn≤t≤tn+1.

(14)

作用在壓電堆上的黏著摩擦力為

fn(t)=xn(t)·k,tn≤t≤tn+1.

(15)

tn≤t≤tn+1.

(16)

壓電堆的振動響應(yīng)為

xn(t)=xfreen(t)+xforcen(t)=

e-ξωt[(Ancosωdt+Bnsinωdt)+

τ))dτ],tn≤t≤tn+1.

(17)

(18)

(19)

壓電堆和板之間為黏著時,如果|k·xn-1(tn)|≤FN·μS,壓電堆和板之間處于黏著狀態(tài).壓電堆的振動響應(yīng)和所受黏著摩擦力可由式(14)和(15)計算.

如果|k·xn-1(tn)|>FN·μS,壓電堆和板之間處于滑動狀態(tài).作用在壓電堆上的滑動摩擦力為

(20)

壓電堆的振動響應(yīng)為

xn(t)=xfreen(t)+xforcen(t)=

e-ξωt[(Ancosωdt+Bnsinωdt)+

τ))dτ],tn≤t≤tn+1.

(21)

式中An和Bn可以由式(18)和(19)求解.

多線性指的是菱形結(jié)構(gòu)(柔性鉸鏈)的等效結(jié)構(gòu)剛度在柔性鉸鏈的變形達到一定數(shù)值時發(fā)生改變.文中使用了多線性模型簡化和模擬這種剛度的連續(xù)變化,一次改變就是雙線性,發(fā)生兩次改變就是三線性,x′和x″是雙線性和三線性發(fā)生變化時對應(yīng)的菱形結(jié)構(gòu)的變形量.在本文中認為α在振動過程中只有在角度變化量達到一定范圍時才會發(fā)生變化，進而使等效剛度發(fā)生變化,范圍由柔性鉸鏈的材料屬性決定,本文只研究等效剛度多線性下的壓電執(zhí)行器的振動響應(yīng)和參數(shù)分析,不討論具體的材料屬性.雙線性壓電執(zhí)行器是指當壓電堆的位移x(t)大于x′時等效剛度變?yōu)閗′.當x(t)>x′時,壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動方程為

(22)

同理,三線性壓電執(zhí)行器在壓電堆的位移大于x′ 時等效剛度變?yōu)閗′,位移大于x″ 時等效剛度變?yōu)閗″.當x(t)>x″ 時,壓電執(zhí)行器在摩擦力作用下的振動方程為

k″(x(t)-x″)=f(t) .

(23)

雙線性和三線性壓電執(zhí)行器對應(yīng)的是不同的系統(tǒng),它們在摩擦力作用下的振動響應(yīng)求解過程與單線性壓電執(zhí)行器相同,本文所提的迭代方法可以用來求解摩擦力作用下多線性壓電執(zhí)行器的振動響應(yīng).

2 參數(shù)分析

研究不同的參數(shù)對已知壓電執(zhí)行器(k和m不變)振動特性的影響,對其中一項參數(shù)進行分析時其他參數(shù)保持不變.時間長度為0.05 s,時間間隔為10-6s,ξ=0.001.FN和v對摩擦力的影響如圖2所示,圖3顯示了FN和v對壓電堆振動特性的影響.FN的變化范圍是500～900 N,v的變化范圍是0.01～0.05 m/s,k=0.8×106N/m,μS=0.5,μD=0.3,C=6,m=2 kg.

從圖2可以看出，正壓力FN越大,最大靜摩擦力越大.板的運動速度v越大,板和壓電堆之間從黏著轉(zhuǎn)到滑動摩擦的時間越短,滑動摩擦力的最小值越小.

圖2 FN,v對摩擦力的影響Fig.2 Influence of FN,v on friction force(a)—v=0.03 m/s； (b)—FN=700 N.

