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        ?

        零點(diǎn)存在性定理中的“取點(diǎn)”問題

        2022-07-08 00:53:38361000廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校陳志康
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
        關(guān)鍵詞:分析教學(xué)學(xué)生

        361000 廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校 陳志康

        361026 廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校 陳雨瑾

        在解決零點(diǎn)存在性問題時,常常需要結(jié)合圖形來分析,但由于學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過函數(shù)極限,無法分辨一些函數(shù)圖像在無窮遠(yuǎn)處或間斷點(diǎn)處的性態(tài)

        .

        如果想要嚴(yán)格說明零點(diǎn)的存在,只能借助零點(diǎn)存在性定理,即若

        f

        (

        x

        )在[

        a

        ,

        b

        ]上是一條連續(xù)不斷的曲線,并且有

        f

        (

        a

        f

        (

        b

        )<0,則存在

        c

        ∈(

        a

        ,

        b

        ),使得

        f

        (

        c

        )=0,適當(dāng)“取點(diǎn)”來說明函數(shù)值的正、負(fù)

        .

        在一些試卷公布的答案中,并沒有對如何“取點(diǎn)”進(jìn)行特別說明,很多學(xué)生不能明白其精髓所在

        .

        正確“取點(diǎn)”要求具備較高的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),以此為抓手提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力正合適不過,如果能解決這些問題,對學(xué)生今后學(xué)習(xí)“極限”這部分的內(nèi)容也會有所幫助

        .

        筆者闡述解決這些問題過程中獲得的感悟

        .

        例1

        (2017全國卷Ⅰ理-21) 已知函數(shù)

        f

        (

        x

        )=

        a

        e2+(

        a

        -2)e-

        x

        ,

        a

        R

        .

        (1)討論

        f

        (

        x

        )的單調(diào)性;(2)若

        f

        (

        x

        )有兩個零點(diǎn),求

        a

        的取值范圍

        .

        小問(1) 分析:

        可知

        f

        ′(

        x

        )=2

        a

        e2+(

        a

        -2)e-1,結(jié)合式子的結(jié)構(gòu)特征,因式分解為

        f

        ′(

        x

        )=(2e+1)(

        a

        e-1),接下來只需考慮

        a

        e-1的符號問題即可得到結(jié)果

        .

        小問(2) 解法1:

        由小問(1)可知,若

        f

        (

        x

        )有兩個零點(diǎn),則

        a

        >0,且

        f

        (

        x

        )在(-∞,-ln

        a

        )上單調(diào)遞減,在(-ln

        a

        ,+∞)上單調(diào)遞增,

        f

        (

        x

        )有兩個零點(diǎn)的必要條件是結(jié)合單調(diào)性可得當(dāng)0<

        a

        <1時,有[

        f

        (

        x

        )]<0,即

        f

        (

        x

        )有兩個零點(diǎn)的必要條件是0<

        a

        <1,又

        f

        (-2)=

        a

        e+(

        a

        -2)e+2>-2e+2>0,故

        f

        (

        x

        )在(-∞,-ln

        a

        )有一個零點(diǎn)

        .

        設(shè)正整數(shù)

        n

        滿足則

        f

        (

        n

        )=e(

        a

        e+

        a

        -2)-

        n

        >e-

        n

        >0

        .

        由于因此

        f

        (

        x

        )在(-ln

        a

        ,+∞)有一個零點(diǎn),綜上

        a

        的取值范圍為(0,1)

        .

        評注:

        本題涉及零點(diǎn)存在定理中如何“取點(diǎn)”,學(xué)生不明白如何想到令“

        x

        =-2”和筆者闡述相關(guān)思路

        .

        注意到

        f

        (

        x

        )=

        a

        e2+(

        a

        -2)e-

        x

        ,0<

        a

        <1,目標(biāo)是在(-∞,-ln

        a

        )上找到

        x

        ,使得

        f

        (

        x

        )>0,由于

        a

        e2>0,只要讓(

        a

        -2)e-

        x

        >0,限定

        x

        <0,由于(

        a

        -2)e-

        x

        >

        a

        -2-

        x

        >-2-

        x

        ,令-2-

        x

        ≥0,得

        x

        ≤-2,于是(

        a

        -2)e-

        x

        >

        a

        >0,所以

        f

        (-2)>0

        .

        由于0<

        a

        <1,-ln

        a

        >1,所以-2∈(-∞,-ln

        a

        ),符合條件

        .

        另一個目標(biāo)是在(-ln

        a

        ,+∞)上找到

        n

        ,使得

        f

        (

        n

        )>0,即

        a

        e2+(

        a

        -2)e-

        n

        >0,由于e>

        n

        ,所以

        a

        e2+(

        a

        -2)e-

        n

        >

        a

        e2+(

        a

        -2)e-e=e(

        a

        e+

        a

        -3)>0,得于是當(dāng)設(shè)正整數(shù)

        n

        滿足就有

        f

        (

        n

        )>0,經(jīng)檢驗(yàn),符合條件

        .

