基于非線性干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?/h1>
2022-07-07 08:47:30楊光宇陳思溢王雨軒鄭貝陽黃輝先
計算機集成制造系統(tǒng) 2022年6期
楊光宇，陳思溢，王雨軒，鄭貝陽，黃輝先
(湘潭大學(xué) 自動化與電子信息學(xué)院，湖南 湘潭 411105)
0 引言
欠驅(qū)動機械系統(tǒng)(Underactuated Mechanical Systems, UMS)指獨立的控制輸入維數(shù)少于系統(tǒng)自由度的一類系統(tǒng)[1]，其結(jié)構(gòu)簡單，同時由于系統(tǒng)高度非線性、參數(shù)擾動及控制量受限等，欠驅(qū)動系統(tǒng)又足夠復(fù)雜，適合于研究和驗證各種算法的有效性[2]；當(dāng)全驅(qū)動系統(tǒng)的部分驅(qū)動器出現(xiàn)故障時，系統(tǒng)相應(yīng)變?yōu)榍夫?qū)動系統(tǒng)，欠驅(qū)動系統(tǒng)控制算法可以進行容錯控制。鑒于現(xiàn)實生活中的很多系統(tǒng)均以欠驅(qū)動形式存在，如移動機器人、航天飛行器、倒立擺等[3]，針對欠驅(qū)動系統(tǒng)的研究具有重要的理論與實際意義。
欠驅(qū)動系統(tǒng)領(lǐng)域研究比較復(fù)雜的原因是執(zhí)行器的數(shù)量少于需要控制的自由度，許多傳統(tǒng)非線性控制方法并不適用，近年來主要用基于反饋線性化[4]、能量法[5]、反步法[6]、滑?？刂品╗7-8]和模糊邏輯法[9]等方法進行UMS穩(wěn)定控制[10]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)算法簡單，對干擾和未建模系統(tǒng)狀態(tài)具有很強的魯棒性，且響應(yīng)速度快，本文主要討論滑?？刂品椒?。
滑?？刂?Sliding Mode Control, SMC)本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，其不連續(xù)的開關(guān)特性使系統(tǒng)抖振不可避免，影響了系統(tǒng)性能，如果處理不當(dāng)，則可能引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因為滑動模態(tài)可以進行設(shè)計而且與控制對象的參數(shù)和擾動無關(guān)，所以SMC具有響應(yīng)速度快、魯棒性強、對參數(shù)變化和擾動不靈敏等優(yōu)點[11]。其中，抖振為SMC系統(tǒng)中普遍存在的問題，消除抖振會使變結(jié)構(gòu)控制失去對干擾和攝動的抑制能力，而且無法完全消除，只能對其進行削弱。如何在削弱抖振的基礎(chǔ)上盡可能提高滑模面的趨近速率，是目前滑?？刂祁I(lǐng)域重要的研究課題[12]。
SMC采用線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點時的收斂速度非常慢且收斂時間不能確定[13]，為此，終端滑?？刂?Terminal SMC, TSMC)在傳統(tǒng)滑模面函數(shù)的基礎(chǔ)上加入分?jǐn)?shù)指數(shù)項，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后，將沿設(shè)計的指數(shù)規(guī)律逐漸趨近于平衡點，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂[14-15]。然而，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達原點后，由于非線性項中存在負數(shù)冪，傳統(tǒng)TSMC的控制律出現(xiàn)奇異性，導(dǎo)致控制律無界，而且系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時收斂速度較慢。為了提高傳統(tǒng)TSMC的收斂速度，楊俊起等[16]結(jié)合傳統(tǒng)滑模控制的優(yōu)點，在TSMC滑模面函數(shù)中加入線性項，提出快速終端滑?？刂?Fast TSMC, FTSMC)方法，提高了系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時的收斂速度，具有更好的收斂性；MOBAYEN[17]提出不同形式的FTSMC，對滑模函數(shù)中指數(shù)項的取值更靈活，但因需要同時考慮系統(tǒng)狀態(tài)在各階段的收斂速度而對指數(shù)項的取值有所限制，制約了收斂速度的進一步提升。
上述TSMC通常應(yīng)用于二階系統(tǒng)，而強耦合的復(fù)雜四階欠驅(qū)動系統(tǒng)為二自由度，由于其獨立控制輸入少于自由度，無法構(gòu)造單一的控制量使欠驅(qū)動系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都趨于穩(wěn)定，直接使用上述方法不能獲得相同的控制性能。例如，在小車倒立擺系統(tǒng)中，擺桿擺角狀態(tài)和小車位置狀態(tài)存在耦合，直接使用TSMC可以成功控制擺桿或小車位置，但若要求同時對二者進行精準(zhǔn)控制，則控制效果不佳。為了解決這類問題，解耦終端滑?？刂?Decoupled TSMC, DTSMC)通過將一類四階系統(tǒng)解耦為兩個二階子系統(tǒng)，并分別設(shè)計終端滑模面，再通過中間變量構(gòu)成一個整體滑模面，構(gòu)造了一個單一的控制量，實現(xiàn)了對小車倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制[18]。
時變滑模面(Time-Varying Sliding Surfaces, TVSSs)解決了一般滑模面函數(shù)參數(shù)取值的局限性，可以同時考慮系統(tǒng)狀態(tài)在各個階段趨近的情況，并能夠顯著縮短到達階段的趨近時間。BAYRAMOGLU等[19]和YORGANCIOLU等[20]根據(jù)模糊規(guī)則，用模糊規(guī)則庫導(dǎo)出的線性函數(shù)重新定義了SMC滑模面坡度，提高了系統(tǒng)整體趨近速率，并結(jié)合快速終端滑模，用解耦方法完成了對四階系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。
