李 璞，朱 凱，侯佳卉，謝東東，錢厚鵬，金曉清,

(1. 重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400030；2. 重慶大學(xué)航空航天學(xué)院，重慶 400044)

非均質(zhì)材料因其優(yōu)異的力學(xué)性能，被廣泛地應(yīng)用于航空航天、軌道交通、新能源汽車等領(lǐng)域中，如新能源汽車儲氫載體普遍使用碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂[1]，飛機(jī)起落架、機(jī)翼通常選擇鈦基復(fù)合材料[2]。然而，隨著機(jī)械零部件在高溫、重載、高速等極端環(huán)境中的運(yùn)行，由位錯或裂紋引起的表界面失效越來越成為影響機(jī)械零部件服役壽命的關(guān)鍵因素[3?4]。位錯作為工程結(jié)構(gòu)中的重要缺陷，其在微觀層面上的遷移變化，會極大地改變材料的宏觀力學(xué)性能[5]，在非均質(zhì)機(jī)械零部件中，位錯在基體內(nèi)的運(yùn)動還會受到周圍夾雜物如微孔洞、微裂紋、析出相、晶界等因素的極大影響，研究位錯與周圍介質(zhì)的這種相互作用是工程領(lǐng)域和力學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題之一[6?8]。

美國西北大學(xué)的Dundurs教授和Mura教授[9]首次推導(dǎo)出了平面問題下圓形雜質(zhì)和刃型位錯相互作用能(也稱交互能)和位錯受力的解析解。隨后，Stagni和Lizzio[10]進(jìn)一步考慮了自由表面對圓形雜質(zhì)和刃型位錯的影響，并給出了橢圓雜質(zhì)與刃型位錯之間的相互作用解[11]。他們的解[10?11]是以Laurent多項(xiàng)式給出的，但無窮級數(shù)的解在實(shí)際應(yīng)用上則顯得較為不便[12]。Santare和Keer[12]的表達(dá)式中規(guī)避了無窮級數(shù)帶來的不便，他們利用Muskhelishvili的復(fù)變函數(shù)法[13]，對刃型位錯與橢圓形剛體雜質(zhì)的相互作用問題進(jìn)行了解析研究。應(yīng)用該方法[13]，Chen等[14]進(jìn)一步給出了刃型位錯與三層橢圓形雜質(zhì)的彈性解。當(dāng)雜質(zhì)所在區(qū)域變成圓形孔洞時(shí)，Dai[15]進(jìn)一步研究了半平面對刃型位錯的影響，他們的研究是對Dundurs和Mura[9]全平面問題下位錯與圓形孔洞相互作用解的有益補(bǔ)充。

需要指出的是，單個(gè)位錯與雜質(zhì)的相互作用問題是理解材料形變和微結(jié)構(gòu)演化機(jī)制的基礎(chǔ)問題，在眾多方面有著重要的應(yīng)用。如借助離散位錯方法[16]，可以進(jìn)一步將雜質(zhì)與單個(gè)位錯的相互作用關(guān)系擴(kuò)展到雜質(zhì)與裂紋的相互作用問題[17?19]中去，這里的雜質(zhì)-位錯解被作為了求解雜質(zhì)-裂紋相互作用問題的格林函數(shù)[20?21]。另外，當(dāng)考慮雜質(zhì)的尺度效應(yīng)時(shí)，可以分析納米夾雜物對位錯的影響[19?22]，相關(guān)的研究技術(shù)通常需要引入原子模擬[23 ? 24]。

