劉瑞琴

【摘要】錯(cuò)題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)非常常見(jiàn).錯(cuò)題并不可怕，對(duì)已出現(xiàn)的錯(cuò)題進(jìn)行梳理、糾正，可以轉(zhuǎn)化成強(qiáng)有力的教學(xué)資源.對(duì)錯(cuò)題的良好利用，可以幫助教師準(zhǔn)確掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，也能提高教學(xué)質(zhì)量，避免學(xué)生再次犯同樣的錯(cuò)誤.本文從錯(cuò)題利用的角度出發(fā)，對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的方法展開(kāi)了研究.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);錯(cuò)題;有效利用;學(xué)習(xí)水平;方法

一、引 言

初中數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，初中數(shù)學(xué)起著承上啟下的關(guān)鍵作用.在初中數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，如何利用錯(cuò)題將學(xué)生曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的錯(cuò)誤的價(jià)值充分發(fā)揮出來(lái)，一直是諸多教育工作者潛心研究的重點(diǎn)領(lǐng)域.有效地利用錯(cuò)題，關(guān)鍵在于教師能否抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，就學(xué)生錯(cuò)題背后的根源問(wèn)題進(jìn)行充分挖掘.只有“對(duì)癥下藥”，才能“藥到病除”，才能真正幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

二、學(xué)生整理錯(cuò)題的意義

從理論上講，學(xué)生整理錯(cuò)題屬于知識(shí)管理的范疇，對(duì)學(xué)習(xí)影響很大.如果能科學(xué)有效地利用錯(cuò)題來(lái)減少學(xué)生的錯(cuò)誤，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)便會(huì)顯著提高.目前，國(guó)內(nèi)學(xué)者針對(duì)錯(cuò)題整理，從學(xué)生的觀念、整理錯(cuò)題的態(tài)度以及策略行動(dòng)三個(gè)方面展開(kāi)研究，發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題，進(jìn)而提出一些有效的建議.從實(shí)踐的角度，本文分析了教師和學(xué)生在整理錯(cuò)題時(shí)出現(xiàn)的一些問(wèn)題，以便在未來(lái)的教與學(xué)中不斷提高自己.錯(cuò)題可以反映學(xué)生學(xué)習(xí)的不足，或者存在的不當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度或?qū)W習(xí)方法.因此，錯(cuò)題能幫助學(xué)生將教師講授的知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己的知識(shí)，理順?biāo)季S方式.如果學(xué)生能夠正確處理自己的錯(cuò)誤，反思出錯(cuò)的原因并及時(shí)糾正，那么錯(cuò)題便能成為寶貴的學(xué)習(xí)資源.反之，如果忽略錯(cuò)題，隨著時(shí)間的推移，學(xué)生可能會(huì)越來(lái)越討厭數(shù)學(xué)，錯(cuò)題也會(huì)越來(lái)越多，從而影響未來(lái)的學(xué)習(xí)和發(fā)展.

三、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段常見(jiàn)的錯(cuò)題類(lèi)型

根據(jù)對(duì)初中生出現(xiàn)的錯(cuò)題情況進(jìn)行匯總分析，我們總結(jié)出初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段四種比較常見(jiàn)的錯(cuò)誤類(lèi)型.

（一）概念性錯(cuò)誤

概念性錯(cuò)誤在所有錯(cuò)誤類(lèi)型當(dāng)中是最嚴(yán)重的一種.所謂概念性錯(cuò)誤，就是指學(xué)生在解題時(shí)，對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)基本概念尚未達(dá)到完全理解的程度，對(duì)于數(shù)學(xué)題干、題意的理解并不透徹，所以在解題過(guò)程中總是偷換概念，嚴(yán)重時(shí)甚至無(wú)法理解題意，最終產(chǎn)生概念性理解偏差，導(dǎo)致數(shù)學(xué)錯(cuò)題的產(chǎn)生.

（二）運(yùn)算性錯(cuò)誤

運(yùn)算性錯(cuò)誤在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中也比較常見(jiàn)，就是俗話所說(shuō)的“算錯(cuò)了”.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多學(xué)生對(duì)于一些數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)定理并沒(méi)有完全理解，解題往往靠的是機(jī)械記憶數(shù)學(xué)符號(hào)，解題思路不清晰，運(yùn)算能力和運(yùn)算邏輯也比較差，加上初中生秉性未定，常常會(huì)出現(xiàn)“急于求成”的情況，較容易產(chǎn)生錯(cuò)題.

（三）心理性錯(cuò)誤

初中數(shù)學(xué)解題中的心理性錯(cuò)誤一般是由學(xué)生心理緊張、焦慮等問(wèn)題造成的，較多出現(xiàn)在數(shù)學(xué)考試當(dāng)中.這一類(lèi)錯(cuò)題都是比較低級(jí)的錯(cuò)題，學(xué)生由于心理素質(zhì)較差，在解題過(guò)程中常出現(xiàn)緊張等情緒，從而增加了錯(cuò)題的發(fā)生率.

