占金青，彭怡平，劉 敏，黃志超

(華東交通大學 機電與車輛工程學院，江西 南昌 330013)

0 引言

拓撲優(yōu)化是在給定的結構設計域、作用載荷、固定邊界及約束條件下尋求最佳材料分布，使其性能指標達到最優(yōu)，它是一種非常有效的概念設計方法[1-3]?，F(xiàn)有研究大多采用剛度最大化的拓撲優(yōu)化模型[4-5]獲得具有最佳載荷傳遞路徑的拓撲結構，計算效率較高，然而獲得的拓撲結構通常不能達到靜強度和疲勞性能的要求，難以滿足實際工程需要。因此，考慮靜強度和疲勞性能約束進行連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計非常必要。

為了滿足靜強度要求，需要采用應力約束進行結構拓撲優(yōu)化設計。DUYSINX等[6]首先采用局部應力約束進行連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化研究，然而局部應力約束導致計算效率較低；CHU等[7-8]采用應力懲罰方法處理局部應力約束，進行多相材料結構應力約束拓撲優(yōu)化設計，避免了大量的局部應力約束；LE等[9]和MENG等[10]采用P范數(shù)將大量局部應力約束轉為全局應力約束，進行結構全局應力約束拓撲優(yōu)化設計研究，大大提高了計算效率，但是拓撲結構邊界容易出現(xiàn)較多中間密度單元；王選等[11]提出一種改進的雙向漸進結構優(yōu)化法，進行全局應力約束下的柔順度最小化結構拓撲優(yōu)化設計，能夠減少結構邊界出現(xiàn)的灰度單元；占金青等[12]采用可分離插值模型計算多相材料結構的各相材料結構應力，利用全局應力約束方法進行多相材料結構拓撲撲優(yōu)化設計；易桂蓮等[13]引入單元重量懲罰函數(shù)和材料許用應力懲罰函數(shù)，以構造結構畸變能約束代替應力約束，建立了板殼結構強度拓撲優(yōu)化模型；LONG等[14]在諧激勵作用下進行基于全局動應力約束的結構拓撲優(yōu)化設計；COLLET等[15]采用qp方法進行周期微結構應力約束拓撲優(yōu)化設計，能夠避免應力約束奇異解問題，而且有效限制了材料微結構的應力水平。

相對于考慮應力約束的拓撲優(yōu)化問題，有關基于疲勞性能約束的結構拓撲優(yōu)化設計研究較少。LEE等[16]采用頻域疲勞評估方法進行結構疲勞壽命約束拓撲優(yōu)化設計；葉紅玲等[17]引入疲勞壽命過濾函數(shù)，提出基于獨立、連續(xù)、映射方法的結構疲勞壽命約束拓撲優(yōu)化設計方法；ZHAO等[18]在周期性隨機動態(tài)載荷作用下，提出基于Crossland準則的結構疲勞約束拓撲優(yōu)化設計方法；COLLET等[19]提出基于Goodman準則的結構疲勞約束拓撲優(yōu)化設計方法，將結構疲勞約束轉化為局部應力約束。在此基礎上，NABAKI等[20]提出連續(xù)體結構全局疲勞約束拓撲優(yōu)化設計方法；侯杰等[21]等在機械連接載荷作用下，將疲勞準則作為設計約束進行結構拓撲優(yōu)化設計。上述研究僅單獨考慮靜強度約束或疲勞性能約束進行結構拓撲優(yōu)化設計，獲得的拓撲構型通常難以同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。

為了滿足多性能指標要求，本文提出一種考慮靜強度和疲勞約束的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計方法，以帶符號的von Mises等效應力的幅值和均值絕對值之和評定結構靜強度，用修正的Goodman疲勞準則評價結構疲勞強度，將結構靜強度和疲勞約束分別轉化為不同的應力約束，再采用P范數(shù)對局部單元應力進行近似最大處理，將多個局部約束轉化為全局應力約束，以結構的體積份數(shù)最小化為目標函數(shù)，建立考慮靜強度和疲勞性能約束的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化模型，并將移動漸近線算法用于求解多性能約束優(yōu)化問題，研究不同幅值和均值參數(shù)對拓撲優(yōu)化結果的影響。