從上述研究[9?12,14?15,19,22,25?27]中可以看出，即使是圓形(或橢圓形)雜質(zhì)與刃型位錯的相互作用問題，其解析解的獲得都顯得頗為不易，而相關(guān)的表達(dá)式在數(shù)學(xué)上也顯得較為復(fù)雜。但是，在實(shí)際的工程材料中，夾雜物不僅具有很強(qiáng)的分布離散性[28]。而且其大小、形態(tài)往往都不一樣，這造成了夾雜物對周圍介質(zhì)不同的應(yīng)力擾動狀態(tài)[29?30]。Ehselby[31]所提出的等效夾雜理論為求解任意形狀夾雜物對彈性場的擾動效應(yīng)提供了可能。等效夾雜法(Equivalent inclusion method，EIM)通過將非均質(zhì)材料問題轉(zhuǎn)為均質(zhì)材料疊加一個(gè)待定的“本征應(yīng)變”問題，可以有效地統(tǒng)一解決塑性應(yīng)變、殘余應(yīng)力、材料相變等問題[32]。雖然Eshelby的等效夾雜法最初是用于求解三維橢球雜質(zhì)問題的，但是正如Jin等[33]在其研究中所指出的那樣：Eshelby等效夾雜法同樣是求解平面應(yīng)變或平面應(yīng)力雜質(zhì)問題的一種有效方法。

對Eshelby上述理論的數(shù)值實(shí)現(xiàn)稱為“數(shù)值等效夾雜法(NEIM)[34]”，即通過對雜質(zhì)所在區(qū)域進(jìn)行數(shù)值離散，相應(yīng)單元上的等效本征應(yīng)變通過迭代法來進(jìn)行確定。Zhou等[34]應(yīng)用數(shù)值等效夾雜法對遠(yuǎn)端受載的平面雜質(zhì)問題進(jìn)行了研究并指出：對于任意Dundurs參數(shù)的材料組合，數(shù)值等效夾雜法均具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性和魯棒性。應(yīng)該指出，著名力學(xué)家Hutchinson[35]提出了一種近似法，用于研究裂紋尖端大量微裂紋的影響，尤其是微裂紋區(qū)域內(nèi)應(yīng)力強(qiáng)度的降低或屏蔽效應(yīng)。由于Hutchinson的方法只考慮零階的局部擾動效應(yīng)[35]而沒有進(jìn)行迭代逼近，因而在文獻(xiàn)中[34]稱為零階迭代近似解。Hutchinson方法的這種思想也被Li等[36?37]應(yīng)用于解決雜質(zhì)和位錯的相互作用問題。但是，和精確解[9]相比。這種近似法具有較大的數(shù)值誤差，尤其是當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于雜質(zhì)附近區(qū)域時(shí)[34?38]。

位錯和夾雜物的交互能及位錯受力對于理解位錯運(yùn)動及其引起的材料微結(jié)構(gòu)變化具有相當(dāng)重要的作用。現(xiàn)有文獻(xiàn)[9 ? 12, 14 ? 15, 19, 22, 25 ? 27,36 ? 37]對雜質(zhì)-位錯交互能和位錯受力的解析解研究，主要探討特定的夾雜形狀，如圓形或橢圓形。而當(dāng)用數(shù)值方法求解交互能時(shí)，需有效處理無窮域上積分，及位錯奇異性問題。近年來，Li等[38]在螺旋位錯與夾雜物的交互能研究上，取得了理論分析和數(shù)值算法的重要突破。在這項(xiàng)工作中，基于反平面剪切問題力學(xué)模型，他們[38]提出相應(yīng)的等效夾雜算法并對圓形異質(zhì)夾雜與螺型位錯的相互作用能進(jìn)行了解析求解，獲得了交互能和彈性能的顯式單元解，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了反平面剪切問題中求解任意形狀雜質(zhì)和螺型位錯的數(shù)值計(jì)算方案。需要指出的是，這項(xiàng)研究首次報(bào)道了一種非多項(xiàng)式非指數(shù)形式的等效本征應(yīng)變，并論證了等效夾雜法可以有效地用于解析求解非均勻本征應(yīng)變。

