繆惠全，李 杰

(1. 北京工業(yè)大學(xué)城建學(xué)部，北京 100124；2. 北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；3. 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092；4. 上海防災(zāi)救災(zāi)研究所，上海 200092)

由于受到震源的物理機(jī)制、地震波傳播途徑和工程場(chǎng)地條件等因素的影響，工程場(chǎng)地地震動(dòng)表現(xiàn)出了明顯的隨機(jī)性。為了準(zhǔn)確地反映工程系統(tǒng)的地震反應(yīng)信息，特別是結(jié)構(gòu)響應(yīng)的隨機(jī)漲落特征，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)地震反應(yīng)分析。

埋地管線隨機(jī)地震反應(yīng)分析最早可以追溯到Hindy和Novak[1]在1980年的工作，此后，一些學(xué)者進(jìn)一步考慮地震動(dòng)的非平穩(wěn)性、空間相關(guān)性等因素對(duì)地下管線進(jìn)行了隨機(jī)地震反應(yīng)分析[2?3]。近些年來(lái)，一些特殊位置或者特殊形狀的管線的地震反應(yīng)引起了研究者的重視，如海底管線[4?6]、地下綜合管廊內(nèi)的管線[7]、場(chǎng)地土隨機(jī)組合的管線[8]、異型管線[9]等。

隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中供水管網(wǎng)抗震功能反應(yīng)分析事實(shí)上涉及如下四個(gè)方面的工作。首先，供水管網(wǎng)所面臨的“外因”，即隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)模型，恰當(dāng)?shù)牡卣饎?dòng)場(chǎng)模型是實(shí)現(xiàn)正確進(jìn)行供水管網(wǎng)功能分析的基礎(chǔ)?？傮w而言，地震動(dòng)場(chǎng)模型可以分為兩類：一類是非條件模擬，其一般做法是利用功率譜模型和相干函數(shù)模型來(lái)生成地震動(dòng)時(shí)程，幅值的非頻穩(wěn)性主要是通過(guò)施加經(jīng)驗(yàn)的包絡(luò)函數(shù)實(shí)現(xiàn)，代表性的方法是Hao等[10]提出來(lái)的HOP方法；第二類則是條件模擬算法，其中最著名的就是Vanmarcke等[11]提出的，通過(guò)改進(jìn)傳統(tǒng)的Kriging方法而得到的多變量線性預(yù)測(cè)方法(multivariate linear prediction method，MLP method)。其次，則是埋地管網(wǎng)地震反應(yīng)分析模型。該領(lǐng)域常見(jiàn)的分析方法包含了經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法、共同變位法、反應(yīng)位移法(擬靜力分析)、波動(dòng)分析法(動(dòng)力分析)、有限元方法、有限元和離散元相結(jié)合的方法等。經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)法適用性有限，而共同變位法與反應(yīng)位移法因?yàn)楹?jiǎn)單實(shí)用則分別是美國(guó)ALA生命線工程協(xié)會(huì)[12]和日本管道協(xié)會(huì)[13]推薦規(guī)范所采用的方法，有限元方法以及有限元、離散元相結(jié)合的方法，則更多用于管線在滑坡、斷層作用下的大變形分析，計(jì)算相對(duì)復(fù)雜。再次，供水管網(wǎng)抗震功能分析不能脫離隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的分析方法，常見(jiàn)的方法如矩方法、蒙特卡洛模擬法，除此之外還有大量比較小眾的方法，如與機(jī)器學(xué)習(xí)相結(jié)合的蒙特卡洛模擬法[14]、與管理學(xué)相結(jié)合的基于Agent模型的方法[15]、解析圖論法[16]、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)指標(biāo)法[17]、概率圖模型[18]、熵函數(shù)法[19]等。其中，由李杰和陳建兵[20]所提出和發(fā)展的概率密度演化方法，近些年來(lái)引起了領(lǐng)域研究者的重視，并成為國(guó)內(nèi)外流行的方法之一，在隨機(jī)系統(tǒng)動(dòng)力分析、結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制、生命線地震工程等領(lǐng)域得到了應(yīng)用和推廣。最后，則涉及到供水管網(wǎng)功能分析的問(wèn)題。目前，常見(jiàn)的功能分析方法為穩(wěn)態(tài)流方法，該方法計(jì)算簡(jiǎn)便，但無(wú)法反應(yīng)管內(nèi)流體動(dòng)態(tài)變化的情況，也就是說(shuō)，一般管網(wǎng)所謂功能動(dòng)態(tài)分析，其時(shí)間“t”這一物理量是虛擬的。將瞬變流引入管網(wǎng)抗震功能的動(dòng)態(tài)分析，是筆者進(jìn)行的重要嘗試，本論文將其進(jìn)一步拓展至隨機(jī)動(dòng)態(tài)功能分析。