1 結構疲勞分析

假設在正弦載荷作用下，采用準靜態(tài)分析方法進行有限元分析，有限元平衡方程為

KU=Fmax。

(1)

式中：K為總裝剛度矩陣；U為單元節(jié)點位移列陣；Fmax為最大載荷列陣。

因此，單元應力及其幅值和均值分別為：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Fmax和Fmin分別為正弦載荷的最大值和最小值。

(7)

(8)

由式(8)可知，單元von Mises等效應力總為正值，實際上結構的單元von Mises等效應力均值可能為負值。如果采用恒為正值的von Mises等效應力評估疲勞強度，則不能準確反映結構動特性特征的等效應力。因此，采用帶符號的von Mises等效應力[22]表征單元應力均值

(9)

采用修正的Goodman疲勞準則評估疲勞強度，將疲勞性能約束轉為單元e(e=1,2,3,…,N)應力約束：

(10)

(11)

式中：σNf為無限循環(huán)次數(shù)(疲勞壽命次數(shù)Nf≥107)下的許用臨界應力幅值；σut為拉伸強度；N為有限元單元數(shù)。

許用臨界應力幅值σNf采用Basquin方程求得：

(12)

2 基于靜強度和疲勞性能約束的拓撲優(yōu)化模型

2.1 拓撲優(yōu)化模型

采用材料屬性有理近似(Rational Approximation of Material Properties, RAMP)模型[23]對單元的材料彈性模量進行懲罰，使任一單元的彈性模量與單元密度呈一定的非線性函數(shù)關系：

(13)

式中：Ee為單元的彈性模量；ρe為單元的密度變量，即單元設計變量；k為懲罰因子；E0為實體材料的彈性模量。

為了同時滿足靜強度和疲勞性能要求，用帶符號的von Mises等效應力的幅值和均值絕對值之和評定結構靜強度，用修正的Goodman疲勞準則評價結構的疲勞強度，形成由4個L1,e，L2,e，L3,e，L4,e約束和坐標軸圍成的安全區(qū)域，如圖1所示，其中應力約束L1,e和L2,e為疲勞性能約束，L3,e和L4,e為靜強度約束。以結構的體積份數(shù)最小化為優(yōu)化目標，建立考慮靜強度和疲勞性能約束的結構拓撲優(yōu)化數(shù)學模型：

s.t.

0≤ρe≤1，e=1,2,3,…,N。

(14)

2.2 全局應力約束

為了避免應力約束優(yōu)化問題的奇異解現(xiàn)象，采用應力松弛方法[25]對單元應力矢量進行懲罰，任一單元的應力可表示為

(15)

式中q為松弛因子，取值為0.5。

由式(14)的數(shù)學模型可知，將結構的優(yōu)化區(qū)域劃分為N個單元，添加靜強度和疲勞性能約束，意味著每個單元都有4個局部應力約束，總的局部約束為4N個，求解靈敏度的計算成本巨大。因此，采用P范數(shù)[9]對各類局部應力約束Li,e(i=1,2,3,4)進行近似最大處理，將其轉化為多個全局約束優(yōu)化問題，從而大大提高計算效率。對于任一應力約束Li,e，P范數(shù)應力約束值Li,PN可以表示為

(16)

式中p為P范數(shù)的參數(shù)。

理論上，當參數(shù)p趨近無窮大時，P范數(shù)應力約束Li,PN(i=1,2,3,4)近似等于對應的最大約束Li,max，然而參數(shù)p的值越大，引起多性能約束優(yōu)化問題的非線性程度越明顯，甚至導致優(yōu)化迭代不收斂[9]，因此一般p的取值范圍為6～12，本文取p=8，數(shù)值算例能夠獲得很好的拓撲優(yōu)化結果。

由于p=8，P范數(shù)應力約束值Li,PN(i=1,2,3,4)與對應的最大約束值Li,max的差異較大。為此，采用自適應約束縮放方法[26]將P范數(shù)應力約束改寫為

Li,max=γiLi,PN,i=1,2,3,4。

(17)