綜上所述，TVSSs雖然解決了四階系統(tǒng)的耦合問題并提高了趨近速率，但是其小車位置狀態(tài)響應(yīng)速率很慢。根據(jù)快速終端滑模的結(jié)構(gòu)形式，由于其指數(shù)項參數(shù)選擇的局限，限制了系統(tǒng)的趨近效率，本文提出一種變冪次的時變快速終端滑模，通過設(shè)計一個非線性函數(shù)代替快速終端滑模的指數(shù)項，解決參數(shù)選取的局限性，提高系統(tǒng)狀態(tài)在各時刻的趨近速率，同時結(jié)合解耦算法，處理系統(tǒng)的強耦合性；針對系統(tǒng)參數(shù)的不確定性以及外部干擾對控制效果的影響，設(shè)計一個非線性干擾觀測器，通過將觀測到的總體干擾補償給控制器來提高控制器的魯棒性。與現(xiàn)有解耦方法相比，所提基于非線性干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?Decoupled Time-Varying Fast Terminal Sliding Mode Control based on Non-linear Disturbance Observer, NDODTVFTSMC)策略具有更快的瞬態(tài)響應(yīng)與更低的絕對誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Absolute value of Error criterion, IAE)和時間乘絕對誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Time multiplied by the Absolute value of Error criterion, ITAE)值。
1 問題描述
本文考慮的四階欠驅(qū)動系統(tǒng)以一級小車倒立擺系統(tǒng)為例，可以建模為如下形式[19,21-22]：
y=[x1(t),x3(t)]T。
(1)
式中：x(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量，x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)分別為擺桿角度、擺角角速度、小車位置和小車速度；y=[x1(t),x3(t)]T為系統(tǒng)的輸出向量，本文考慮系統(tǒng)的擺角和小車位置；f1(x),f2(x),b1(x),b2(x)為系統(tǒng)動態(tài)特性的非線性函數(shù)，且均不等于0；u(t)為控制輸入；d1，d2為系統(tǒng)的外部擾動?？紤]到系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，有：
f1(x)=f01(x)+Δf1(x)；
f2(x)=f02(x)+Δf2(x)。
(2)
式中：f01(x)和f02(x)為函數(shù)的已知部分；Δf1(x)和Δf2(x)為函數(shù)的未知部分。故式(1)的動態(tài)方程為：
(3)
式中：n1=Δf1(x)+d1，n2=Δf2(x)+d2，表示系統(tǒng)整體擾動，包括系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和系統(tǒng)外部擾動。
一級小車倒立擺系統(tǒng)只有一個控制輸入u(t)，為單輸入多輸出系統(tǒng)，且具有強耦合特性。在耦合的情況下，若使用TSMC方法直接控制系統(tǒng)，則分別使系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)，x2(t)或x3(t)，x4(t)在有限時間內(nèi)趨近平衡點，這意味著控制輸入u(t)只能精確控制擺桿或小車，不能同時使兩者保持穩(wěn)定。
TSMC直接應(yīng)用于四階欠驅(qū)動系統(tǒng)時，其控制效果不能滿足實際要求，而應(yīng)用于二階系統(tǒng)則具有優(yōu)越的控制性能，因此研究終端滑模首先考慮二階系統(tǒng)。對于小車倒立擺系統(tǒng)，若只考慮擺桿或小車，不失一般性，則可將式(1)表示為如下規(guī)范形式的二階非線性系統(tǒng)：
(4)
式中：x(t)=[x1(t),x2(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量；f(x),b(x)為系統(tǒng)動態(tài)特性的非線性函數(shù)，且均不為0；u(t)為控制輸入；d為外部干擾。
2 二階系統(tǒng)的新型快速終端滑模控制
2.1 變冪次快速終端滑?？刂?/h3>
針對非線性二階系統(tǒng)(式(4))，本節(jié)不考慮干擾對系統(tǒng)的影響，取d=0。文獻[23]提出的FTSMC由以下滑模面描述：
s=αx1+x2+λ|x1|p/qsgn(x1)。
(5)
式中：α>0，λ>0；p和q是滿足p(6)
(7)
雖然由式(5)表示的FTSMC中，因增加了線性項αx1而提高了TSMC在狀態(tài)遠離平衡點時的收斂速度，但是在λ|x1|p/qsgn(x1)中，p和q的比值會影響系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時希望比值大，系統(tǒng)狀態(tài)趨近平衡點時希望比值小，無法使系統(tǒng)狀態(tài)在整個滑模面快速收斂，而且比值太小會產(chǎn)生抖振。為此，本文根據(jù)文獻[23]所提的FTSMC控制算法將滑模面改進為一種時變快速終端滑模(Time-Varying Fast Terminal Sliding Mode, TVFTSM)，形式為
s=αx1+x2+λ|x1|γ(x1)sgn(x1)。
(8)
式中α和λ的取值與文獻[22]相同。定義γ(x1)為關(guān)于狀態(tài)x1的一個非線性函數(shù)，
(9)
(10)
定理1對于設(shè)計的時變快速終端滑模面(式(8))，系統(tǒng)狀態(tài)在到達滑模面時可以在有限時間內(nèi)收斂至平衡點，收斂時間為
(11)
證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
(12)
根據(jù)式(4)和式(8)對式(12)求導(dǎo)得
=x1(-αx1-λ|x1|γ(x1))
(13)
由式(13)可知，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂。根據(jù)式(9)和式(10)，γ(x1)關(guān)于狀態(tài)x1變化，這里將狀態(tài)x1分兩種情況進行討論：
根據(jù)式(10)，式(8)可寫為
s=αx1+x2+λ|x1|α1-β1sgn(x1)。
(14)
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面s=0時，根據(jù)式(1)和式(14)可得
(15)
根據(jù)式(10)，式(8)可寫為
s=αx1+x2+λ|x1|α1+β1sgn(x1)。
(16)
當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面s=0時，根據(jù)式(1)和式(16)可得
(17)
綜上所述，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂，且在趨近階段的收斂時間
T=t1+t2。
(18)
二階非線性系統(tǒng)以小車倒立擺系統(tǒng)(式(4))為例進行仿真對比，如圖1～圖3所示。
FTSMC的控制參數(shù)設(shè)定基于文獻[23]，為了客觀對比滑模面，所提TVFTSMC選擇式(8)，此時設(shè)置α1=1.5，β1=0.6，Δ=0.1，κ=30，其余控制參數(shù)與FTSMC相同。從圖1～圖3可見，無論擺角、擺角角速度還是滑模面，TVFTSMC的收斂速度均快于FTSMC。
2.2 基于雙曲正切跟蹤微分器的干擾觀測器
