程鳳娟 胡艷

不等式的研究是初等數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容之一，這其中一類為分母為一次多項(xiàng)式的分式不等式.這類不等式的證明由于分母的表達(dá)式的構(gòu)成相比整式要復(fù)雜，因而證明的規(guī)律難以尋找，其證法繁多，解題技巧豐富，一時(shí)難以掌握和靈活應(yīng)用，因而探求處理這類不等式的方法是必要的.

許多數(shù)學(xué)期刊的數(shù)學(xué)問題欄給出了不少分式不等式的題目，但許多解答直接使用基本不等式或柯西不等式，而使得技巧性強(qiáng)，對于中學(xué)生理解與掌握有一定難度，本文選取《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題的幾個(gè)題目，應(yīng)用數(shù)學(xué)中廣泛使用的換元法，將原問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題，再結(jié)合基本不等式或柯西不等式等常用不等式，給出異于原解答者的解答，來說明換元法——這一基本方法在這一類分式不等式的證明中的應(yīng)用.

從上述證明可以看出，通過換元，將分母的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為了單項(xiàng)式，然后利用基本不等式，避免了直接湊配系數(shù)的難度，得到了本題的證明，其思路簡單，不需任何技巧.

同法可證明例題1的一般化問題以及將分子疊加后的問題：

分析 本題是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2001 （12）數(shù)學(xué)問題1342題，原解答通過變形，湊配利用柯西不等式給出證明，若注意到本題的特點(diǎn)，其分母表達(dá)式較為復(fù)雜，但均為一次式，因此通過換元將分母轉(zhuǎn)化為比較簡單的的形式，在利用熟知的一個(gè)結(jié)論即獲得本題的簡單證明，

分析 本題是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2004 （2） 1474題，原證明通過變形后利用了”元柯西不等式的一個(gè)變形給出證明，但若注意到本題的結(jié)構(gòu)，通過換元后再由平均不等式，有如下的證明，

分析 本題是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2006 （8）數(shù)學(xué)問題1625的不等式形式，原解答直接利用均值不等式求得，由于條件中系數(shù)不具有輪換對稱性，因此系數(shù)的湊配有技巧，同前面例題的分析，通過換元即有：

從上述例題可以看出，對于分母是一次式，或可化為一次式的分式不等式，利用換元法，可有效降低原問題的難度，簡化原問題的求解過程，不失為一種處理這類不等式的好方法，法國數(shù)學(xué)家狄德羅說：“數(shù)學(xué)中所謂美的解答，是指一個(gè)困難復(fù)雜問題的簡易回答”，求簡，是解答數(shù)學(xué)問題追求的目標(biāo)之一，數(shù)學(xué)問題的解答不僅追求思維過程的簡單，方法的簡單同樣重要，換元法雖然是數(shù)學(xué)中常用的基本方法，但基本的方法的作用并不“基本”，這也說明了在數(shù)學(xué)教學(xué)中為什么要強(qiáng)調(diào)重視培養(yǎng)學(xué)生的基本技能的原因，