針對(duì)供水管網(wǎng)的地震反應(yīng)分析而言，既有研究存在三個(gè)主要的問(wèn)題：1)忽略了管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響，分析目標(biāo)只是單獨(dú)的管線，而非具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的地下管網(wǎng)；2)經(jīng)典的隨機(jī)振動(dòng)分析方法主要用于線性體系的隨機(jī)地震反應(yīng)分析，難以用于非線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)反應(yīng)分析；3)僅考察管線結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)而未能落實(shí)到管網(wǎng)的功能性分析之上，特別是不能反應(yīng)管網(wǎng)供水功能動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程。

因此，本文在進(jìn)一步修正工程場(chǎng)地地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)物理模型[21]的基礎(chǔ)之上通過(guò)引入埋地管網(wǎng)地震反應(yīng)分析模型[22]，結(jié)合概率密度演化方法[23?24]，實(shí)現(xiàn)了具有非線性特性的埋地管網(wǎng)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析；進(jìn)而，結(jié)合管網(wǎng)流體的瞬變流分析理論實(shí)現(xiàn)了城市供水管網(wǎng)的隨機(jī)功能分析。從而建立了“工程場(chǎng)地隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)模擬→管網(wǎng)系統(tǒng)隨機(jī)地震反應(yīng)分析→滲漏供水管網(wǎng)動(dòng)態(tài)水力分析→供水管網(wǎng)隨機(jī)功能反應(yīng)分析”這一完整的分析路徑，實(shí)現(xiàn)了基于物理機(jī)制的隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中城市供水管網(wǎng)隨機(jī)功能反應(yīng)分析。

本文工作的創(chuàng)新性在于其不僅可有效分析具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的地下管網(wǎng)結(jié)構(gòu)，而且將管網(wǎng)結(jié)構(gòu)的破壞落實(shí)于管網(wǎng)供水功能的分析之中；其次，本文首次將時(shí)間“t”這一物理變量引入震時(shí)供水管網(wǎng)的抗震功能分析之中，真正實(shí)現(xiàn)了供水管網(wǎng)的動(dòng)態(tài)抗震功能反應(yīng)分析。

1 地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的物理模型

工程場(chǎng)地隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)的模擬是地震工程領(lǐng)域的基礎(chǔ)性課題，同本文所研究的問(wèn)題相比，也是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的問(wèn)題，為此，筆者所在的團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了系列的探索和嘗試，代表性成果如文獻(xiàn)[21, 25 ? 28]。本文中所采用的模型是在文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步的修正，其基本的思路是修正了地震波在局部工程場(chǎng)地中頻域內(nèi)的幅值傳遞函數(shù)和相位傳遞函數(shù)，以進(jìn)一步反應(yīng)地震波在局部工程場(chǎng)地中傳播的相位頻散特性。

工程場(chǎng)地地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的物理模型可表述為[21]：

式中：aRS(rl,t)為場(chǎng)地內(nèi)任意一點(diǎn)地震動(dòng)；rl為場(chǎng)地內(nèi)任意一點(diǎn)沿波的傳播方向上到場(chǎng)地入射點(diǎn)的距離；t為時(shí)間；ARS(ξs,ω)為場(chǎng)地地震動(dòng)模型的傅里葉幅值譜；ΦRS(ξs,ω)為模型的相位譜[26]，參數(shù)向量ξs=[ξ,α0,cg]=[A0,τ,ξg,α0,cg]是一個(gè)六維的隨機(jī)向量，其分布信息可以參考文獻(xiàn)[29]。

