張國(guó)坤

轉(zhuǎn)述高中數(shù)學(xué)人教A版教材選修2-3 P59習(xí)題2.2B組第1題如下：“甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利？”

教學(xué)參考書給出解答如下：

“每局比賽可以看成是相互獨(dú)立的，所以甲獲勝的局?jǐn)?shù)x是隨機(jī)變量，x服從二項(xiàng)分布.

但在“采用3局2勝制”的實(shí)際比賽中，可能甲連勝兩局或連輸兩局就結(jié)束比賽，因此懷疑上述“教參”解法不一定正確，按實(shí)際比賽情況計(jì)算如下：記“采用3局2勝制”的比賽中甲勝為事件A，其中甲通過前2局贏得比賽為事件4，甲通過3局贏得比賽為事件A2，則A1與A2互斥，

兩種算法在數(shù)值上是相等的，這是偶然還是必然呢？

再看“采用5局3勝制”的比賽，記甲勝為事件B，其中甲通過前3局贏得比賽為事件B1甲通過4局贏得比賽為事件B，甲通過5局最后贏得比賽為事件B3，則B1，B2，B3兩兩互斥，

從兩種局制的兩種算法分別相等的結(jié)果來看，兩種算法內(nèi)部可能具有必然的本質(zhì)的“相等”聯(lián)系.

因此，兩種算法結(jié)果相等是必然而不是偶然.

考慮一般情況，假設(shè)甲、乙兩者比賽中甲每局勝的概率均為p，記1-p=q.在甲、乙兩者采用“2n+1局n+1勝”賽制的比賽中，求甲勝的概率.

筆者列舉了許多特例驗(yàn)證，這個(gè)等式都是成立的，但沒能從理論上給出嚴(yán)格的邏輯證明，希望讀者能夠給出證明，

從比賽活動(dòng)的實(shí)際需要分析，如果甲在前n+1局中連勝而贏得了比賽，但出于觀賞或訓(xùn)練的需要，后面再進(jìn)行n局比賽（補(bǔ)足2n+l局）…不管前多少局甲贏得比賽，都安排把局?jǐn)?shù)比足2n+1局，后面補(bǔ)充的比賽并不影響甲獲勝的結(jié)果（也不影響概率）.對(duì)贏得比賽來說，甲勝n+2，n+3，，.，2n+1局都是不必要的，只需勝n+1局即可.這樣一來，兩種計(jì)算方法“合情合理”地要相等，因此猜想肯定是正確的，組合等式.