（四）思維性錯(cuò)誤

思維性錯(cuò)誤主要是學(xué)生學(xué)習(xí)思維習(xí)慣不良造成的，未形成正確良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.思維性錯(cuò)誤在初中數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)，學(xué)生常常受困于呆板的思維局限，無(wú)法快速形成解題思路.一旦出現(xiàn)這種思維性錯(cuò)誤，學(xué)生便根本無(wú)法自行進(jìn)行數(shù)學(xué)反思學(xué)習(xí)，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)一知半解，對(duì)于題意的理解也局限在題干表面，極容易做錯(cuò)題目.

四、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段產(chǎn)生錯(cuò)題的原因歸納

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，錯(cuò)題的種類(lèi)一般有上述四大類(lèi)，但是產(chǎn)生錯(cuò)題的原因主要有以下三點(diǎn).

（一）基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢固

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不斷完善的一個(gè)過(guò)程，隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和理解應(yīng)該是逐漸增加的.但是一些基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生，由于對(duì)于前期的知識(shí)沒(méi)有及時(shí)掌握，對(duì)現(xiàn)有的知識(shí)也沒(méi)有形成正確的解題思路，容易產(chǎn)生“知識(shí)斷層”.一旦出現(xiàn)這種情況，學(xué)生很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致錯(cuò)題滋生.

（二）審題不細(xì)致

在初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題中，有很大一部分是審題不細(xì)致造成的.學(xué)生會(huì)在一些常見(jiàn)的問(wèn)題上重復(fù)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這主要是因?yàn)閷W(xué)生在審題過(guò)程中不仔細(xì)，對(duì)于出現(xiàn)過(guò)的錯(cuò)題不重視也不總結(jié)，沒(méi)有養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.個(gè)別學(xué)生還受心理不良因素的影響，無(wú)法正確理解題意.

（三）計(jì)算能力受限

在初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，產(chǎn)生錯(cuò)題還有一種可能的原因是做題時(shí)間不夠.初中生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力往往有限，如何在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行正確計(jì)算一直是學(xué)生和教師的關(guān)注重點(diǎn).在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多錯(cuò)題產(chǎn)生的原因并不是不理解題意，也不是不夠細(xì)心，而是因?yàn)閷W(xué)生解題的速度十分緩慢，缺少足夠的時(shí)間對(duì)答案進(jìn)行驗(yàn)證.部分學(xué)生直接受制于思維定式，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤之后需要進(jìn)行二次計(jì)算確認(rèn)，這也會(huì)直接影響學(xué)生的解題準(zhǔn)確性.

五、如何利用錯(cuò)題提高初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，產(chǎn)生錯(cuò)題的原因有很多，主要包括教師和學(xué)生兩個(gè)方面.教師要積極樹(shù)立使用錯(cuò)題資源的正確認(rèn)知，組織學(xué)生分析錯(cuò)題資源，找出根本原因和問(wèn)題，形成一套完整的錯(cuò)題資源.錯(cuò)題教學(xué)策略能夠幫助學(xué)生逐步掌握正確的學(xué)習(xí)方法和解決問(wèn)題的方法，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平的目的.

（一）利用錯(cuò)題，舉一反三，形成興趣

教學(xué)過(guò)程中，為了有效利用錯(cuò)題資源，教師應(yīng)該巧妙地捕捉課堂上產(chǎn)生的錯(cuò)誤問(wèn)題，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生一起討論，從而“快”“準(zhǔn)”“狠”地糾正學(xué)生的錯(cuò)誤.教師要幫助學(xué)生對(duì)錯(cuò)題舉一反三，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，真正做到“知其然且知其所以然”，從而有效利用已出現(xiàn)的數(shù)學(xué)錯(cuò)題.其實(shí)，學(xué)生在數(shù)學(xué)課上做錯(cuò)了題目并不可怕，可怕的是相似的錯(cuò)誤重復(fù)出現(xiàn).而想要避免這種不良學(xué)習(xí)現(xiàn)象的發(fā)生，關(guān)鍵在于教師能否及時(shí)幫助學(xué)生將錯(cuò)題轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)資源，使錯(cuò)題的價(jià)值得到有效發(fā)揮，成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的催化劑.

初中生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)價(jià)值不在于模仿別人的解題方式[2]，而在于引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新并形成自己的解題思路.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是在學(xué)習(xí)解題的方式，而是為了培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理思維.因此，教師不應(yīng)該只指導(dǎo)學(xué)生做一道題，而應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，形成解題思路的自我建構(gòu).在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師必須重視學(xué)生，必要時(shí)給他們指導(dǎo)和幫助，而不是直接告訴他們答案.學(xué)生犯錯(cuò)誤的時(shí)候，可以利用錯(cuò)題進(jìn)行二次練習(xí)，并在教師的引導(dǎo)下反思和分析，這樣容易產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣反射，避免今后再犯錯(cuò).

