林祥華

（福建省廈門市教育科學(xué)研究院）

本節(jié)課所屬章為初中平面幾何的起始章，且內(nèi)容較多，包括角的概念（兩種描述）、角的表示法、角的度量和單位換算、角的畫法等.其中，概念的抽象、幾何語言的應(yīng)用等對(duì)于學(xué)生來說都具有一定的挑戰(zhàn)性.如何在有限的課堂時(shí)間內(nèi)，突出重點(diǎn)，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，避免因內(nèi)容多而導(dǎo)致的“趕任務(wù)、滿堂灌”，這在教學(xué)處理上是有難度的.

執(zhí)教教師基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的理解，進(jìn)行了頗具特色的教學(xué)處理.

一、亮點(diǎn)

本節(jié)課的最大亮點(diǎn)在于教師設(shè)計(jì)了高質(zhì)量的學(xué)習(xí)活動(dòng).“高質(zhì)量”主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面.

1.概念形成的學(xué)習(xí)活動(dòng)深度思辨

學(xué)生與角有關(guān)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)主要包括兩部分：一是小學(xué)階段對(duì)角的基于直觀感知的初步認(rèn)識(shí)；二是本章對(duì)線段的較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí).對(duì)于學(xué)生，角的概念形成的難點(diǎn)在于：角的圖形的組成元素及元素之間的關(guān)系相對(duì)線段更復(fù)雜，定義的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性要求更高.

那么，可以讓學(xué)生自己經(jīng)歷角的概念形成過程給角下定義嗎？

以“角的靜態(tài)描述”為例，學(xué)生分別從實(shí)物中抽象三類角（鈍角、銳角、直角）的圖形后，執(zhí)教教師提出核心任務(wù)“這些圖形有什么共同特征？請(qǐng)你給角下一個(gè)定義”，并設(shè)計(jì)以下學(xué)習(xí)活動(dòng).

教師先指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，小組討論.教學(xué)視頻中，呈現(xiàn)了兩個(gè)小組的討論片段.

甲小組：

生1：我認(rèn)為角應(yīng)該是由一個(gè)點(diǎn)和兩條射線組成的圖形.

生2：我認(rèn)為應(yīng)該不需要說一個(gè)點(diǎn)，兩條射線組成的圖形就可以，只要端點(diǎn)重合在一起，就可以組成角.射線本身帶著端點(diǎn)，所以不需要說“由一個(gè)點(diǎn)”.

（同時(shí)用兩支筆演示.）

乙小組：

生3：角是由一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的兩條射線組成的幾何圖形.

生4：先有角，這兩條射線重合的端點(diǎn)才可以叫頂點(diǎn)，所以只能說“由一個(gè)點(diǎn)發(fā)出的”.

在討論中，學(xué)生自然地關(guān)注到了角的組成元素、元素之間的關(guān)系，甚至關(guān)注到了表述的嚴(yán)謹(jǐn)性.

在展示、辨析環(huán)節(jié)，教師逐個(gè)展示了四個(gè)小組的結(jié)論，并讓學(xué)生進(jìn)行辨析.

結(jié)論1：由兩條射線組成的圖形叫做角.

結(jié)論2：由兩條射線相交而成的圖形叫做角.

結(jié)論3：由端點(diǎn)重合的兩條射線構(gòu)成的圖形叫做角.

結(jié)論4：一個(gè)點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形叫做角.

學(xué)生判斷結(jié)論1和結(jié)論2錯(cuò)誤，并分別畫出反例的示意圖；判斷結(jié)論3和結(jié)論4正確，并分別說明了理由.

這四個(gè)結(jié)論不僅具有典型性，還體現(xiàn)了思維的層次性：在小組討論的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過辨析錯(cuò)誤結(jié)論、舉反例，對(duì)角的組成元素及元素之間關(guān)系的正確認(rèn)識(shí)呼之欲出，再通過辨析正確結(jié)論、說明理由進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí)，完成抽象概括的過程，此時(shí)凝練定義水到渠成.

接下來，是形成定義，總結(jié)方法.

執(zhí)教教師在對(duì)定義進(jìn)行解釋的同時(shí)，指出：“兩條射線”是角的組成元素；有“公共端點(diǎn)”指的是組成元素之間的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)給幾何圖形下定義的方法：描述其組成元素及元素之間的關(guān)系.

上述學(xué)習(xí)活動(dòng)在核心任務(wù)引領(lǐng)下，先放再收，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，始終緊扣概念的關(guān)鍵要素.在活動(dòng)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了活躍、自主、深刻的思辨，對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)由感性到理性，去偽存真，在理解概念的同時(shí)，感受了給幾何圖形下定義的一般方法.

通常，在概念教學(xué)中，我們會(huì)在概念形成后設(shè)計(jì)辨析練習(xí).事實(shí)上，學(xué)生在概念形成過程中對(duì)關(guān)鍵要素進(jìn)行充分辨析更為重要，也更有效.

雖然本節(jié)課內(nèi)容較多，但執(zhí)教教師在“角的靜態(tài)描述”和“角的動(dòng)態(tài)描述”分別用時(shí)9分9秒、10分10秒（不含應(yīng)用練習(xí)）.教師在時(shí)間上的“舍得”，使學(xué)習(xí)活動(dòng)從容有序，為活動(dòng)質(zhì)量提供了很好的保障.

2.不同內(nèi)容的學(xué)習(xí)活動(dòng)多樣適宜

本節(jié)課不同教學(xué)內(nèi)容的主要學(xué)習(xí)活動(dòng)如表1所示.

表1

可以看到，教師的活動(dòng)設(shè)計(jì)充分考慮了與內(nèi)容目標(biāo)、學(xué)生認(rèn)知水平的適切性和學(xué)習(xí)活動(dòng)的多樣性.