考慮到TVFTSMC抑制干擾的能力不足，根據(jù)毛海杰等[24]和DONG等[25]提出的跟蹤微分器，設(shè)計基于雙曲正切跟蹤微分器的非線性干擾觀測器實時估計系統(tǒng)干擾，以削弱擾動對系統(tǒng)控制精度的影響。雙曲正切跟蹤微分器可以保證所提干擾觀測器的穩(wěn)定性和收斂性，且具有優(yōu)秀的跟蹤性能，可用于估計多種類型不確定擾動，并可克服現(xiàn)有干擾觀測器需要擾動上下界及其第i個導(dǎo)數(shù)Lipschitz上界的先驗信息的缺點。
以二階非線性系統(tǒng)(式(4))為例，考慮系統(tǒng)
(19)
式中：x2和u分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入，x2∈，u∈;d為系統(tǒng)的外部干擾,d∈。
引理1[26]對于系統(tǒng)
(20)
引理1提供了一種基于跟蹤微分器干擾觀測器的通用設(shè)計方法，可通過構(gòu)造合適的跟蹤微分器，進一步將其應(yīng)用于干擾觀測器設(shè)計。
雙曲正切函數(shù)在平衡點附近近似為線性函數(shù)，在遠離平衡點時具有非線性函數(shù)的特點[24]，基于雙曲正切函數(shù)設(shè)計的跟蹤微分器形式簡單，需要整定的參數(shù)較少，由于其函數(shù)光滑連續(xù)，可以有效抑制輸出抖振。本文所提干擾觀測器的突出優(yōu)點是幾乎可以估計所有類型的干擾，且不需要干擾的先驗信息?；陔p曲正切跟蹤微分器設(shè)計的非線性干擾觀測器如下：
(21)
此時，考慮外部干擾d=5sin(t)，二階非線性系統(tǒng)以小車倒立擺系統(tǒng)(式(4))為例，所提TVFTSMC控制算法在有無非線性干擾觀測器兩種情況下的仿真對比如圖4和圖5所示。圖6所示為觀測器的干擾跟蹤曲線，可見非線性干擾觀測器可以很好地估計外部干擾，并將估計的干擾補償給控制器，抑制了擾動對控制精度的影響，使系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂，從而削弱控制輸入抖振，提高系統(tǒng)魯棒性。
綜上所述，所提TVFTSMC控制算法在非線性二階系統(tǒng)中具有良好的控制性能，然而若直接應(yīng)用于四階欠驅(qū)動系統(tǒng)，則將因其強耦合性質(zhì)而嚴(yán)重影響TVFTSMC的控制效果。為解決該問題，下面對本文所提方法結(jié)合解耦控制算法在四階欠驅(qū)動系統(tǒng)中的控制性能進行討論。
3 基于非線性干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?/h2>3.1 基于干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?/h3>
根據(jù)文獻[27]提出的解耦滑模控制(Decoupled Sliding Mode Control, DSMC)，將四階非線性系統(tǒng)(式(3))分解為如下兩個子系統(tǒng)分別設(shè)計滑模面：
(22)
(23)
每個子系統(tǒng)基于滑模面有單獨的控制目標(biāo)，目的是提出一種控制策略，使得兩個子系統(tǒng)的狀態(tài)從初始狀態(tài)到達滑模面s1=0和s2=0，然后沿滑模面趨近至原點。
設(shè)計非線性系統(tǒng)(式(3))的時變快速終端滑模面s1和s2：
(24)
式中：a1,λ1,a2,λ2>0；γ1(x1-z)和γ2(x3)為式(9)所示的非線性函數(shù)，
γ1(x1-z)=
α1+β1tanh[κ1((x1-z)2-Δ1)]，
(25)
(26)
z表示將子系統(tǒng)B的滑模面信息引入子系統(tǒng)A的滑模面中，
z=zu×sat(s2/φ),0(27)
式中：sat(s2/φ)為飽和函數(shù)，
(28)
φ為s2的邊界層厚度且為正常數(shù)；zu為|z|的上界，且0根據(jù)式(9)、式(22)和式(27)，對滑模面s1求導(dǎo)：
×ln(|x1-z|)sgn(x1-z)+f01+b1u+n1;
(29)
(30)
(31)
為保證到達滑模面，選取雙冪次趨近律為[28]
k2|s1|c2sgn(s1)。
(32)
式中：c1，c2，k1，k2為正常數(shù)，且01。
根據(jù)式(29)、式(31)和式(32)可得控制器的切換控制項
usw=-[k1|s1|c1sgn(s1)+
k2|s1|c2sgn(s1)]/b1。
(33)
因此系統(tǒng)整體的控制律為u(t)=ueq+usw，
(34)
(35)
(36)
3.2 穩(wěn)定性分析
定理2針對非線性系統(tǒng)(式(3))，用干擾觀測器估計系統(tǒng)總擾動，選取滑模面(式(24))，在控制律(式(35))作用下，非線性系統(tǒng)(式(3))的整體滑模面可以在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)間
|s1|≤min{(δ/k1)1/c1,(δ/k2)1/c2}
(37)
內(nèi)，且收斂時間
(38)
證明定義Lyapunov標(biāo)量函數(shù)
(39)
對V求一次時間導(dǎo)數(shù)并將式(3)、式(24)和式(34)代入，已知干擾觀測器估計的干擾誤差|ξ|≤δ，可得
=s1(-k1|s1|c1sgn(s1)-k2|s1|c2sgn(s1)+ξ)
=-k1|s1|c1+1-k2|s1|c2+1+ξs1
≤-k1|s1|c1+1-k2|s1|c2+1+δ|s1|。
(40)
設(shè)δ≤k1|s1|c1+k2|s1|c2，將式(40)化為如下兩種形式：
(41)
(42)
(1)|s1|≥(δ/k2)1/c2
(43)
因此，V由V0收斂至V1所需的時間T1≤T1max，其中V0和s0分別為Lyapunov函數(shù)V和滑模面s1的初始值，且
(44)
(2)|s1|≥(δ/k1)1/c1
(45)
同理可知，V由V0收斂至V2所需的時間T2≤T2max，其中
(46)
綜上所述，系統(tǒng)總體滑模面s1將在有限時間內(nèi)收斂至如式(37)所示的區(qū)域，定理2得證。
定理3對于非線性系統(tǒng)(式(3))，選取滑模面(式(24))，在控制律(式(35))作用下，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。
證明設(shè)t1≤γ1(x1-z)≤t2，其中t1，t2為正常數(shù)，則滑模面s1可表示為：
s1a1(x1-z)+x2+λ1|x1-z|t2sgn(x1-z)；
s1≥a1(x1-z)+x2+λ1|x1-z|t1sgn(x1-z)。
(47)
(48)
進一步得出：
(49)
式(49)的解可表示為：
(50)
4 仿真分析
倒立擺系統(tǒng)是控制科學(xué)中典型的物理模型，常用于檢驗新的控制理論和算法的正確性及其在實際應(yīng)用中的有效性，其控制方法在半導(dǎo)體及精密儀器加工、人工智能、機器人控制技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面均具有廣闊的前景。為了驗證所提控制策略的有效性和優(yōu)越性，采用MATLAB對小車倒立擺系統(tǒng)進行仿真，并分別與文獻[19-20，29]提出的非奇異解耦終端滑模控制(Nonsingular Decoupled Terminal Sliding Mode Control, NDTSMC)、TVSSs、DSMC進行對比仿真。小車倒立擺系統(tǒng)模型如圖8所示，其動態(tài)方程可用式(3)表示，其中系統(tǒng)的非線性函數(shù)f01(x)，b1(x)，f02(x)，b2(x)分別為：