例如，在教學(xué)《勾股定理》時(shí)[3]，教師向?qū)W生展示如下題目：“一盒外包裝形狀為長(zhǎng)方體的純牛奶，底面的長(zhǎng)為12 cm，寬為8 cm，高為20 cm.現(xiàn)牛奶盒生產(chǎn)廠家為了更好地節(jié)約生產(chǎn)成本，采用了長(zhǎng)度為20 cm的吸管.廠家采用的吸管長(zhǎng)度合理嗎？若不合理，那么牛奶吸管長(zhǎng)度至少應(yīng)該為多少？”展示完題干之后，部分學(xué)生認(rèn)為20 cm與牛奶盒的高度一致，故吸管長(zhǎng)度合適.教師抓住這個(gè)契機(jī)及時(shí)指出這個(gè)錯(cuò)誤，引導(dǎo)學(xué)生往牛奶盒斜邊上聯(lián)想，然后讓學(xué)生進(jìn)行自我思考和小組討論.此時(shí)，結(jié)合之前的錯(cuò)誤思路，教師再適度引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)很容易得出如下結(jié)論：“吸管的長(zhǎng)度20 cm是不合理的，因?yàn)槿绻诤扰Ｄ痰倪^(guò)程中吸管傾斜，就會(huì)很容易掉入牛奶盒中.”教師再循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生分析出“牛奶盒底面的對(duì)角線長(zhǎng)和高正好可以與斜插的吸管構(gòu)成直角三角形，而吸管的長(zhǎng)度即為這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度”，然后順勢(shì)練習(xí)利用勾股定理解題的方法.

（二）引導(dǎo)學(xué)生利用錯(cuò)題完善知識(shí)結(jié)構(gòu)

想要有效利用學(xué)生的錯(cuò)題資源，教師可以結(jié)合教學(xué)計(jì)劃，利用錯(cuò)題資源來(lái)改善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).詳細(xì)來(lái)說(shuō)，就是當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)題時(shí)，教師用一些典型的錯(cuò)題來(lái)當(dāng)教學(xué)實(shí)例，有針對(duì)性性地進(jìn)行糾錯(cuò)訓(xùn)練.這樣既能引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)復(fù)習(xí)關(guān)鍵知識(shí)，也能利用易錯(cuò)題目來(lái)訓(xùn)練學(xué)生.這種方式可以有效地加強(qiáng)學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的理解，也能充分發(fā)揮錯(cuò)題資源的教學(xué)價(jià)值.學(xué)生在錯(cuò)題中鞏固和訓(xùn)練，既能提高數(shù)學(xué)解題能力，又能加深印象，可謂“一石二鳥(niǎo)”“一舉兩得”.

需要注意的是，學(xué)生在初中時(shí)期認(rèn)知水平上還沒(méi)有達(dá)到成熟的階段，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)一些錯(cuò)誤是在所難免的.這個(gè)時(shí)候教師不能只想著批評(píng)，而應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的天性，尊重、理解出現(xiàn)錯(cuò)題的學(xué)生，遵循以學(xué)生為主體的教育理念.教師可以幫助學(xué)生將錯(cuò)題資源利用起來(lái)，有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行完善，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型錯(cuò)題進(jìn)行匯總分析，幫助學(xué)生在錯(cuò)題二次訓(xùn)練和復(fù)習(xí)中提高認(rèn)識(shí)，從而有效地避免相似的錯(cuò)誤再出現(xiàn).

例如，在計(jì)算圓柱的表面積時(shí)，正確的數(shù)學(xué)解題邏輯是“2個(gè)底面積+側(cè)面積”.但是在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)遺漏1個(gè)底面積，錯(cuò)誤地按照?qǐng)D中可見(jiàn)的“1個(gè)底面積+側(cè)面積”計(jì)算，遺漏圖中看不見(jiàn)的下底面積，從而造成求解錯(cuò)誤.針對(duì)這種錯(cuò)題，教師要幫助學(xué)生換一種理解方式，而不是單純地“耳提面命”地告訴學(xué)生“S表=2πr2+2πrh”的公式.教師要交給學(xué)生表面積的計(jì)算邏輯，即“上底面面積+側(cè)面積+下底面面積”，要給學(xué)生講明，由于圓柱的上下底面面積相同，故而出現(xiàn)“2個(gè)底面積+側(cè)面積”的計(jì)算邏輯.同時(shí)，教師可以將圓柱表面積計(jì)算和長(zhǎng)方體表面積計(jì)算相結(jié)合，使錯(cuò)題資源充分發(fā)揮作用.