然而，應(yīng)用等效夾雜原理求解刃型位錯問題的有效性尚未得到驗(yàn)證。一方面，刃型位錯的數(shù)學(xué)表達(dá)式相對螺型位錯而言更加復(fù)雜，加之周圍雜質(zhì)對其產(chǎn)生的擾動效應(yīng)，這使得對該問題交互能的解析求解變得異常困難；另一方面，由于控制方程中待求解的未知量陡然增多，即使是構(gòu)建數(shù)值算法進(jìn)行計(jì)算，也將不得不考量由位錯奇異性和材料錯配性所造成的數(shù)值波動和計(jì)算失穩(wěn)。本文所述及的夾雜物與刃型位錯的交互能研究，進(jìn)一步將反平面計(jì)算模型[38]擴(kuò)展到了平面問題中，通過引入Dundurs參數(shù)，推導(dǎo)了平面問題下的理論模型，并論證了等效夾雜法在求解刃型位錯問題中的有效性；同時(shí)，由于Dundurs參數(shù)的引入，本文數(shù)值算法相對前述論文[38]所提出的計(jì)算方法得到了較大改善，因本文算法極大地削減了迭代計(jì)算中的變量數(shù)目，這進(jìn)一步提高了本文算法的魯棒性和穩(wěn)定性；此外，通過引入相對誤差的范數(shù)形式，本文定量分析了計(jì)算結(jié)果的相對誤差，并對本算法的有效性進(jìn)行了評估。需要指出的是，三維問題下夾雜物與位錯的耦合計(jì)算往往較難獲得解析解，通常需要借助分子動力學(xué)模擬或者ab-initio理論。本文二維分析的計(jì)算，基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的理論框架，相應(yīng)模型的計(jì)算結(jié)果在一定的宏觀尺度上可以揭示具體工程實(shí)際的物理本質(zhì)。

本文借助等效夾雜法，建立了非均質(zhì)材料中雜質(zhì)與刃型位錯的應(yīng)力控制方程，結(jié)合邊界條件、平衡方程和高斯定理，推導(dǎo)了交互能的計(jì)算公式。同時(shí)，本文結(jié)合快速傅里葉變換算法，給出了基于面單元離散的數(shù)值化計(jì)算方案，通過和相應(yīng)的精確解對比，驗(yàn)證了本文計(jì)算方案的有效性；并對本文計(jì)算方案和零次迭代解的無窮范數(shù)和2-范數(shù)進(jìn)行了相對誤差分析，證明了本文計(jì)算方案在求解任意形狀雜質(zhì)與位錯問題上的數(shù)值穩(wěn)定性和有效性。此外，本文還示例分析了任意雜質(zhì)的形狀參數(shù)對交互能的影響。

1 任意形狀夾雜物與位錯交互能的數(shù)值計(jì)算方法

在無限大的平面D中，在(ξ,η)處放置有一個(gè)刃型位錯，在位錯附近分布有一個(gè)任意形狀的雜質(zhì)Ω(圖1)。在本研究中，假定雜質(zhì)和其周圍的基體是完美固結(jié)的，并且基體和雜質(zhì)的彈性模量分別為Cijkl和kl。

圖1 任意形狀雜質(zhì)與刃型位錯的相互作用示意圖Fig. 1 Schematic of an arbitrarily shaped inhomogeneity interacting with an edge dislocation

1.1 夾雜物-位錯問題中的等效夾雜法

根據(jù)Eshelby等效夾雜法的基本原理[29]，在刃型位錯作用下，由于雜質(zhì)Ω存在所產(chǎn)生的應(yīng)力擾動，可以通過一個(gè)分布有合適本征應(yīng)變ε?ij的夾雜問題來模擬(圖2)。因此，圖1中雜質(zhì)與位錯的相互作用應(yīng)力解可以通過疊加一個(gè)均質(zhì)材料解(即位錯解)和相應(yīng)的夾雜解來得到(圖2)。

圖2 雜質(zhì)-位錯問題中的Eshelby等效夾雜法Fig. 2 Schematic of Eshelby's equivalent inclusion method for the interaction between an edge dislocation and an inhomogeneity