f02(x)=
(51)
式中：x1為擺桿與垂直軸的角度;x2為擺桿的角速度，x3為小車位置;x4為小車速度;mt為小車倒立擺系統(tǒng)的總質(zhì)量(包括擺桿和小車的質(zhì)量mp和mc，mt=mp+mc);L是擺桿長度的一半。為了仿真，設(shè)置小車倒立擺的系統(tǒng)參數(shù)和初始條件L=0.5 m，mc=1 kg，mp=0.1 kg，g=9.8 m/s2,x(0)=[-30°,0,0,0]T。
設(shè)小車倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)不確定性Δf1(x)=0.5sin(x1)，Δf2(x)=0.5sin(x3)，系統(tǒng)外部干擾d1=d2=0.087 3sin(t)，則n1=0.087 3sin(t)+0.5sin(x1)，n2=0.087 3sin(t)+0.5sin(x3)。
表1所示為本文所提方法NDOTVDFTSMC和對比方法的控制參數(shù)。為了更加客觀地與其他控制方法比較，本文對文獻[19-20，29]的部分參數(shù)進行了少量改動。
表1 仿真中使用的控制參數(shù)
將本文所提NDOTVDFTSMC與DSMC，NDTSMC，TVSSs進行對比，其擺角、小車位置、控制輸入量和滑模面s的響應(yīng)曲線分別如圖9～圖12所示。
為了評估控制算法的穩(wěn)定性和優(yōu)越性，引入如下兩個性能指標(biāo)：
(1)絕對誤差積分準(zhǔn)則(IAE)
(52)
(2)時間乘誤差絕對值積分(ITAE)
(53)
式中ei(τ)為系統(tǒng)狀態(tài)與期望值之間的誤差。
表2所示為各方法應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)的IAE值和ITAE值?？梢姡瑢τ谙到y(tǒng)小車位置狀態(tài)x3的穩(wěn)定性和收斂性，本文所提方法的IAE和ITAE值更小，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好；對于系統(tǒng)擺角狀態(tài)x1，因為其他3種方法優(yōu)先考慮的是狀態(tài)x1的動態(tài)品質(zhì)，所以系統(tǒng)狀態(tài)x1的兩項指標(biāo)明顯優(yōu)于狀態(tài)x3，而本文方法兼顧擺桿擺角和小車位置狀態(tài)的動態(tài)品質(zhì)，在狀態(tài)x3的性能指標(biāo)比其他方法有較大優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定性雖與TVSSs相比無明顯差異，但明顯優(yōu)于其他方法。綜合上述結(jié)果說明，與其他方法相比，所提方法具有更好的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)。
表2 各種方法應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)的IAE和ITAE值
圖9和圖10所示分別為系統(tǒng)擺角和小車位置的暫態(tài)響應(yīng)曲線，雖然所提控制方法擺角的超調(diào)量較大，但是收斂速度明顯快于其他控制方法；對小車位置而言，無論超調(diào)量還是收斂速度，所提控制方法均具顯著優(yōu)勢，而且穩(wěn)態(tài)誤差更低。相比DSMC，所提控制算法能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂；相比NDTSMC，所提控制算法之所以能夠快速收斂的一部分原因是加入了線性項，并將其在控制器對位移極點的作用過程中應(yīng)用于系統(tǒng)；相比TVSSs，因為所設(shè)計的非線性函數(shù)構(gòu)造的時變滑模面兼顧系統(tǒng)狀態(tài)在各時刻的收斂速度，所以縮短了整個趨近過程中的收斂時間。
圖11和圖12所示分別為不同控制算法的系統(tǒng)整體滑模面曲線和控制輸入曲線，可見所提控制方法的滑模面在更短時間內(nèi)收斂且保持穩(wěn)定。由于本文方法使用時變滑模面，滑模面函數(shù)中的指數(shù)項通過設(shè)計的非線性函數(shù)進行優(yōu)化調(diào)整，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)在遠離或接近滑模面時都具有較快的收斂速度，滑模面和控制器的部分參數(shù)在收斂穩(wěn)定之前也隨系統(tǒng)狀態(tài)變化，目的是解決快速終端滑模指數(shù)項參數(shù)的取值限制問題，最大化快速終端滑模的趨近速率。因為系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)曲線對滑模函數(shù)指數(shù)項參數(shù)的變化比較敏感，所以所提控制方法在收斂前會出現(xiàn)一定抖振，然而無論滑模面曲線還是控制輸入曲線，收斂至穩(wěn)態(tài)后的抖振都更小。
為了進行魯棒性分析，在不同的初始條件、參數(shù)不確定性和外部擾動下重復(fù)進行仿真研究。設(shè)系統(tǒng)初始條件x(0)=[-10°,0,0,0]T，參數(shù)不確定性Δf1(x)=0.6sin(x1)，Δf2(x)=0.6sin(x3)，系統(tǒng)外部干擾d1=d2=0.01sin(t)。
擺角位置、小車位置、滑模面和控制輸入的響應(yīng)曲線分別如圖13～圖16所示，與本文的研究結(jié)果相似，也證實了所提控制方案在不同條件下都具有良好的魯棒性。
在此基礎(chǔ)上，增加控制器干擾n=2sin(t)，系統(tǒng)表示為：
(54)
系統(tǒng)擺角和小車響應(yīng)曲線如圖17和圖18所示，相比其他控制方法，加入控制器干擾后，本文方法的控制性能仍然具有優(yōu)越性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，這歸功于非線性干擾觀測器對系統(tǒng)總體干擾的實時觀測。
5 結(jié)束語
針對一類四階欠驅(qū)動非線性系統(tǒng)，本文提出一種NDODTVFTSMC策略，旨在提高和優(yōu)化現(xiàn)階段提出的TSMC的趨近速率和抖振現(xiàn)象。所提控制策略結(jié)合傳統(tǒng)滑?？刂圃跔顟B(tài)遠離平衡點時收斂快和終端滑模能在有限時間內(nèi)收斂的優(yōu)點，用一個非線性函數(shù)將快速終端滑模設(shè)計為時變快速終端滑模，從而提高系統(tǒng)在各階段的收斂速度，再通過解耦算法完成了對四階系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。仿真結(jié)果和數(shù)值分析表明，相比DMSC，NDTSMC，TVSSs，所提時變快速終端滑模提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，削弱了抖振，并利用基于雙曲正切跟蹤微分器的非線性干擾觀測器有效抑制外部擾動和系統(tǒng)不確定性，提高了系統(tǒng)控制的魯棒性，使本文方法在抑制抖動、穩(wěn)定性、響應(yīng)速度等各方面均具明顯優(yōu)勢。