（三）利用錯(cuò)題提高學(xué)生的計(jì)算能力

利用好錯(cuò)題資源不僅可以提高學(xué)生的解題準(zhǔn)確率，還可以巧妙地利用錯(cuò)題來(lái)幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)計(jì)算能力.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，每個(gè)題目最終都是需要學(xué)生借助于現(xiàn)有知識(shí)體系回憶和詳細(xì)計(jì)算才能解出答案的.計(jì)算能力對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，可謂是有效解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)性能力.所以，教師在提高初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平時(shí)，首先要幫助學(xué)生建立起進(jìn)行綜合計(jì)算的信心，要對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況有所了解，要有目的地根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和學(xué)習(xí)能力制訂相關(guān)的學(xué)習(xí)計(jì)劃.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)解題方面的問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我反思和總結(jié)，教會(huì)學(xué)生如何對(duì)自己的錯(cuò)題進(jìn)行分析和總結(jié)，在及時(shí)糾正相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題錯(cuò)誤的同時(shí)，從根源上讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)題有更深的認(rèn)識(shí)，從而真正做到在錯(cuò)題中成長(zhǎng)和發(fā)展.

（四）利用錯(cuò)題提高學(xué)生的思維能力

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，錯(cuò)題利用得好，錯(cuò)題的價(jià)值便不僅僅局限在糾正錯(cuò)誤上，還可以啟發(fā)學(xué)生形成更多的解題思路，從而鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.初中階段是一個(gè)人思維最活躍的時(shí)期，而如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力一直是眾多學(xué)者研究的重點(diǎn).初中生在做數(shù)學(xué)題時(shí)，由于缺乏經(jīng)驗(yàn)，解題思路往往受到思維定式的影響，思維邏輯和解題思路不夠靈活，當(dāng)解題思路出現(xiàn)僵化之后，做數(shù)學(xué)題很容易出錯(cuò).

要想利用錯(cuò)題提高初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，教師在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中就要多對(duì)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)題指導(dǎo)，對(duì)于同一題目鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)不同的方式進(jìn)行創(chuàng)新解題，從而有效拓展學(xué)生的思維.在日常授課中，教師可以盡可能多地應(yīng)用變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考和分析問(wèn)題的能力，從而對(duì)錯(cuò)題的價(jià)值進(jìn)行更深入的挖掘和利用，從真正意義上提高初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

（五）通過(guò)難題錯(cuò)題，促使學(xué)生思考

在初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題中，除了常見(jiàn)錯(cuò)誤以及典型錯(cuò)誤之外，難題錯(cuò)題也比較多.產(chǎn)生難題錯(cuò)題的原因通常是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有完全理解知識(shí)，無(wú)法靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).對(duì)于這些錯(cuò)題，教師首先要讓學(xué)生獨(dú)立思考，認(rèn)真反思和確認(rèn)所學(xué)知識(shí)、解決問(wèn)題的思路等，讓學(xué)生自己找到錯(cuò)誤原因，并在這一過(guò)程中“逆向而行”，逐漸形成正確的解題思路.在學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)候，教師有責(zé)任提供指導(dǎo)和支持，讓學(xué)生充分發(fā)揮自主學(xué)習(xí)的能力.

例題：一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是10厘米，其中一條邊長(zhǎng)是4厘米，那么等腰三角形的面積是多少？要回答這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生需要仔細(xì)思考.首先，學(xué)生根據(jù)已知條件討論分析，計(jì)算出等腰三角形的邊長(zhǎng)為2，4，4或3，3，4，然后應(yīng)用三角形的面積公式計(jì)算等腰三角形的面積.但在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通常會(huì)遺漏某種情況.如果學(xué)生認(rèn)為等腰三角形的腰長(zhǎng)是3，底邊長(zhǎng)是4，那么3+3>4，就可以構(gòu)成一個(gè)三角形.大部分學(xué)生認(rèn)為分析到此就結(jié)束了，而忽略了等腰三角形的腰長(zhǎng)為4的情況.對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在完成解題后進(jìn)行回顧性思考，并提醒學(xué)生思考是否還有其他情況.事實(shí)上，很多學(xué)生在教師的引導(dǎo)下能夠發(fā)現(xiàn)自己的錯(cuò)誤.

此外，回顧性思考可以幫助學(xué)生逐漸形成完整的解題思路，讓他們能夠全面思考并分析出現(xiàn)的問(wèn)題，減少錯(cuò)題出現(xiàn)的可能性.

六、結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，本文主要從初中數(shù)學(xué)錯(cuò)題利用的角度入手，就利用錯(cuò)題提高初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的方法展開(kāi)研究，以期真正做到讓學(xué)生輕松愉悅地學(xué)好初中數(shù)學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

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