為了進(jìn)一步反映地震動(dòng)場(chǎng)中地震傳播的相位頻散特性，上述模型修改為：式中：AR(ξ,ω)為工程場(chǎng)地地震動(dòng)模型的傅里葉幅值譜；ΦR(ξ,ω)為相位譜；而反映場(chǎng)地內(nèi)地震波傳播特性的隨機(jī)參數(shù)α0和cg取為隨圓頻率ω改變的函數(shù)，其具體的形式為：

式中，參數(shù)p1、 p2、 p3、q1、 q2為模型中的隨機(jī)參數(shù)，其具體的信息可以根據(jù)SMART-1地震動(dòng)臺(tái)陣所測(cè)地震動(dòng)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模，此處僅給出其結(jié)果，如表1所示。

表1 地震動(dòng)場(chǎng)隨機(jī)參數(shù)分布信息Table 1 Random parameter distribution information of ground motion field model

2 埋地管網(wǎng)地震反應(yīng)分析模型

地震作用下埋地管線可以簡(jiǎn)化為彈性地基梁模型，若忽略管線的動(dòng)力效應(yīng)，其軸向和橫向的控制方程可以表示為[11]：

式中：E為管材的彈性模量；A為管線的橫截面面積；u(x,t)和v(x,t)分別為管線的軸向和橫向位移；kA和kL為管周軸向和橫向的土彈簧系數(shù)；ug(x,t)和vg(x,t)分別為輸入地震動(dòng)的軸向和橫向位移。

將地下管線簡(jiǎn)化為彈性地基梁模型是管線地震反應(yīng)分析的常用方法，如文獻(xiàn)[4, 8]。不同于地上結(jié)構(gòu)，地震作用下地下結(jié)構(gòu)的慣性力不明顯，地下結(jié)構(gòu)通常可采用擬靜力方法進(jìn)行分析，如文獻(xiàn)[12, 30 ? 31]。彈性地基梁模型無(wú)法反應(yīng)管線管壁的屈曲等復(fù)雜行為，而慣性力的忽略，則可能低估管線的地震反應(yīng)，特別是大管徑、高密度材質(zhì)管，但已有的分析表明：這種動(dòng)力影響是非常微弱的[32?34]，這是地下結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬靜力分析的基礎(chǔ)。

對(duì)管線進(jìn)行單元?jiǎng)澐郑⒁暂S向彈簧和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧模擬管段之間的接頭連接，根據(jù)有限單元法，可以建立整個(gè)埋地管網(wǎng)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)控制方程為[22, 30]：

式中：u為管線單元節(jié)點(diǎn)位移向量；ug為地面位移荷載向量；KSYS為系統(tǒng)的總剛度矩陣，可以表達(dá)為：

KL為系統(tǒng)荷載轉(zhuǎn)化矩陣，可以表達(dá)為：

式中：KP為管線單元?jiǎng)偠染仃?；KS為土彈簧單元?jiǎng)偠染仃?；KJ為接頭單元?jiǎng)偠染仃嚕籏JB為邊界連接單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

求解式(8)可以得到管網(wǎng)系統(tǒng)任意單元的地震響應(yīng)。若單元i為接頭則可以得到其軸向變形為：

接口相對(duì)轉(zhuǎn)角為：

3 基于瞬變流的滲漏管網(wǎng)功能分析

供水管線中一維瞬變流的運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程分別為[35?36]：

式中：Q/(m3/s)為管線中流體的流量；V/(m/s)為流體速度；H/Pa為流體壓力；f為摩阻系數(shù)；m為流態(tài)指數(shù)，二者都與摩阻損失(沿程損失)有關(guān)的參數(shù)，與選擇的沿程阻力損失計(jì)算模型有關(guān)；a/(m/s)為小擾動(dòng)在管內(nèi)流體中的傳播速度，可以表達(dá)為：

式中：K/Pa為流體的體積模量；ρ/(kg/m3)為流體的密度；di/m為管道的內(nèi)徑；e/m為管道的壁厚；C1為與管道兩端支撐情況有關(guān)的常數(shù)。