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楊光宇，陳思溢，王雨軒，鄭貝陽，黃輝先
(湘潭大學(xué) 自動化與電子信息學(xué)院，湖南 湘潭 411105)
0 引言
欠驅(qū)動機械系統(tǒng)(Underactuated Mechanical Systems, UMS)指獨立的控制輸入維數(shù)少于系統(tǒng)自由度的一類系統(tǒng)[1]，其結(jié)構(gòu)簡單，同時由于系統(tǒng)高度非線性、參數(shù)擾動及控制量受限等，欠驅(qū)動系統(tǒng)又足夠復(fù)雜，適合于研究和驗證各種算法的有效性[2]；當(dāng)全驅(qū)動系統(tǒng)的部分驅(qū)動器出現(xiàn)故障時，系統(tǒng)相應(yīng)變?yōu)榍夫?qū)動系統(tǒng)，欠驅(qū)動系統(tǒng)控制算法可以進行容錯控制。鑒于現(xiàn)實生活中的很多系統(tǒng)均以欠驅(qū)動形式存在，如移動機器人、航天飛行器、倒立擺等[3]，針對欠驅(qū)動系統(tǒng)的研究具有重要的理論與實際意義。
欠驅(qū)動系統(tǒng)領(lǐng)域研究比較復(fù)雜的原因是執(zhí)行器的數(shù)量少于需要控制的自由度，許多傳統(tǒng)非線性控制方法并不適用，近年來主要用基于反饋線性化[4]、能量法[5]、反步法[6]、滑?？刂品╗7-8]和模糊邏輯法[9]等方法進行UMS穩(wěn)定控制[10]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)算法簡單，對干擾和未建模系統(tǒng)狀態(tài)具有很強的魯棒性，且響應(yīng)速度快，本文主要討論滑?？刂品椒?。
滑?？刂?Sliding Mode Control, SMC)本質(zhì)上是一類特殊的非線性控制，其不連續(xù)的開關(guān)特性使系統(tǒng)抖振不可避免，影響了系統(tǒng)性能，如果處理不當(dāng)，則可能引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。因為滑動模態(tài)可以進行設(shè)計而且與控制對象的參數(shù)和擾動無關(guān)，所以SMC具有響應(yīng)速度快、魯棒性強、對參數(shù)變化和擾動不靈敏等優(yōu)點[11]。其中，抖振為SMC系統(tǒng)中普遍存在的問題，消除抖振會使變結(jié)構(gòu)控制失去對干擾和攝動的抑制能力，而且無法完全消除，只能對其進行削弱。如何在削弱抖振的基礎(chǔ)上盡可能提高滑模面的趨近速率，是目前滑?？刂祁I(lǐng)域重要的研究課題[12]。
SMC采用線性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)在接近平衡點時的收斂速度非常慢且收斂時間不能確定[13]，為此，終端滑?？刂?Terminal SMC, TSMC)在傳統(tǒng)滑模面函數(shù)的基礎(chǔ)上加入分?jǐn)?shù)指數(shù)項，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后，將沿設(shè)計的指數(shù)規(guī)律逐漸趨近于平衡點，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂[14-15]。然而，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達原點后，由于非線性項中存在負數(shù)冪，傳統(tǒng)TSMC的控制律出現(xiàn)奇異性，導(dǎo)致控制律無界，而且系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時收斂速度較慢。為了提高傳統(tǒng)TSMC的收斂速度，楊俊起等[16]結(jié)合傳統(tǒng)滑模控制的優(yōu)點，在TSMC滑模面函數(shù)中加入線性項，提出快速終端滑?？刂?Fast TSMC, FTSMC)方法，提高了系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時的收斂速度，具有更好的收斂性；MOBAYEN[17]提出不同形式的FTSMC，對滑模函數(shù)中指數(shù)項的取值更靈活，但因需要同時考慮系統(tǒng)狀態(tài)在各階段的收斂速度而對指數(shù)項的取值有所限制，制約了收斂速度的進一步提升。
上述TSMC通常應(yīng)用于二階系統(tǒng)，而強耦合的復(fù)雜四階欠驅(qū)動系統(tǒng)為二自由度，由于其獨立控制輸入少于自由度，無法構(gòu)造單一的控制量使欠驅(qū)動系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都趨于穩(wěn)定，直接使用上述方法不能獲得相同的控制性能。例如，在小車倒立擺系統(tǒng)中，擺桿擺角狀態(tài)和小車位置狀態(tài)存在耦合，直接使用TSMC可以成功控制擺桿或小車位置，但若要求同時對二者進行精準(zhǔn)控制，則控制效果不佳。為了解決這類問題，解耦終端滑?？刂?Decoupled TSMC, DTSMC)通過將一類四階系統(tǒng)解耦為兩個二階子系統(tǒng)，并分別設(shè)計終端滑模面，再通過中間變量構(gòu)成一個整體滑模面，構(gòu)造了一個單一的控制量，實現(xiàn)了對小車倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制[18]。
時變滑模面(Time-Varying Sliding Surfaces, TVSSs)解決了一般滑模面函數(shù)參數(shù)取值的局限性，可以同時考慮系統(tǒng)狀態(tài)在各個階段趨近的情況，并能夠顯著縮短到達階段的趨近時間。BAYRAMOGLU等[19]和YORGANCIOLU等[20]根據(jù)模糊規(guī)則，用模糊規(guī)則庫導(dǎo)出的線性函數(shù)重新定義了SMC滑模面坡度，提高了系統(tǒng)整體趨近速率，并結(jié)合快速終端滑模，用解耦方法完成了對四階系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。