式中，α和β為Dundurs參數(shù)，其具體表達(dá)式為：

本文以平面應(yīng)力情況為例，相應(yīng)解可以用來解釋平面應(yīng)變的情況。上述式(4)中的κ為Kolosov常數(shù)，在平面應(yīng)力問題中，κ=(3?ν)/(1+ν)；μ和ν分別表示材料的剪切模量和泊松比。需要指出的是，下標(biāo)1和2分別表示基體和雜質(zhì)。

1.2 夾雜物與位錯的交互能及位錯受力

在圖1所示的任意形狀雜質(zhì)-位錯問題中，在x3方向上單位長度內(nèi)的彈性能W可以看作是雜質(zhì)對刃型位錯做功[38]：

式中：σij為單獨(dú)由雜質(zhì)產(chǎn)生擾動場；為由位錯造成的位移梯度。

單獨(dú)由位錯在均質(zhì)材料中引起的彈性能W0為：

因此，雜質(zhì)與位錯之間的交互能ΔW 為：

為了進(jìn)一步簡化上述式(7)，注意到有下列關(guān)系式：

式中，uk,l為雜質(zhì)產(chǎn)生的位移梯度。

考慮自由邊界條件和平衡方程，并應(yīng)用散度定理，式(7)還可以進(jìn)一步推導(dǎo)成下述形式：

由于本征應(yīng)變只作用在夾雜內(nèi)部，而在夾雜外部為零。因此，式(9)將積分運(yùn)算僅僅限定在了一個(gè)有限且確定的作用區(qū)域上，從而避免了如式(7)所示的在一個(gè)無窮大區(qū)域上的積分計(jì)算，這樣使得在數(shù)值計(jì)算過程中，大大降低了計(jì)算機(jī)存儲空間和不必要的時(shí)間浪費(fèi)。

一旦獲得了位錯與雜質(zhì)之間的交互能，可以進(jìn)一步得到作用在位錯上的力[39]：

式中，i 和j為笛卡爾坐標(biāo)系下的單位基矢量。需要指出的是，正向的位錯受力表示雜質(zhì)和位錯之間是排斥關(guān)系，相反，位錯則受到雜質(zhì)的吸引。

1.3 交互能的數(shù)值計(jì)算方法

從交互能的式(9)可以看出，求解的關(guān)鍵在于確定雜質(zhì)-位錯問題中的等效本征應(yīng)變以及相應(yīng)的應(yīng)力擾動場σij。圖3顯示了基于數(shù)值等效夾雜法求解交互能和位錯受力的計(jì)算流程圖。參數(shù)N為位錯的位置編號，K為迭代次數(shù)。當(dāng)位錯的位置確定時(shí)，在整個(gè)循環(huán)流程中，位錯應(yīng)力場σi保持不變，其具體表達(dá)式可由Hills等[16]專著得到。需要說明的是，在等效夾雜法的數(shù)值實(shí)現(xiàn)中，初始的應(yīng)力擾動場輸入均為零，即K=1時(shí)，σ=0。在不斷迭代過程中，當(dāng)?shù)螖?shù)大于最大迭代次數(shù)Kmax，或者迭代精度小于程序設(shè)置誤差δ時(shí)，輸出最終的等效本征應(yīng)變ε和相應(yīng)的應(yīng)力擾動場σ。

圖3 雜質(zhì)-位錯問題中的交互能和位錯受力的計(jì)算流程圖Fig. 3 Flow-chart of the present computational scheme for solving the interaction energy and force on dislocation due to an edge dislocation interacting with an inhomogeneity

在上述計(jì)算過程中，夾雜應(yīng)力場的耗時(shí)占據(jù)了整個(gè)流程的大部分時(shí)間。根據(jù)疊加法的基本原理，夾雜應(yīng)力場可以表示為如下公式：