式中γi為縮放參數(shù)。當?shù)綌?shù)為n時，

i=1,2,3,4。

(18)

(19)

(20)

2.3 靈敏度分析

采用基于梯度的移動漸近線算法[27]求解考慮靜強度和疲勞性能約束的結構拓撲優(yōu)化問題，需要進行優(yōu)化目標和約束的靈敏度分析。

結構體積份數(shù)對單元密度變量的靈敏度表示為

(21)

由式(14)、式(16)和式(17)求得任一Li,max(i=1,2,3,4)應力約束的靈敏度為

(22)

引入伴隨矢量λ，使下列伴隨方程成立：

(23)

則有

(24)

由式(14)和式(16)可得Li,PN對ue的偏導：

(25)

(26)

同理可得Li,PN對ρe的偏導：

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

式中：x和y為任意兩個實數(shù)；ε為無窮小量。

由式(14)和式(32)有：

(33)

(34)

(35)

(36)

由式(2)可得σe分別對ρe和ue的偏導：

(37)

(38)

由式(13)可得Ke對ρe的靈敏度

(39)

3 數(shù)值算例

3.1 L型梁

圖2所示為L型梁的設計域、固定邊界與載荷條件，尺寸為100 mm×100 mm。L型梁的左上端為固定邊界，載荷作用在右下端中點，正弦載荷的最大值為150 N，均勻施加在6單元節(jié)點上(如圖2的局部放大圖)，以避免施加集中載荷造成區(qū)域應力集中。L型梁設計域劃分為6 400個四節(jié)點單元。

首先，采用基于靜強度和疲勞性能約束拓撲優(yōu)化模型對L型梁進行設計，并與僅考慮剛度優(yōu)化的拓撲優(yōu)化結果進行比較。剛度優(yōu)化設計采用體積約束下的柔順度最小化拓撲優(yōu)化模型，結構的體積份數(shù)允許值由考慮靜強度和疲勞性能約束拓撲優(yōu)化結果確定，其他所有設計參數(shù)的取值均相同，并在相同的正弦載荷條件下采用修正的Goodman圖對剛度優(yōu)化獲得的拓撲結構進行疲勞性能評價。在ca=0.4，cm=0.6的正弦載荷條件下，基于靜強度和疲勞性能約束的L型梁結構拓撲優(yōu)化結果如圖3所示，僅考慮剛度優(yōu)化的L型梁結構拓撲優(yōu)化結果如圖4所示，不同拓撲優(yōu)化模型獲得的L型梁優(yōu)化結果如表1所示。

表1 不同拓撲優(yōu)化模型獲得的L型梁優(yōu)化結果

剛度優(yōu)化獲得的L梁拓撲構型的內凹角拐角區(qū)域存在突變邊界，導致明顯的應力集中現(xiàn)象，結構的最大von Mises等效應力為212.603 MPa，由修正的Goodman圖(如圖4c)和表1可知獲得的L梁拓撲結構不滿足L1,e和L3,e應力約束，因此既不能滿足靜強度又不能滿足疲勞性能要求。與剛度優(yōu)化結果不同，考慮靜強度和疲勞性能拓撲優(yōu)化獲得的L型梁拓撲構型，其內凹角拐角區(qū)域有近似弧形的結構，能夠有效抑制應力集中現(xiàn)象，使應力分布更加均勻，最大的von Mises等效應力為165.054 MPa，由修正的Goodman圖(如圖3c)和表1可知，所得L型梁拓撲構型滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。

考慮不同幅值系數(shù)和均值參數(shù)的正弦載荷作用對結構拓撲優(yōu)化結果的影響，選取(ca=0.2,cm=0.8)，(ca=0.6，cm=0.4)，(ca=0.8，cm=0.2)3種正弦載荷條件，進行考慮靜強度和疲勞性能的L型梁結構拓撲優(yōu)化設計，L型梁拓撲構型的內凹角拐角區(qū)域均出現(xiàn)近似弧形的邊界，結構應力分布均勻，分別如圖5～圖7所示，不同正弦載荷條件下的L型梁優(yōu)化結果如表2所示；由修正的Goodman線圖(圖5c、圖6c和圖7c)和表2可知，3種載荷條件獲得的L型梁拓撲構型均滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。隨著正弦作用載荷的幅值系數(shù)ca的增加，L型梁拓撲結構需要更多用材，以同時滿足靜強度和疲勞性能的要求。