綜上所述，TVSSs雖然解決了四階系統(tǒng)的耦合問題并提高了趨近速率，但是其小車位置狀態(tài)響應(yīng)速率很慢。根據(jù)快速終端滑模的結(jié)構(gòu)形式，由于其指數(shù)項參數(shù)選擇的局限，限制了系統(tǒng)的趨近效率，本文提出一種變冪次的時變快速終端滑模，通過設(shè)計一個非線性函數(shù)代替快速終端滑模的指數(shù)項，解決參數(shù)選取的局限性，提高系統(tǒng)狀態(tài)在各時刻的趨近速率，同時結(jié)合解耦算法，處理系統(tǒng)的強耦合性；針對系統(tǒng)參數(shù)的不確定性以及外部干擾對控制效果的影響，設(shè)計一個非線性干擾觀測器，通過將觀測到的總體干擾補償給控制器來提高控制器的魯棒性。與現(xiàn)有解耦方法相比，所提基于非線性干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?Decoupled Time-Varying Fast Terminal Sliding Mode Control based on Non-linear Disturbance Observer, NDODTVFTSMC)策略具有更快的瞬態(tài)響應(yīng)與更低的絕對誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Absolute value of Error criterion, IAE)和時間乘絕對誤差積分準(zhǔn)則(Integral of Time multiplied by the Absolute value of Error criterion, ITAE)值。
1 問題描述
本文考慮的四階欠驅(qū)動系統(tǒng)以一級小車倒立擺系統(tǒng)為例，可以建模為如下形式[19,21-22]：
y=[x1(t),x3(t)]T。
(1)
式中：x(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量，x1(t),x2(t),x3(t),x4(t)分別為擺桿角度、擺角角速度、小車位置和小車速度；y=[x1(t),x3(t)]T為系統(tǒng)的輸出向量，本文考慮系統(tǒng)的擺角和小車位置；f1(x),f2(x),b1(x),b2(x)為系統(tǒng)動態(tài)特性的非線性函數(shù)，且均不等于0；u(t)為控制輸入；d1，d2為系統(tǒng)的外部擾動?？紤]到系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，有：
f1(x)=f01(x)+Δf1(x)；
f2(x)=f02(x)+Δf2(x)。
(2)
式中：f01(x)和f02(x)為函數(shù)的已知部分；Δf1(x)和Δf2(x)為函數(shù)的未知部分。故式(1)的動態(tài)方程為：
(3)
式中：n1=Δf1(x)+d1，n2=Δf2(x)+d2，表示系統(tǒng)整體擾動，包括系統(tǒng)參數(shù)的不確定性和系統(tǒng)外部擾動。
一級小車倒立擺系統(tǒng)只有一個控制輸入u(t)，為單輸入多輸出系統(tǒng)，且具有強耦合特性。在耦合的情況下，若使用TSMC方法直接控制系統(tǒng)，則分別使系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)，x2(t)或x3(t)，x4(t)在有限時間內(nèi)趨近平衡點，這意味著控制輸入u(t)只能精確控制擺桿或小車，不能同時使兩者保持穩(wěn)定。
TSMC直接應(yīng)用于四階欠驅(qū)動系統(tǒng)時，其控制效果不能滿足實際要求，而應(yīng)用于二階系統(tǒng)則具有優(yōu)越的控制性能，因此研究終端滑模首先考慮二階系統(tǒng)。對于小車倒立擺系統(tǒng)，若只考慮擺桿或小車，不失一般性，則可將式(1)表示為如下規(guī)范形式的二階非線性系統(tǒng)：
(4)
式中：x(t)=[x1(t),x2(t)]T為系統(tǒng)狀態(tài)向量；f(x),b(x)為系統(tǒng)動態(tài)特性的非線性函數(shù)，且均不為0；u(t)為控制輸入；d為外部干擾。
2 二階系統(tǒng)的新型快速終端滑模控制
2.1 變冪次快速終端滑?？刂?/h3>
針對非線性二階系統(tǒng)(式(4))，本節(jié)不考慮干擾對系統(tǒng)的影響，取d=0。文獻[23]提出的FTSMC由以下滑模面描述：
s=αx1+x2+λ|x1|p/qsgn(x1)。
(5)
式中：α>0，λ>0；p和q是滿足p (6) (7) 雖然由式(5)表示的FTSMC中，因增加了線性項αx1而提高了TSMC在狀態(tài)遠離平衡點時的收斂速度，但是在λ|x1|p/qsgn(x1)中，p和q的比值會影響系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，系統(tǒng)狀態(tài)遠離平衡點時希望比值大，系統(tǒng)狀態(tài)趨近平衡點時希望比值小，無法使系統(tǒng)狀態(tài)在整個滑模面快速收斂，而且比值太小會產(chǎn)生抖振。為此，本文根據(jù)文獻[23]所提的FTSMC控制算法將滑模面改進為一種時變快速終端滑模(Time-Varying Fast Terminal Sliding Mode, TVFTSM)，形式為 s=αx1+x2+λ|x1|γ(x1)sgn(x1)。 (8) 式中α和λ的取值與文獻[22]相同。定義γ(x1)為關(guān)于狀態(tài)x1的一個非線性函數(shù)， (9) (10) 定理1對于設(shè)計的時變快速終端滑模面(式(8))，系統(tǒng)狀態(tài)在到達滑模面時可以在有限時間內(nèi)收斂至平衡點，收斂時間為 (11) 證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù) (12) 根據(jù)式(4)和式(8)對式(12)求導(dǎo)得 =x1(-αx1-λ|x1|γ(x1)) (13) 由式(13)可知，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂。根據(jù)式(9)和式(10)，γ(x1)關(guān)于狀態(tài)x1變化，這里將狀態(tài)x1分兩種情況進行討論： 根據(jù)式(10)，式(8)可寫為 s=αx1+x2+λ|x1|α1-β1sgn(x1)。 (14) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面s=0時，根據(jù)式(1)和式(14)可得 (15) 根據(jù)式(10)，式(8)可寫為 s=αx1+x2+λ|x1|α1+β1sgn(x1)。 (16) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面s=0時，根據(jù)式(1)和式(16)可得 (17) 綜上所述，系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂，且在趨近階段的收斂時間 T=t1+t2。 (18) 二階非線性系統(tǒng)以小車倒立擺系統(tǒng)(式(4))為例進行仿真對比，如圖1～圖3所示。 FTSMC的控制參數(shù)設(shè)定基于文獻[23]，為了客觀對比滑模面，所提TVFTSMC選擇式(8)，此時設(shè)置α1=1.5，β1=0.6，Δ=0.1，κ=30，其余控制參數(shù)與FTSMC相同。從圖1～圖3可見，無論擺角、擺角角速度還是滑模面，TVFTSMC的收斂速度均快于FTSMC。 考慮到TVFTSMC抑制干擾的能力不足，根據(jù)毛海杰等[24]和DONG等[25]提出的跟蹤微分器，設(shè)計基于雙曲正切跟蹤微分器的非線性干擾觀測器實時估計系統(tǒng)干擾，以削弱擾動對系統(tǒng)控制精度的影響。