        事實(shí)上,“取點(diǎn)”是經(jīng)過適當(dāng)“放縮”計(jì)算得出的,常見的不等式如當(dāng)

        x

        >0時,有e>

        x

        >ln

        x.

        筆者總結(jié)得出以下“取點(diǎn)”技巧

        .

        (1)借助一些常見不等式對超越式放縮,放縮后的不等式容易解出

        .

        (2)不等式放縮的方向要與所需函數(shù)值的正負(fù)一致,如上述找

        n

        的取值需要

        f

        (

        n

        )>0,對

        f

        (

        n

        )中一些式子放縮要往“>”的方向進(jìn)行

        .

        (3)檢驗(yàn)不等式的解是否在需求范圍內(nèi)

        .

        使得

        f

        (

        x

        )>0的自變量的值并不是只有-2和如如何“取點(diǎn)”取決于放縮的程度

        .

        需要說明的是,在尋找使得

        f

        (

        x

        )>0的自變量的值時,盡可能選取較為簡單的結(jié)構(gòu),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美

        .

        小問(2)解法2:

        由小問(1)可知

        a

        >0

        .

        參變分離,令

        f

        (

        x

        )=0,得令當(dāng)

        x

        >0時,

        g

        ′(

        x

        )<0,當(dāng)

        x

        <0時,

        g

        ′(

        x

        )>0,所以[

        g

        (

        x

        )]=1-

        a.g

        (

        x

        )有兩個零點(diǎn)的必要條件是[

        g

        (

        x

        )]=1-

        a

        >0,即0<

        a

        <1

        .

        下證充分性(只需在

        y

        軸左側(cè)找一點(diǎn)的函數(shù)值為負(fù),在

        y

        軸右側(cè)找一點(diǎn)的函數(shù)值也為負(fù),例如找到

        x

        <0使得

        g

        (

        x

        )<0)

        .

        由于當(dāng)

        x

        <0,有e2+e>0,2e<2,取

        x

        =-2就有符合條件

        .

        當(dāng)

        x

        >0,要想有由

        x

        得解出于是符合條件,所以

        a

        的取值范圍為(0,1)

        .

        教學(xué)啟示:

        教學(xué)時應(yīng)歸納出已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),求參數(shù)范圍通常有直接討論函數(shù)零點(diǎn)(解法1)和參變分離(解法2)這兩種策略

        .

        解法1中導(dǎo)函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然含參,但形式較為簡單

        .

        解法2的優(yōu)勢在于參變量分離,使得構(gòu)造出的函數(shù)不再含有參數(shù),為后續(xù)研究帶來方便,同時新構(gòu)造出的函數(shù)形式也較為復(fù)雜

        .

        在面對不需要嚴(yán)格推理證明的選擇、填空題時,可以讓學(xué)生結(jié)合圖形分析,如參變分離法可以考慮

        f

        (

        x

        )的零點(diǎn)即為函數(shù)與

        y

        =

        a

        圖像有兩個交點(diǎn),只需畫出草圖(如圖1所示)進(jìn)行分析即可得到正確答案

        .

        圖1

        例2

        (2015全國卷Ⅰ文-21) 設(shè)函數(shù)

        f

        (

        x

        )=e2-

        a

        ln

        x.

        (1)討論

        f

        (

        x

        )的導(dǎo)函數(shù)

        f

        ′(

        x

        )的零點(diǎn)個數(shù)

        .

        (2)略

        .

        分析:

        依題意得若

        a

        ≤0,無零點(diǎn);若

        a

        >0,

        f

        ′(

        x

        )在定義域內(nèi)單調(diào)遞增

        .

        現(xiàn)在的目標(biāo)就是在定義域上找點(diǎn)

        m

        ,

        n

        ,滿足

        f

        ′(

        m

        )<0,

        f

        ′(

        n

        )>0

        .

        由函數(shù)結(jié)構(gòu)特征,

        f

        ′(

        a

        )=2e2-1>0(把含參項(xiàng)變?yōu)槌?shù)項(xiàng),因此可取

        x

        =

        a

        ),所以關(guān)鍵在于找到

        m

        ,使得

        f

        ′(

        m

        )<0

        .

        教師在教學(xué)過程中最好從圖像的角度切入分析,的零點(diǎn)即函數(shù)

        y

        =2e2與的交點(diǎn),這兩類函數(shù)是學(xué)生比較熟悉的,圖2、圖3分別對應(yīng)了

        a

        <0和

        a

        >0時的圖像

        .

        圖2

        圖3

        從函數(shù)的增長趨勢看,

        m

        應(yīng)當(dāng)足夠小,越接近0越好

        .

        如取并不合適

        .

        為了使結(jié)果比較“好看”,繼續(xù)縮小

        m

        的值,取令

        f

        ′(

        m

        )=2e-4<0,得只需取就有因此問題得到解決

        .

        評注:

        從參變量分離的角度一樣能解決此問題,即2

        x

        e2-

        a

        =0(

        x

        >0) ①

        .