可采用特征差分方法求解上述偏微分方程組[35 ? 36]。

地震作用下管線中某一個(gè)接頭i其滲漏面積可采用如下的計(jì)算方法[37]：式中：do為管線的外徑；δ為接頭縫隙的最大寬度；RL為接口插頭插入承口的深度，對(duì)灰口鑄鐵管，三者參數(shù)值可以參考文獻(xiàn)[38]，對(duì)于球墨鑄鐵管，則可參考文獻(xiàn)[39]；R1和R2為接頭的彈性變形和塑性變形極限值，文獻(xiàn)[40]給出了不同類型接頭R1和R2的統(tǒng)計(jì)值，文獻(xiàn)[41]也可作為有效參考。max(t)為管線接頭受拉變形的歷史最大值，其定義為：

式中，0～T1為地震發(fā)生的起止時(shí)刻。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，一根管線處的滲漏面積可以集中到管網(wǎng)中該管線的兩端節(jié)點(diǎn)處[42]，因此，管網(wǎng)中某一節(jié)點(diǎn)j的總滲漏面積為：

式中：NJ為管線k上的接頭數(shù)；NP為管網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)j所連接的管線總數(shù)。則在管線的滲漏點(diǎn)處，滲漏量與滲漏點(diǎn)處水壓的關(guān)系可以表示為[37]：

式中：QL(t)為滲漏點(diǎn)處的滲漏量；L(t)為滲漏面積；HL(t)為滲漏點(diǎn)水壓；g為重力加速度；C0為滲漏模型參數(shù)，對(duì)剛性接頭，C0參數(shù)可以取值0.06～0.12，對(duì)于柔性接頭，C0參數(shù)可以取值0.03～0.06。

將式(19)引入式(13)與式(14)中，即可求解帶有滲漏的供水管網(wǎng)水壓和流量，以及滲漏量的變化情況。

4 供水管網(wǎng)隨機(jī)功能反應(yīng)分析

為了考察隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中具有非線性特性的城市供水管網(wǎng)的抗震功能，此處引入概率密度演化理論進(jìn)行分析[23?24]。

4.1 概率密度演化理論的物理基礎(chǔ)

一般情況下，工程結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析的基本物理方程可以表述為[20]：

為了實(shí)現(xiàn)基于物理機(jī)制的隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中城市供水管網(wǎng)隨機(jī)功能反應(yīng)分析，建立“工程場(chǎng)地隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)模擬—管網(wǎng)系統(tǒng)隨機(jī)地震反應(yīng)分析—滲漏供水管網(wǎng)水力分析—供水管網(wǎng)隨機(jī)功能反應(yīng)分析”這一完整的分析路徑，當(dāng)?shù)卣饎?dòng)場(chǎng)模型中的隨機(jī)變量為Θ時(shí)，可以根據(jù)式(1)～式(5)得到隨機(jī)的地震動(dòng)場(chǎng)A(Θ)；進(jìn)而，當(dāng)選取供水管網(wǎng)的接頭變形作為隨機(jī)分析考察的狀態(tài)量時(shí)，根據(jù)概率密度演化理論，此時(shí)系統(tǒng)的物理方程即為式(8)，若記接頭變形為R(t)，則考慮隨機(jī)因素影響的接頭變形為R(Θ,t)，則系統(tǒng)的廣義概率密度演化方程為：

求解式(22)則即可得到管網(wǎng)系統(tǒng)接頭的隨機(jī)地震反應(yīng)。而當(dāng)選取供水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水壓作為隨機(jī)分析考察的狀態(tài)量時(shí)，系統(tǒng)的物理方程即為式(13)和式(14)，若記管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水壓為H(t)，則考慮隨機(jī)因素影響的節(jié)點(diǎn)水壓為H(Θ,t)，則此時(shí)系統(tǒng)的廣義概率密度演化方程為：

求解式(23)則可得到管網(wǎng)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)水壓的隨機(jī)反應(yīng)。該偏微分方程的邊界條件為：

4.2 廣義概率密度演化方程的求解步驟

1)對(duì)原始概率空間進(jìn)行合理剖分并選取代表點(diǎn)并確定其賦得概率；

2)數(shù)值求解物理系統(tǒng)式(20)，在本文中即表現(xiàn)為求解埋地管網(wǎng)的地震響應(yīng)，并根據(jù)管線的破壞狀態(tài)，求解管網(wǎng)動(dòng)態(tài)水壓、流量、滲漏量等物理信息，從而給出{Θ=θ}時(shí)廣義概率密度演化方程的廣義速度解答(θ,t)；