雙曲正切跟蹤微分器可以保證所提干擾觀測器的穩(wěn)定性和收斂性，且具有優(yōu)秀的跟蹤性能，可用于估計多種類型不確定擾動，并可克服現(xiàn)有干擾觀測器需要擾動上下界及其第i個導(dǎo)數(shù)Lipschitz上界的先驗信息的缺點。 以二階非線性系統(tǒng)(式(4))為例，考慮系統(tǒng) (19) 式中：x2和u分別為系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入，x2∈，u∈;d為系統(tǒng)的外部干擾,d∈。 引理1[26]對于系統(tǒng) (20) 引理1提供了一種基于跟蹤微分器干擾觀測器的通用設(shè)計方法，可通過構(gòu)造合適的跟蹤微分器，進一步將其應(yīng)用于干擾觀測器設(shè)計。 雙曲正切函數(shù)在平衡點附近近似為線性函數(shù)，在遠離平衡點時具有非線性函數(shù)的特點[24]，基于雙曲正切函數(shù)設(shè)計的跟蹤微分器形式簡單，需要整定的參數(shù)較少，由于其函數(shù)光滑連續(xù)，可以有效抑制輸出抖振。本文所提干擾觀測器的突出優(yōu)點是幾乎可以估計所有類型的干擾，且不需要干擾的先驗信息?；陔p曲正切跟蹤微分器設(shè)計的非線性干擾觀測器如下： (21) 此時，考慮外部干擾d=5sin(t)，二階非線性系統(tǒng)以小車倒立擺系統(tǒng)(式(4))為例，所提TVFTSMC控制算法在有無非線性干擾觀測器兩種情況下的仿真對比如圖4和圖5所示。圖6所示為觀測器的干擾跟蹤曲線，可見非線性干擾觀測器可以很好地估計外部干擾，并將估計的干擾補償給控制器，抑制了擾動對控制精度的影響，使系統(tǒng)狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂，從而削弱控制輸入抖振，提高系統(tǒng)魯棒性。 綜上所述，所提TVFTSMC控制算法在非線性二階系統(tǒng)中具有良好的控制性能，然而若直接應(yīng)用于四階欠驅(qū)動系統(tǒng)，則將因其強耦合性質(zhì)而嚴(yán)重影響TVFTSMC的控制效果。為解決該問題，下面對本文所提方法結(jié)合解耦控制算法在四階欠驅(qū)動系統(tǒng)中的控制性能進行討論。 根據(jù)文獻[27]提出的解耦滑模控制(Decoupled Sliding Mode Control, DSMC)，將四階非線性系統(tǒng)(式(3))分解為如下兩個子系統(tǒng)分別設(shè)計滑模面： (22) (23) 每個子系統(tǒng)基于滑模面有單獨的控制目標(biāo)，目的是提出一種控制策略，使得兩個子系統(tǒng)的狀態(tài)從初始狀態(tài)到達滑模面s1=0和s2=0，然后沿滑模面趨近至原點。 設(shè)計非線性系統(tǒng)(式(3))的時變快速終端滑模面s1和s2： (24) 式中：a1,λ1,a2,λ2>0；γ1(x1-z)和γ2(x3)為式(9)所示的非線性函數(shù)， γ1(x1-z)= α1+β1tanh[κ1((x1-z)2-Δ1)]， (25) (26) z表示將子系統(tǒng)B的滑模面信息引入子系統(tǒng)A的滑模面中， z=zu×sat(s2/φ),0 (27) 式中：sat(s2/φ)為飽和函數(shù)， (28) φ為s2的邊界層厚度且為正常數(shù)；zu為|z|的上界，且0 根據(jù)式(9)、式(22)和式(27)，對滑模面s1求導(dǎo)： ×ln(|x1-z|)sgn(x1-z)+f01+b1u+n1; (29) (30) (31) 為保證到達滑模面，選取雙冪次趨近律為[28] k2|s1|c2sgn(s1)。 (32) 式中：c1，c2，k1，k2為正常數(shù)，且0 根據(jù)式(29)、式(31)和式(32)可得控制器的切換控制項 usw=-[k1|s1|c1sgn(s1)+ k2|s1|c2sgn(s1)]/b1。 (33) 因此系統(tǒng)整體的控制律為u(t)=ueq+usw， (34) (35) (36) 定理2針對非線性系統(tǒng)(式(3))，用干擾觀測器估計系統(tǒng)總擾動，選取滑模面(式(24))，在控制律(式(35))作用下，非線性系統(tǒng)(式(3))的整體滑模面可以在有限時間內(nèi)收斂到區(qū)間 |s1|≤min{(δ/k1)1/c1,(δ/k2)1/c2} (37) 內(nèi)，且收斂時間 (38) 證明定義Lyapunov標(biāo)量函數(shù) (39) 對V求一次時間導(dǎo)數(shù)并將式(3)、式(24)和式(34)代入，已知干擾觀測器估計的干擾誤差|ξ|≤δ，可得 =s1(-k1|s1|c1sgn(s1)-k2|s1|c2sgn(s1)+ξ) =-k1|s1|c1+1-k2|s1|c2+1+ξs1 ≤-k1|s1|c1+1-k2|s1|c2+1+δ|s1|。 (40) 設(shè)δ≤k1|s1|c1+k2|s1|c2，將式(40)化為如下兩種形式： (41) (42) (1)|s1|≥(δ/k2)1/c2 (43) 因此，V由V0收斂至V1所需的時間T1≤T1max，其中V0和s0分別為Lyapunov函數(shù)V和滑模面s1的初始值，且 (44) (2)|s1|≥(δ/k1)1/c1 (45) 同理可知，V由V0收斂至V2所需的時間T2≤T2max，其中 (46) 綜上所述，系統(tǒng)總體滑模面s1將在有限時間內(nèi)收斂至如式(37)所示的區(qū)域，定理2得證。 定理3對于非線性系統(tǒng)(式(3))，選取滑模面(式(24))，在控制律(式(35))作用下，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將在有限時間內(nèi)收斂到平衡點。 證明設(shè)t1≤γ1(x1-z)≤t2，其中t1，t2為正常數(shù)，則滑模面s1可表示為： s1a1(x1-z)+x2+λ1|x1-z|t2sgn(x1-z)； s1≥a1(x1-z)+x2+λ1|x1-z|t1sgn(x1-z)。 (47) (48) 進一步得出： (49) 式(49)的解可表示為： (50) 倒立擺系統(tǒng)是控制科學(xué)中典型的物理模型，常用于檢驗新的控制理論和算法的正確性及其在實際應(yīng)用中的有效性，其控制方法在半導(dǎo)體及精密儀器加工、人工智能、機器人控制技術(shù)、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面均具有廣闊的前景。為了驗證所提控制策略的有效性和優(yōu)越性，采用MATLAB對小車倒立擺系統(tǒng)進行仿真，并分別與文獻[19-20，29]提出的非奇異解耦終端滑模控制(Nonsingular Decoupled Terminal Sliding Mode Control, NDTSMC)、TVSSs、DSMC進行對比仿真。小車倒立擺系統(tǒng)模型如圖8所示，其動態(tài)方程可用式(3)表示，其中系統(tǒng)的非線性函數(shù)f01(x)，b1(x)，f02(x)，b2(x)分別為： f02(x)= (51) 式中：x1為擺桿與垂直軸的角度;x2為擺桿的角速度，x3為小車位置;x4為小車速度;mt為小車倒立擺系統(tǒng)的總質(zhì)量(包括擺桿和小車的質(zhì)量mp和mc，mt=mp+mc);L是擺桿長度的一半。