式中：Nx、Ny分別為夾雜區(qū)域Ω上沿x和y方向的離散單元數(shù)；(I,J)和(I′,J′)分別表示目標(biāo)場和激勵場的單元編號。這里的Tijkl為影響系數(shù) (其矩陣形式見式(3))，相關(guān)的具體解析表達(dá)式見文獻(xiàn)[40]。

式(11)展示了一類卷積型疊加，利用快速傅里葉變換算法的加速性質(zhì)，可以顯著地提高其運(yùn)算速度，具體操作過程簡述如下[41?43]：首先，將影響系數(shù)矩陣和本征應(yīng)變所代表的激勵矩陣擴(kuò)展到(2Nx×2Ny)的區(qū)域上；接著分別對上述兩個(gè)矩陣完成包卷循環(huán)填充(wrap-around order padding)和補(bǔ)零(zero-padding)操作；經(jīng)過離散傅里葉變換后，將上述兩個(gè)序列在傅里葉頻域內(nèi)進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)相乘；通過對上述乘積進(jìn)行傅里葉逆變換，拋去擴(kuò)展區(qū)域上的無效數(shù)值，即得到傅里葉時(shí)域內(nèi)的夾雜擾動應(yīng)力解。對比直接疊加法和離散傅里葉變換算法可知，式(11)所需的時(shí)間復(fù)雜度為O(9Nx2Ny2)，其中，O(·)表示乘法運(yùn)算的階數(shù)，相應(yīng)地，經(jīng)過傅里葉變換算法加速后，所需的時(shí)間復(fù)雜度為O(108NxNylog2(4NxNy))。由此可知，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)取32 ×32時(shí)，直接疊加法所消耗的時(shí)間將是傅里葉變換算法所消耗時(shí)間的近24倍。隨著網(wǎng)格數(shù)的增多，傅里葉變換算法所取得的時(shí)間加速將更加明顯。需要指出的是，快速傅里葉變換算法是對離散卷積的精確求和[41?43]，可以顯著地提高計(jì)算速度；由于，本文采用了單元離散-疊加的方法，因此，可以用于求解任意形狀雜質(zhì)，包括邊界為平滑或者非平滑截面的夾雜物[34,44]。

為了進(jìn)一步獲得交互能的數(shù)值解，對等效夾雜所在的區(qū)域進(jìn)行矩形單元離散，式(9)可以進(jìn)一步：

在獲得交互能的基礎(chǔ)上，通過中心差分法即可得到作用在位錯上的力。

2 算例分析

2.1 數(shù)值化計(jì)算方法的驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的有效性，考慮在無限大的平面介質(zhì)中分布有一個(gè)半徑為a的圓形夾雜物(圖4)，其剪切模量和泊松比分別為μ2和ν2。在雜質(zhì)外(2a, 0)處作用有一刃型位錯，相應(yīng)的基體彈性模量和泊松比分別為μ1和ν1。表1列出了相關(guān)計(jì)算參數(shù)的數(shù)值大小，其中刃型位錯的Burgers矢量bi取值大小為(1, 0)，其符號的方向定義為：沿著位錯軌跡從位錯核走向無窮遠(yuǎn)處，軌跡的右側(cè)為bi的正向，左側(cè)為bi的負(fù)向。

圖4 圓形雜質(zhì)與刃型位錯的相互作用示意圖Fig. 4 Schematic of a circular inhomogeneity interacting with an edge dislocation

表1 夾雜物和相應(yīng)基體的計(jì)算參數(shù)Table 1 Computational parameters of an inhomogeneity and the corresponding matrix

本文算法采用了迭代次數(shù)K=5的數(shù)值計(jì)算方案，其中，在面單元所離散的夾雜區(qū)域上，單元數(shù)取Nx=32,Ny=32。圖5、圖6中的零次迭代解表示在計(jì)算過程中忽略夾雜擾動場所得到的數(shù)值結(jié)果。本文的解析解來自于Dundurs和Mura教授[9]的計(jì)算結(jié)果，其中的交互能可以從總能量中除去位錯自身能量得到。