3)求解廣義概率密度演化方程；

4)計(jì)算物理過(guò)程X(t)的概率密度函數(shù)為：

5 算例

以一小型供水管網(wǎng)為例對(duì)管網(wǎng)在隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中進(jìn)行功能分析。該管網(wǎng)為一個(gè)小型虛擬供水管網(wǎng)：一方面，其包含了供水管網(wǎng)常見(jiàn)的管線類型，如直管、彎管、T型管、十字型管等；另一方面，其具有管網(wǎng)水力分析代表性的環(huán)狀和樹(shù)狀結(jié)構(gòu)。因此，該案例具有非常好的代表性。

管網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、管線和節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)信息如圖1所示，管線的幾何和材料信息如表2所示，其中：Lp為管線的長(zhǎng)度；do為管道的外徑；di為管道的內(nèi)徑；R1和R2為管線接頭彈性變形和塑性變形的極限值。管材均為灰口鑄鐵管，管段長(zhǎng)度6 m，管材彈性模量為1.50×1011Pa，泊松比0.3，管網(wǎng)處于II類場(chǎng)地，埋深1 m，場(chǎng)地土為中密度粘性土，其不排水抗剪強(qiáng)度為22.93 kPa，因此，軸向和橫向土彈簧系數(shù)可以根據(jù)ALA規(guī)范[12]取得，并如表2所示。

圖1 供水管網(wǎng)Fig. 1 Water supply network

表2 管網(wǎng)中各管線信息Table 2 Information of pipelines in network

5.1 隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)

根據(jù)本文第1節(jié)介紹的工程場(chǎng)地地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)的物理模型，可用基于GF偏差的隨機(jī)選點(diǎn)法選取300個(gè)樣本點(diǎn)[43]，每個(gè)樣本點(diǎn)的維度為9維。該方法由楊俊毅等[44]提出，其中GF偏差的含義為廣義F偏差，即Generalized F-discrepancy，是一種針對(duì)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)分析的點(diǎn)集優(yōu)選策略。據(jù)此可生成300個(gè)不同的地震動(dòng)場(chǎng)。假設(shè)管網(wǎng)抗震設(shè)防烈度為8度(相應(yīng)的設(shè)計(jì)地震峰值加速度0.2 g)，地震入射角度為45°，持時(shí)16 s，不同樣本入射方向上相距100 m的兩點(diǎn)地震動(dòng)位移如圖2所示。

圖2 地震動(dòng)場(chǎng)位移時(shí)程曲線Fig. 2 Displacement history data in seismic field

5.2 管網(wǎng)隨機(jī)地震反應(yīng)分析

按照本文第2節(jié)所提出的埋地管網(wǎng)地震反應(yīng)分析模型，可以得到管網(wǎng)在各個(gè)地震場(chǎng)樣本中的反應(yīng)，包括接頭變形和管體應(yīng)變等信息。進(jìn)而根據(jù)概率密度演化理論可以得到管網(wǎng)的隨機(jī)地震反應(yīng)。此處以9號(hào)管線編號(hào)為1044的接頭為例給出其計(jì)算結(jié)果(接頭1044位置如圖1所示，為距管網(wǎng)3號(hào)節(jié)點(diǎn)第7根管段和第8根管段連接處)。其中，LW和TVD兩種算法得到的接頭1044的300個(gè)樣本點(diǎn)的均值和均方差如圖3所示，其代表性時(shí)刻的概率密度曲線如圖4所示，其變形的概率密度演化曲面和概率密度等高線線如圖5所示。

圖3 接頭1044的均值和均方差Fig. 3 Mean and standard deviation of joint 1044

圖4 接頭1044典型時(shí)刻的概率密度曲線Fig. 4 Probability density curve at typical moment of joint 1044

從圖5可以看出，管網(wǎng)地震反應(yīng)在隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中呈現(xiàn)顯著的隨機(jī)性，其地震響應(yīng)的概率密度隨時(shí)間的演化具有顯著的隨機(jī)漲落特征。

圖5 接頭1044的概率密演化圖和概率密度等高線圖Fig. 5 Probability density evolution map and probability density contour map of joint 1044