        方程①的解也可以看作是

        g

        (

        x

        )=2

        x

        e2-

        a

        在[0,+∞)上的零點(diǎn)(擴(kuò)大定義域),而當(dāng)

        x

        ≥0時,注意到

        g

        ′(

        x

        )=2(2

        x

        +1)e2>0,所以

        g

        (

        x

        )在[0,+∞)單調(diào)遞增,

        g

        (0)=-

        a

        <0,

        g

        (

        a

        )=2

        a

        e2-

        a

        >2

        a

        -

        a

        >0,所以

        g

        (

        x

        )=2

        x

        e2-

        a

        在[0,+∞)上有唯一零點(diǎn),問題得到解決

        .

        在這個過程中化歸思想起了很大的用處,原本函數(shù)的端點(diǎn)無法代入,從而無法確定符號,將函數(shù)延拓為

        g

        (

        x

        )=2

        x

        e2-

        a

        ,使這個問題得到圓滿解決

        .

        教學(xué)啟示:

        對于“取點(diǎn)”的策略,除了借助不等式放縮以外,還可以歸納得出以下兩種方法

        .

        方法1:

        把含參項(xiàng)消去變?yōu)槌?shù)項(xiàng),如上面分析取

        x

        =

        a.

        方法2:

        想要說明存在

        x

        使

        f

        (

        x

        )-

        h

        (

        x

        )<0,可借助中間量

        α

        ,說明

        f

        (

        x

        )<

        α

        ,

        h

        (

        x

        )>

        α

        即可

        .

        在這里可用方法2找

        m

        ,目標(biāo)是即限定0<

        m

        <1,于是2e2<2e,只需得顯然取符合題意

        .

        例3

        (2020福州質(zhì)檢理-21) 已知函數(shù)(1)略

        .

        (2)當(dāng)

        a

        >0時,函數(shù)

        h

        (

        x

        )=

        f

        (

        x

        )-

        g

        (

        x

        )恰有三個不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)

        a

        的取值范圍

        .

        分析:

        依題意得只需討論

        y

        =-

        ax

        +

        x

        -4

        a

        的符號

        .

        當(dāng)設(shè)

        y

        =-

        ax

        +

        x

        -4

        a

        的兩個零點(diǎn)為

        x

        ,

        x

        (

        x

        <

        x

        ),由韋達(dá)定理可以判斷0<

        x

        <2<

        x

        ,所以

        h

        (

        x

        )在(0,

        x

        ),(

        x

        ,+∞)上單調(diào)遞減,在(

        x

        ,

        x

        )上單調(diào)遞增,又

        h

        (2)=0,所以2是

        h

        (

        x

        )的零點(diǎn),而

        h

        (

        x

        )>

        h

        (2)=0,

        h

        (

        x

        )的圖像如圖4所示(只要在(2,+∞)上找到

        m

        ,使得

        h

        (

        m

        )<0即可)

        .

        當(dāng)

        x

        足夠大時,

        y

        =

        ax

        的“增長趨勢”相較大,因此這里選擇

        m

        要盡可能大,當(dāng)所以令考慮到構(gòu)造出常數(shù)取值不符要求,說明

        m

        還不夠大

        .

        繼續(xù)嘗試取則令則則所以

        y

        =ln8-4+0

        .

        5.

        5=-0

        .

        5<0,因此因?yàn)樗源嬖?p>x

        ∈(2,+∞)使得又即均為

        h

        (

        x

        )的零點(diǎn),所以當(dāng)時,函數(shù)

        h

        (

        x

        )=

        f

        (

        x

        )-

        g

        (

        x

        )恰有三個不同的零點(diǎn)

        .

        圖4

        評注:

        上面利用到構(gòu)造常數(shù)法、放縮法尋求

        m

        ,這里可提供另一種放縮方式

        .

        對放縮,利用不等式ln

        t

        <

        t

        ,于是設(shè)則令得則時,有令得當(dāng)找到

        x

        ∈(2,+∞)使得

        h

        (

        x

        )=0后,并不需要在(0,

        x

        )找另一個零點(diǎn),原因是該零點(diǎn)與

        x

        有特殊的數(shù)量關(guān)系,往往在對數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)三者疊加的函數(shù)中零點(diǎn)會存在這樣的關(guān)系

        .

        教學(xué)啟示:

        在函數(shù)的教學(xué)過程中,可以讓學(xué)生對幾類初等函數(shù)的增長趨勢進(jìn)行比較,更有利于解決這些問題,當(dāng)

        x

        足夠大時,增長趨勢從大到小的函數(shù)分別是指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(正指數(shù))、對數(shù)函數(shù)

        .

        上文對進(jìn)行變形時,正是考慮到這一點(diǎn)

        .

        “取點(diǎn)”的過程是一個不斷試錯的過程,學(xué)生需要經(jīng)歷觀察、猜想、計(jì)算、證明等思維活動,這些過程能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理能力

        .

        在教學(xué)中,教師要教會學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā),追求通性通法,有效的解題是有專注的選擇和有進(jìn)展的試錯

        .

        教師也可以在日常教學(xué)過程中強(qiáng)化學(xué)生對常見函數(shù)增長趨勢的認(rèn)識,讓學(xué)生走向更高的層次

        .

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