圖5 無量綱交互能的變化圖，其中位錯位置ξ/a在x1軸上從1.1移動到1.6Fig. 5 Variation of the normalized interaction energy with dislocation position varying along x1-axis from 1.1 to 1.6

圖6 無量綱位錯受力的變化圖，其中位錯位置ξ/a在x1軸上從1.1移動到1.6Fig. 6 Variation of the normalized force with dislocation position varying along x1-axis from 1.1 to 1.6

在圖5和圖6中，分別對夾雜物(SiC和Ti-6Al-V)和位錯之間的交互能和位錯受力進(jìn)行了無量綱化研究，其中，ΔW0=μ1/[2π(k1+1)]，F(xiàn)0=μ1/[πa(k1+1)]。隨著刃型位錯位置不斷地靠近雜質(zhì)，二者之間的交互能絕對值越來越大，相應(yīng)地，位錯受到雜質(zhì)的排斥效應(yīng)也越來越劇烈。從上述兩幅圖中還可以明顯看出，相對于零次迭代解，本文計(jì)算方案與準(zhǔn)確解具有更好的數(shù)值吻合度。

在文獻(xiàn)[45]中，給出了在刃型位錯(位置在(3.0×10?3mm, 0))周邊存在一個(gè)圓形的非金屬氧化物Al2O3(如圖4所示)，其剪切模量為152 GPa，泊松比為0.22，半徑為2.0×10?3mm，伯格斯矢量的大小為(1.0×10?7mm, 0)。通過本文的計(jì)算，此時(shí)非金屬夾雜物與刃型位錯的交互能和位錯受力如圖7和圖8所示。

圖7 刃型位錯與Al2O3交互能的變化圖，其中位錯位置ξ/a在x1軸上從2.1移動到2.6Fig. 7 Variation of the interaction energy between edge dislocation and Al2O3 where dislocation position varies along x1-axis from 2.1 to 2.6

圖8 位錯受力的變化圖，其中位錯位置ξ/a在x1軸上從2.1移動到2.6Fig. 8 Variation of the force on edge dislocation with dislocation position ξ/a varying along x1-axis from 2.1 to 2.6

2.2 本文計(jì)算方法的可靠性分析

為了更加準(zhǔn)確地分析本文計(jì)算方案與準(zhǔn)確解之間的相對誤差，引入無窮范數(shù)和2-范數(shù)，對零次迭代解和本文數(shù)值方法所得到的交互能和位錯受力進(jìn)行誤差分析，相關(guān)的對比結(jié)果見表2。需要說明的是，計(jì)算中選取了位錯位置ξ/a從1.1到1.5上均勻分布的50個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了計(jì)算。從表格中可以看出，零次迭代解在無窮范數(shù)和2-范數(shù)上均具有較大的相對誤差，而采用本文計(jì)算方案后，相對誤差的范數(shù)均得到極大地減小，說明本文計(jì)算方案在求解過程中具有很好的數(shù)值收斂性和穩(wěn)定性。結(jié)合圖5、圖6及表2可以進(jìn)一步看出，對于只考慮材料解的零次迭代法，當(dāng)計(jì)算點(diǎn)位于雜質(zhì)附近區(qū)域時(shí)，所得到的計(jì)算誤差尤為明顯。

表2 本文數(shù)值計(jì)算方案和零次迭代解之間的相對誤差結(jié)果對比Table 2 Comparisons on relative error of results between the present numerical scheme and 0th solution