對(duì)應(yīng)的，也可以得到管網(wǎng)的破壞情況。根據(jù)本文前述提出的滲漏面積計(jì)算模型，則根據(jù)接頭的變形情況可以得到整個(gè)管網(wǎng)各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的破壞面積。此處仍給出樣本10和樣本16處節(jié)點(diǎn)5處滲漏面積隨時(shí)間的變化情況如圖6所示。從圖6也可發(fā)現(xiàn)，正是由于地震動(dòng)場(chǎng)的隨機(jī)性，管網(wǎng)的破壞過(guò)程和最終的破壞結(jié)果也呈現(xiàn)顯著的差異。

圖6 節(jié)點(diǎn)5處的滲漏面積Fig. 6 Leakage area at node 5

5.3 震時(shí)供水管網(wǎng)功能分析

管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)的幾何信息如表3所示，此處假定節(jié)點(diǎn)1為定壓節(jié)點(diǎn)，水壓為40 m。各管線的水力摩阻系數(shù)f和m均為2.7和0.125。重力常數(shù)g為9.806 m/s2，水的彈性體積模量K為2.2×109N/m2，密度ρ為998.2 kg/m3且滲漏模型中滲漏系數(shù)C0為0.09。定義動(dòng)態(tài)水力計(jì)算時(shí)間為25 s，即地震后仍持續(xù)觀測(cè)9 s，計(jì)算時(shí)間間隔Δt=0.01 s。按照本文第4節(jié)的方法計(jì)算，即得到整個(gè)管網(wǎng)在不同地震動(dòng)場(chǎng)樣本的動(dòng)態(tài)水力。圖7和圖8給出了樣本10和樣本16管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)7處的節(jié)點(diǎn)水壓和滲漏量變化時(shí)程曲線，從圖7和圖8可以看出，隨機(jī)的地震動(dòng)場(chǎng)中管網(wǎng)的供水功能和滲漏量也呈現(xiàn)顯著的差異。

表3 管網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)信息Table 3 Node information in network

圖7 節(jié)點(diǎn)7處不同樣本水壓值Fig. 7 Water pressure of different samples at node 7

圖8 節(jié)點(diǎn)7處不同樣本滲漏量Fig. 8 Water leakage of different samples at node 7

進(jìn)一步根據(jù)概率密度演化方法計(jì)算管網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)水力、流量和滲漏量的概率密度信息。此處以管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)7為例，其水壓的概率密度演化圖和概率密度等高線圖如圖9所示，其滲漏量的概率密度圖和概率密度等高線圖如圖10所示。

從圖9可以看出，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水壓的概率密度呈現(xiàn)明顯的演化特征，特別是在6 s～8 s，也就是地震動(dòng)最劇烈的時(shí)間段，這表明管網(wǎng)的隨機(jī)結(jié)構(gòu)響應(yīng)最終落實(shí)到管網(wǎng)功能的隨機(jī)性。從圖10可以看出節(jié)點(diǎn)7處的滲漏量隨時(shí)間的變化也呈現(xiàn)顯著的隨機(jī)漲落特征，特別是在8 s左右，滲漏量的概率密度峰值顯著降低分散化，并最終逐漸趨于穩(wěn)定。

圖9 節(jié)點(diǎn)7處水壓概率密度圖和概率密度等高線圖Fig. 9 Probability density map and probability density contour map of water pressure at node 7

圖10 節(jié)點(diǎn)7處滲漏量概率密度圖和概率密度等高線圖Fig. 10 Probability density map and probability density contour map of leakage at node 7

節(jié)點(diǎn)7處水壓、滲漏流量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別如圖11和圖12所示。從圖11和圖12不難發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)震到來(lái)之前(0 s～5 s)，管網(wǎng)基本維持正常功能狀態(tài)，如3 s時(shí)節(jié)點(diǎn)7處的水壓均值為10.09 m，滲漏量也非常小，均值0.015 m3/h。隨著強(qiáng)震階段到來(lái)，該節(jié)點(diǎn)處的功能在不同的樣本中出現(xiàn)了顯著的變化，但是在總體上，節(jié)點(diǎn)7處的水壓呈現(xiàn)先降低后升高的現(xiàn)象，破壞穩(wěn)定后的水壓平均值維持在3.79 m，而滲漏量則維持在3.117 m3/h。節(jié)點(diǎn)7處水壓在平均程度上降低了70.47%。