從圖3中可以看出,壓電堆的振幅隨著正壓力FN和板運動速度v的增加而增大.從具體數(shù)據(jù)可知,在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),當v=0.01 m/s時振幅隨著FN的增加幅度是最大的,當FN增加為原來的1.8倍時振幅增加到1.84倍.當FN=500 N 時振幅隨著v的增加幅度是最大的,速度增加為原來的5倍時振幅增加到原來的4.17倍.其中位移和速度曲線和文獻[17]中的試驗結(jié)果(文獻中圖6)相比雖然參數(shù)不同導致數(shù)值上有所差異,但是位移和速度都具有相同的趨勢,可以驗證本文數(shù)學模型的正確性.μS,μD和C對壓電堆振幅的影響如表1所示.μS,μD和C對摩擦力的影響如圖4所示,其中FN=700 N,v=0.03 m/s,k=0.8×106N/m,m=2 kg.

圖3 FN,v對振動特性(振幅)的影響Fig.3 Influence of FN,v on vibration characteristics(amplitude)

從表1可知在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),壓電堆振幅隨著μS的增加而變大,μS增加為原來的2.3倍時振幅增加到9.77倍.壓電堆振幅隨著μD的增加而減少,μD增加為原來的5倍時振幅減少到0.23倍,壓電堆振幅隨著C的增加而變大,C增加為原來的5倍時振幅增加到2.3倍.

表1 μS,μD和C對振幅的影響Table 1 Influence of μS,μD and C on amplitude

從圖4可以看出μS主要影響最大靜摩擦力的大小,μS越大,最大靜摩擦力越大.μD主要影響滑動摩擦力的大小,μD越大,滑動摩擦力越大.

圖4 μS,μD和C對于摩擦力的影響Fig.4 Influence of μS,μD and C on friction force(a)—μS對摩擦力的影響(μD=0.5,C=6)； (b)—μD對摩擦力的影響(μD=0.6,C=6)； (c)—C對摩擦力的影響(μS=0.5,μD=0.3).

C主要影響?zhàn)ぶ突瑒幽Σ翣顟B(tài)之間的轉(zhuǎn)換速度,C越大,摩擦力從最大黏著摩擦力轉(zhuǎn)到相同數(shù)值的滑動摩擦力的時間越短,從滑動轉(zhuǎn)到黏著狀態(tài)對應(yīng)的時間點越小.

阻尼比對振幅、頻率和摩擦力的影響如圖5所示.其中最小黏著摩擦力是指壓電堆和板之間第一次從滑動轉(zhuǎn)為黏著狀態(tài)時作用在壓電堆上的黏著摩擦力的最小值.阻尼比的取值范圍為0.000 1 ～0.01,k=0.8×106N/m,μS=0.5,μD=0.3,C=6,m=2 kg,FN=700 N,v=0.03 m/s.

從圖5可以看出,在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),隨著阻尼比的增加,壓電堆的振幅逐漸減小,最小黏著摩擦力和最小滑動摩擦力隨著阻尼比的增加而變大.

圖5 阻尼比對振幅和摩擦力的影響Fig.5 Influence of damping ratio on amplitude and friction force

經(jīng)過計算,在所研究的參數(shù)中μS和μD對頻率的影響程度最大,結(jié)果如圖6所示.其他參數(shù)k=0.8×106N/m,C=6,m=2 kg,FN=700 N,v=0.03 m/s.

從圖6可以看出在所研究的參數(shù)范圍內(nèi),頻率隨著μD的增加而增加,隨著μS的增加而減少.

圖6 μS和μD和對于工作基頻的影響Fig.6 Influence of μS and μD on frequency

在之前研究的基礎(chǔ)上,引入彈性雙線性,即當壓電堆的位移達到一定值(閾值)時,壓電執(zhí)行器的等效剛度k發(fā)生變化.線性壓電執(zhí)行器在參數(shù)為FN=700 N,μS=0.5,μD=0.3,C=6,v=0.03 m/s,k=0.8×106N/m,m=2 kg時壓電堆距離平衡位置的最大位移為4.8×10-4m.雙線性壓電執(zhí)行器的閾值由線性壓電執(zhí)行器位移(4.8×10-4)的20%變到80%,等效剛度k由0.8×106N/m跳躍到1.4×106N/m.經(jīng)過計算閾值變化對最小黏著摩擦力的影響比較大,結(jié)果如圖7所示,其中最小黏著摩擦力是指壓電堆和板之間第一次從滑動轉(zhuǎn)為黏著狀態(tài)時作用在壓電堆上的黏著摩擦力的最小值,對應(yīng)的時間點即為轉(zhuǎn)換時間.閾值對壓電堆振幅的影響如圖8所示.