為了仿真，設(shè)置小車倒立擺的系統(tǒng)參數(shù)和初始條件L=0.5 m，mc=1 kg，mp=0.1 kg，g=9.8 m/s2,x(0)=[-30°,0,0,0]T。 設(shè)小車倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)不確定性Δf1(x)=0.5sin(x1)，Δf2(x)=0.5sin(x3)，系統(tǒng)外部干擾d1=d2=0.087 3sin(t)，則n1=0.087 3sin(t)+0.5sin(x1)，n2=0.087 3sin(t)+0.5sin(x3)。 表1所示為本文所提方法NDOTVDFTSMC和對比方法的控制參數(shù)。為了更加客觀地與其他控制方法比較，本文對文獻[19-20，29]的部分參數(shù)進行了少量改動。 表1 仿真中使用的控制參數(shù) 將本文所提NDOTVDFTSMC與DSMC，NDTSMC，TVSSs進行對比，其擺角、小車位置、控制輸入量和滑模面s的響應(yīng)曲線分別如圖9～圖12所示。 為了評估控制算法的穩(wěn)定性和優(yōu)越性，引入如下兩個性能指標(biāo)： (1)絕對誤差積分準(zhǔn)則(IAE) (52) (2)時間乘誤差絕對值積分(ITAE) (53) 式中ei(τ)為系統(tǒng)狀態(tài)與期望值之間的誤差。 表2所示為各方法應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)的IAE值和ITAE值?？梢姡瑢τ谙到y(tǒng)小車位置狀態(tài)x3的穩(wěn)定性和收斂性，本文所提方法的IAE和ITAE值更小，系統(tǒng)穩(wěn)定性更好；對于系統(tǒng)擺角狀態(tài)x1，因為其他3種方法優(yōu)先考慮的是狀態(tài)x1的動態(tài)品質(zhì)，所以系統(tǒng)狀態(tài)x1的兩項指標(biāo)明顯優(yōu)于狀態(tài)x3，而本文方法兼顧擺桿擺角和小車位置狀態(tài)的動態(tài)品質(zhì)，在狀態(tài)x3的性能指標(biāo)比其他方法有較大優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)狀態(tài)x1的穩(wěn)定性雖與TVSSs相比無明顯差異，但明顯優(yōu)于其他方法。綜合上述結(jié)果說明，與其他方法相比，所提方法具有更好的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)。 表2 各種方法應(yīng)用于小車倒立擺系統(tǒng)的IAE和ITAE值 圖9和圖10所示分別為系統(tǒng)擺角和小車位置的暫態(tài)響應(yīng)曲線，雖然所提控制方法擺角的超調(diào)量較大，但是收斂速度明顯快于其他控制方法；對小車位置而言，無論超調(diào)量還是收斂速度，所提控制方法均具顯著優(yōu)勢，而且穩(wěn)態(tài)誤差更低。相比DSMC，所提控制算法能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂；相比NDTSMC，所提控制算法之所以能夠快速收斂的一部分原因是加入了線性項，并將其在控制器對位移極點的作用過程中應(yīng)用于系統(tǒng)；相比TVSSs，因為所設(shè)計的非線性函數(shù)構(gòu)造的時變滑模面兼顧系統(tǒng)狀態(tài)在各時刻的收斂速度，所以縮短了整個趨近過程中的收斂時間。 圖11和圖12所示分別為不同控制算法的系統(tǒng)整體滑模面曲線和控制輸入曲線，可見所提控制方法的滑模面在更短時間內(nèi)收斂且保持穩(wěn)定。由于本文方法使用時變滑模面，滑模面函數(shù)中的指數(shù)項通過設(shè)計的非線性函數(shù)進行優(yōu)化調(diào)整，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)在遠離或接近滑模面時都具有較快的收斂速度，滑模面和控制器的部分參數(shù)在收斂穩(wěn)定之前也隨系統(tǒng)狀態(tài)變化，目的是解決快速終端滑模指數(shù)項參數(shù)的取值限制問題，最大化快速終端滑模的趨近速率。因為系統(tǒng)狀態(tài)的響應(yīng)曲線對滑模函數(shù)指數(shù)項參數(shù)的變化比較敏感，所以所提控制方法在收斂前會出現(xiàn)一定抖振，然而無論滑模面曲線還是控制輸入曲線，收斂至穩(wěn)態(tài)后的抖振都更小。 為了進行魯棒性分析，在不同的初始條件、參數(shù)不確定性和外部擾動下重復(fù)進行仿真研究。設(shè)系統(tǒng)初始條件x(0)=[-10°,0,0,0]T，參數(shù)不確定性Δf1(x)=0.6sin(x1)，Δf2(x)=0.6sin(x3)，系統(tǒng)外部干擾d1=d2=0.01sin(t)。 擺角位置、小車位置、滑模面和控制輸入的響應(yīng)曲線分別如圖13～圖16所示，與本文的研究結(jié)果相似，也證實了所提控制方案在不同條件下都具有良好的魯棒性。 在此基礎(chǔ)上，增加控制器干擾n=2sin(t)，系統(tǒng)表示為： (54) 系統(tǒng)擺角和小車響應(yīng)曲線如圖17和圖18所示，相比其他控制方法，加入控制器干擾后，本文方法的控制性能仍然具有優(yōu)越性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，這歸功于非線性干擾觀測器對系統(tǒng)總體干擾的實時觀測。 針對一類四階欠驅(qū)動非線性系統(tǒng)，本文提出一種NDODTVFTSMC策略，旨在提高和優(yōu)化現(xiàn)階段提出的TSMC的趨近速率和抖振現(xiàn)象。所提控制策略結(jié)合傳統(tǒng)滑?？刂圃跔顟B(tài)遠離平衡點時收斂快和終端滑模能在有限時間內(nèi)收斂的優(yōu)點，用一個非線性函數(shù)將快速終端滑模設(shè)計為時變快速終端滑模，從而提高系統(tǒng)在各階段的收斂速度，再通過解耦算法完成了對四階系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。仿真結(jié)果和數(shù)值分析表明，相比DMSC，NDTSMC，TVSSs，所提時變快速終端滑模提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，削弱了抖振，并利用基于雙曲正切跟蹤微分器的非線性干擾觀測器有效抑制外部擾動和系統(tǒng)不確定性，提高了系統(tǒng)控制的魯棒性，使本文方法在抑制抖動、穩(wěn)定性、響應(yīng)速度等各方面均具明顯優(yōu)勢。2.2 基于雙曲正切跟蹤微分器的干擾觀測器
3 基于非線性干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?/h2>
3.1 基于干擾觀測器的解耦時變快速終端滑?？刂?/h3>
3.2 穩(wěn)定性分析
4 仿真分析
5 結(jié)束語
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