圖11 節(jié)點(diǎn)7處水壓的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig. 11 Mean and standard deviation of water pressure at node 7

圖12 節(jié)點(diǎn)7處滲漏量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差Fig. 12 Mean and standard deviation of leakage at node 7

6 結(jié)論

本文在修正工程場(chǎng)地地震動(dòng)隨機(jī)場(chǎng)物理模型的基礎(chǔ)之上通過(guò)引入埋地管網(wǎng)地震反應(yīng)分析模型，結(jié)合概率密度演化方法實(shí)現(xiàn)了具有非線性特性的埋地管網(wǎng)的隨機(jī)地震反應(yīng)分析；進(jìn)而，利用瞬變流分析理論實(shí)現(xiàn)了城市供水管網(wǎng)的隨機(jī)抗震功能分析；最終建立了“工程場(chǎng)地隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)模擬→管網(wǎng)系統(tǒng)隨機(jī)地震反應(yīng)分析→滲漏供水管網(wǎng)動(dòng)態(tài)水力分析→供水管網(wǎng)隨機(jī)功能反應(yīng)分析”這一完整的分析路徑，實(shí)現(xiàn)了基于物理機(jī)制的隨機(jī)地震動(dòng)場(chǎng)中城市供水管網(wǎng)抗震功能反應(yīng)分析。算例表明：

(1)不同的地震動(dòng)場(chǎng)中，管網(wǎng)的破壞過(guò)程、最終的破壞結(jié)果和抗震功能，均呈現(xiàn)顯著的差異。以本文算例為例，在樣本10中，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)5處的滲漏面積是分階段的增加至0.022 m2，而在樣本16中，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)5處的滲漏面積則是以較快的速度單調(diào)增加至0.062 m2。類似地，前者水壓是先降低至?1.69 m又逐漸增加至3.19 m；而后者則是先降低至?3.68 m并恢復(fù)至0 m而維持基本不變。顯然，這體現(xiàn)了隨機(jī)的地震動(dòng)場(chǎng)對(duì)管網(wǎng)破壞過(guò)程和結(jié)果的影響。

(2)在隨機(jī)地震作用下，管網(wǎng)的地震響應(yīng)、節(jié)點(diǎn)水壓和滲漏量都呈現(xiàn)顯著的隨機(jī)漲落特征。當(dāng)管網(wǎng)破壞狀態(tài)穩(wěn)定以后，管網(wǎng)的節(jié)點(diǎn)水壓和滲漏量，也逐步達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)。本文算例量化的呈現(xiàn)了這一動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。以節(jié)點(diǎn)7處的動(dòng)態(tài)水壓為例，在地震動(dòng)最劇烈的時(shí)間段6 s～8 s，其概率密度分布呈現(xiàn)顯著的變化；而該節(jié)點(diǎn)處的滲漏量，也呈現(xiàn)隨時(shí)間變化隨機(jī)漲落的特征，特別是8 s左右，滲漏量的概率密度峰值顯著降低分散化，并最終逐漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)然，在不同類型的地震動(dòng)場(chǎng)或不同類型的管網(wǎng)，管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)水壓和滲漏量的概率密度的變化時(shí)刻和特點(diǎn)可能會(huì)有所不同，但本文所提的方法可以有效地量化地揭示這一過(guò)程，這在之前對(duì)供水管網(wǎng)抗震功能的分析中是尚未實(shí)現(xiàn)的。

本文的工程應(yīng)用價(jià)值在于：一方面，本文模型更加契合工程實(shí)際，它不僅可以有效反應(yīng)地震作用下具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的地下管網(wǎng)的地震響應(yīng)，奠定管線抗震設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，更重要的是，它將管網(wǎng)結(jié)構(gòu)的物理響應(yīng)落實(shí)于供水管網(wǎng)的功能分析中[45?46]，從而為基于功能的供水管網(wǎng)抗震設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)；另一方面，本文模型真正實(shí)現(xiàn)了管網(wǎng)功能的動(dòng)態(tài)隨機(jī)地震反應(yīng)分析，時(shí)間“t”在系統(tǒng)的功能分析中具有明確的物理意義，從而為管網(wǎng)功能的分析預(yù)測(cè)與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)分析相結(jié)合奠定了基礎(chǔ)。