圖7 閾值對滑動轉(zhuǎn)黏著后的最小黏著摩擦力和轉(zhuǎn)換時間的影響Fig.7 Influence of threshold on minimum stick friction force and transformation time after sliding to stick

圖8 閾值對振幅的影響Fig.8 Influence of threshold on amplitude

在閾值為4.8×10-4×50%m時,k的上限由0.8×106N/m 跳躍到 1.2×106N/m, 多線性等效剛度k的上限對最小滑動摩擦力影響比較大,結(jié)果如圖9所示.

從圖7和8可知當雙線性發(fā)生時,壓電堆的振幅、最小黏著摩擦力和對應(yīng)的轉(zhuǎn)換時間隨著閾值的增加而變大.從圖9可知壓電堆的振幅隨著等效剛度的增大而變大,最小滑動摩擦力隨著閾值的增加而減小.

圖9 等效剛度的上限對振幅和最小滑動摩擦力的影響Fig.9 Influence of upper limit of equivalent stiffness on amplitude and minimum sliding friction force

同理,在雙線性的基礎(chǔ)上引入彈性三線性,其中三線性壓電執(zhí)行器在閾值為4.8×10-4×30 %m時,k的上限由0.8×106N/m跳躍到1.0×106N/m.在閾值為4.8×10-4×60%m時,k的上限由1.0×106N/m跳躍到1.2×106N/m,其他參數(shù)FN=700 N,μS=0.5,μD=0.3,C=6,v=0.03 m/s,m=2 kg.單線性、雙線性和三線性壓電執(zhí)行器的壓電堆的振幅、最小滑動摩擦力和黏著摩擦力的比較結(jié)果如圖10和 11所示.

圖10 彈性多線性壓電執(zhí)行器的振幅比較Fig.10 Comparison of amplitude of elastic multilinear piezoelectric actuators

圖11 彈性多線性壓電執(zhí)行器的摩擦力比較Fig.11 Comparison of friction force of elastic multilinear piezoelectric actuators

從圖10和11可以看出,三線性壓電執(zhí)行器的壓電堆的振幅最小,單線性壓電執(zhí)行器的壓電堆的振幅最大，從單線性到三線性,最小滑動摩擦力和黏著摩擦力逐漸增大.

3 結(jié) 論

1) 提出了一種迭代摩擦模型來求解摩擦力作用下單/多線性壓電執(zhí)行器的振動響應(yīng)并通過和試驗結(jié)果比較驗證了模型的正確性.

2) 對于彈性單線性壓電執(zhí)行器,壓電堆的振幅隨著FN,v,μS和C的增加而增大,隨著μD的增加而減小.在所研究的幾個參數(shù)中,按照增加百分比,μS對振幅的影響最大,C對振幅的影響最小.FN和μS越大,最大靜摩擦力越大.v越大,板和壓電堆之間從黏著轉(zhuǎn)到滑動摩擦的時間越短,滑動摩擦力的最小值越小.μD越大,滑動摩擦力越大.C越大,摩擦力從最大黏著摩擦力轉(zhuǎn)到相同數(shù)值的滑動摩擦力的時間越短,從滑動轉(zhuǎn)到黏著狀態(tài)對應(yīng)的時間點越小.隨著阻尼比的增加,壓電堆的振幅逐漸減小.最小黏著和滑動摩擦力隨著阻尼比的增加而變大.

3) 對于彈性雙線性壓電執(zhí)行器,壓電堆的振幅、黏著摩擦力的最小值和對應(yīng)的轉(zhuǎn)換時間隨著閾值的增加而變大.壓電堆的振幅隨著等效剛度的增大而變大,滑動摩擦力的最小值隨著閾值的增加而減小.

4) 對于多線性壓電執(zhí)行器,壓電堆的振幅隨著壓電執(zhí)行器彈性線性數(shù)的增加而減小,最小滑動摩擦力和黏著摩擦力隨著彈性線性數(shù)的增加而變大.