表2 不同正弦載荷條件下的L型梁優(yōu)化結果

3.2 懸臂梁

圖8所示為懸臂梁的設計域、固定邊界和載荷條件，尺寸為100 mm×50 mm，其左端為固定邊界，載荷作用在右下端，正弦載荷的最大值為150 N，均勻分布在六單元節(jié)點上，設計域劃分為5 000個四節(jié)點單元。

在σa=0.5,cm=0.5正弦載荷條件下，進行考慮靜強度和疲勞性能的懸臂梁拓撲優(yōu)化設計，優(yōu)化結果如圖9所示，僅考慮剛度優(yōu)化的懸臂梁拓撲優(yōu)化結果如圖10所示，不同拓撲優(yōu)化模型獲得的懸臂梁優(yōu)化結果如表3所示。剛度優(yōu)化獲得的懸臂梁拓撲構型存在明顯的應力集中現(xiàn)象，最大應力集中在固定邊界區(qū)域，最大的von Mises等效應力為243.369 MPa；由修正的Goodman圖(如圖10c)和表3可知，獲得的懸臂梁結構不滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，既不能滿足靜強度又不能滿足疲勞性能的要求。不同于剛度優(yōu)化，考慮靜強度和疲勞性能拓撲優(yōu)化獲得的懸臂梁拓撲構型的應力分布更加均勻，其最大的von Mises等效應力更小，為164.439 MPa；但是由于存在較小尺寸的空洞，可能給制造加工帶來一定困難，可以添加制造尺寸約束來消除空洞。同樣地，由修正的Goodman圖(如圖9c)和表3可知，優(yōu)化獲得的懸臂梁拓撲結構很好地滿足了L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，說明其能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。

表3 不同拓撲優(yōu)化模型獲得的懸臂梁優(yōu)化結果

同樣選取σa=0.3，cm=0.7和σa=0.7，cm=0.3兩種正弦載荷條件，進行考慮靜強度和疲勞性能的懸臂梁拓撲優(yōu)化設計，獲得的懸臂梁拓撲構型分別如圖11和圖12所示，結構的應力分布均勻，不同正弦載荷條件下的懸臂梁優(yōu)化結果如表4所示。由修正的Goodman圖(如圖11c和圖12c)和表4可知，這兩種正弦載荷條件下獲得的懸臂梁拓撲結構均滿足L1,e，L2,e，L3,e，L4,e4個應力約束，能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求。隨著正弦作用載荷幅值系數(shù)ca的增加，懸臂梁拓撲結構需要更多用材，以同時滿足靜強度和疲勞性能的要求。

表4 不同正弦載荷條件下的懸臂梁優(yōu)化結果

4 結束語

本文提出一種基于多性能約束的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計方法。該方法以結構的體積最小化為優(yōu)化目標函數(shù)，以結構靜靜強度和疲勞強度為約束，采用P范數(shù)將結構靜強度和疲勞局部約束轉化為多個全局應力約束，實現(xiàn)了同時考慮靜強度約束和疲勞約束的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計，并通過數(shù)值算例驗證了所提方法的有效性。

數(shù)值算例表明，不同于僅考慮剛度優(yōu)化，考慮靜強度和疲勞性能拓撲優(yōu)化獲得的結構拓撲構型能夠同時滿足靜強度和疲勞多性能指標的要求，并有效抑制應力集中現(xiàn)象，使結構的應力分布更加均勻，最大的von Mises等效應力更??；隨著正弦載荷幅值系數(shù)的增加，基于靜強度和疲勞性能約束拓撲優(yōu)化獲得的拓撲結構需要更多用材，以同時滿足結構的靜強度和疲勞多性能指標的要求。然而，本文方法獲得的拓撲結構存在不光滑的鋸齒邊界，如何將所提優(yōu)化模型與水平集方法結合進行多性能約束的連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化設計，獲得具有光滑邊界的拓撲結構，將是今后的工作重點。