2.3 SiC或Ti-6Al-V雜質(zhì)對位錯能量及受力的影響

在航空結(jié)構(gòu)中，通常添加碳化硅或鈦合金顆粒來增強(qiáng)重要部件的機(jī)械強(qiáng)度，但是相關(guān)研究也表明，微裂紋的萌生通常會出現(xiàn)在夾雜物的周邊。為了進(jìn)一步說明本文計(jì)算方法對于求解任意形狀雜質(zhì)與刃型位錯交互能的適用性，對圖9所示的不同形狀的橢圓SiC雜質(zhì)進(jìn)行了分析，其中橢圓的兩個(gè)短半軸比a2/a1分別取0.25、0.5、1.0、2.0、4.0，其中，a1和a2的方向分別沿x1和x2。橢圓形SiC雜質(zhì)和基體的材料常數(shù)采用如表1所示的計(jì)算參數(shù)。從圖9可以看出，隨著刃型位錯沿x1軸移動并不斷靠近雜質(zhì)，二者之間的交互能逐漸增大，且曲線的斜率在靠近雜質(zhì)處漸漸變陡；當(dāng)位錯位置固定時(shí)，隨著a2/a1的比值變大，交互能則逐步增加，但增加趨勢則逐漸變小。

圖9 橢圓形SiC雜質(zhì)與刃型位錯的交互能Fig. 9 Schematic of an elliptical SiC inhomogeneity interacting with an edge dislocation

已有的解析解研究通常只能針對特定的夾雜物形狀展開分析，如標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形或圓形，但是實(shí)際工程中的夾雜物更多是以任意形狀方式進(jìn)行分布的，此時(shí)的解析解在工程應(yīng)用中則受到了極大地限制。在圖10和圖11中，本文選擇了由雜質(zhì)形狀函數(shù)r(m)(ψ)=1+2ancos(mψ)控制的參數(shù)方程，其中，an為形狀系數(shù)，m為粗糙度系數(shù)。在本算例中，形狀系數(shù)取0.03，粗糙度系數(shù)分別取5和8。本文圖10和圖11則對這種形狀的SiC雜質(zhì)和Ti-6Al-V雜質(zhì)與刃型位錯之間的交互能和位錯受力進(jìn)行了研究。

圖10 復(fù)雜形狀雜質(zhì)與刃型位錯的交互能Fig. 10 Schematic of the interaction energy between an inhomogeneity with complex boundary and an edge dislocation

圖11 復(fù)雜形狀雜質(zhì)與刃型位錯作用下的位錯受力Fig. 11 Schematic of the force due to an inhomogeneity with complex boundary and an edge dislocation

從圖中可以看出，比基體較硬的SiC雜質(zhì)對刃型位錯產(chǎn)生的是排斥力，而較軟的鈦鋁合金Ti-6Al-V則會吸引刃型位錯。更為一般的，當(dāng)夾雜物區(qū)域變?yōu)榭锥磿r(shí)，即彈性模量為零，此時(shí)孔洞對其周邊位錯產(chǎn)生的吸引力會進(jìn)一步導(dǎo)致位錯在材料中的湮滅，這種理論所預(yù)測的現(xiàn)象已在實(shí)驗(yàn)中被證實(shí)[46]。此外，對于同一雜質(zhì)與刃型位錯而言，不同形狀雜質(zhì)下產(chǎn)生的交互能和位錯受力大為不同，且這種影響在雜質(zhì)附近處表現(xiàn)尤為明顯。

3 結(jié)論

本文主要研究了任意形狀夾雜物與刃型位錯之間的相互作用機(jī)理及其數(shù)值化計(jì)算方法，并得出以下主要結(jié)論：

(1) 通過數(shù)值等效夾雜法可以建立求解任意形狀雜質(zhì)與位錯之間的控制方程，將非均質(zhì)材料的非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題。

(2) 利用能量法、高斯定理和等效夾雜原理，論證了無窮體內(nèi)夾雜與刃型位錯的交互能可以用夾雜區(qū)域上的積分來表示，避免了在無窮區(qū)域上的數(shù)值計(jì)算。

(3) 相比于零次迭代解，本文計(jì)算方案具有較好的數(shù)值收斂性和穩(wěn)定性。

(4) 本文關(guān)注夾雜物與刃型位錯的交互能及位錯受力，文中圖5和圖6分別定量地展示了它們隨夾雜物位置變化規(guī)律。