（1）與內(nèi)容目標(biāo)、學(xué)生認(rèn)知水平的適切性.

例如，對(duì)于構(gòu)建角的研究思路，學(xué)生有關(guān)于線段的認(rèn)知基礎(chǔ).要求獨(dú)立思考是適切的.而獨(dú)立思考有助于學(xué)生更深刻地感受數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性.

又如，角的度量與單位換算是一種規(guī)定，教材中對(duì)此有較大篇幅的閱讀材料，讓學(xué)生通過自學(xué)研讀了解相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，知道角的度量與單位換算的由來，是符合內(nèi)容目標(biāo)與教材編寫意圖的.

（2）學(xué)習(xí)活動(dòng)的多樣性.

多樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)使課堂生動(dòng)活潑、張弛有度，銜接緊湊卻無壓迫感，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，尤其符合七年級(jí)學(xué)生的心理特征.

事實(shí)上，從教學(xué)視頻中可以看到，教師對(duì)于“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體和思維發(fā)展的主體”有強(qiáng)烈的意識(shí)，即使是自學(xué)研讀，也會(huì)組織學(xué)生交流、展示，讓學(xué)生自己總結(jié)閱讀方法.

二、思考

當(dāng)然，一堂好課，在提供示范、予人啟發(fā)的同時(shí)，也會(huì)引發(fā)思考.下面就兩個(gè)方面做簡單探討.

1.關(guān)于銜接教學(xué)

在“角的動(dòng)態(tài)描述”教學(xué)中，教師提出問題：“角這個(gè)圖形是否包含兩條射線之間的部分？”通過活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生得到肯定的答案，并進(jìn)行了強(qiáng)調(diào).

事實(shí)上，到了高中階段，角的概念將擴(kuò)展到任意角.任意角是由射線旋轉(zhuǎn)的方向和在該旋轉(zhuǎn)方向上的旋轉(zhuǎn)量進(jìn)行刻畫的.有了任意角之后，以單位圓為工具，引入弧度制，將銳角三角函數(shù)推廣為任意角三角函數(shù)，借此可研究周期變化現(xiàn)象.

因此，從角的旋轉(zhuǎn)方式形成的角度認(rèn)識(shí)角，主要目的是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：角不能僅僅簡單看成“有公共端點(diǎn)的兩條射線”，還應(yīng)該注意到兩條射線的相對(duì)位置.實(shí)際上該相對(duì)位置是由始邊到終邊旋轉(zhuǎn)的方向和角度確定的，鑒于學(xué)生尚未學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)的方向和角度，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注射線旋轉(zhuǎn)過程中掃過的區(qū)域，從而感受射線在旋轉(zhuǎn)過程中的位置變化.過于強(qiáng)調(diào)“角這個(gè)圖形包括兩條射線之間的部分”，將來對(duì)角的概念進(jìn)行擴(kuò)展時(shí)可能會(huì)受認(rèn)識(shí)上的局限.

對(duì)于不同學(xué)段都會(huì)學(xué)到的知識(shí)，需要我們更多地關(guān)注知識(shí)的銜接教學(xué)，了解不同學(xué)段的相關(guān)內(nèi)容及其教學(xué)目標(biāo)有何不同，從而基于聯(lián)系把握教學(xué)的“入口”與“出口”.

2.關(guān)于類比推理

在構(gòu)建角的研究思路的教學(xué)中，教師提出問題：“類比線段的研究思路，結(jié)合小學(xué)時(shí)角的研究內(nèi)容，角將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容呢？”

在教學(xué)中，我們通常會(huì)提出類似問題，引導(dǎo)學(xué)生基于數(shù)學(xué)知識(shí)的整體聯(lián)系發(fā)現(xiàn)、研究新知.但就本節(jié)課而言，學(xué)生的相關(guān)認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)還很單薄，線段與角的圖形、度量單位在他們看來相異甚大，兩者可以進(jìn)行類比研究并非順理成章.

類比是一種推理方式，與歸納推理都是合情推理.在歸納推理的教學(xué)中，我們會(huì)強(qiáng)調(diào)基于一類對(duì)象的共同特征或特定規(guī)律下結(jié)論.但對(duì)于類比，往往很少“講道理”.事實(shí)上，類比推理是一種或然性推理，提高類比推理的可靠程度需要考慮兩個(gè)方面：一是類比對(duì)象的相同點(diǎn)要盡量多，這樣兩者關(guān)聯(lián)度越大，結(jié)論就越可靠；二是相同點(diǎn)與推出的結(jié)論都應(yīng)指向本質(zhì).也就是說，在進(jìn)行類比推理之前，至少需大致感受類比對(duì)象之間具有某些本質(zhì)上的相同點(diǎn)，從而感受“為什么可以類比”，之后才解決“如何類比”.這樣有利于學(xué)生合理應(yīng)用類比推理，發(fā)展數(shù)學(xué)推理素養(yǎng).

因此，我們可以進(jìn)一步思考：如何向?qū)W生滲透線段與角具有某些本質(zhì)上的共同點(diǎn)？何時(shí)滲透？上述“類比線段構(gòu)建角的研究思路”的問題何時(shí)提出更為適宜？

三、結(jié)束語

從總體上看，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度高，執(zhí)教教師教態(tài)自然親切，善于營造良好的課堂氛圍，巧于激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)的數(shù)學(xué)思考，聽來從容沉穩(wěn)、如沐春風(fēng).尤其是活動(dòng)設(shè)計(jì)中所反映出來的對(duì)數(shù)學(xué)、教學(xué)、學(xué)生的理解，充分體現(xiàn)了教師優(yōu)秀的教學(xué)素養(yǎng)，本節(jié)課是一節(jié)非常值得借鑒和學(xué)習(xí)的好課.