王剛

(邯鄲市教育科學(xué)研究所 河北 邯鄲 056002)

1 理論分析

【題目】如圖1所示，4個(gè)電荷量均為q(q>0)的點(diǎn)電荷分別放置于菱形的4個(gè)頂點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(4l，0)、(-4l，0)、(0，y0)和(0，-y0)，其中x軸上的兩個(gè)點(diǎn)電荷位置固定，y軸上的兩個(gè)點(diǎn)電荷可沿y軸對(duì)稱(chēng)移動(dòng)(y0≠0)．下列說(shuō)法正確的是( )

圖1 題圖

A.除無(wú)窮遠(yuǎn)處之外，菱形外部電場(chǎng)強(qiáng)度處處不為零

B.當(dāng)y0取某值時(shí)，可使得菱形內(nèi)部只存在兩個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)

C.當(dāng)y0=8l時(shí)，將一帶負(fù)電的試探電荷由(4l，5l)移至點(diǎn)(0，-3l)，靜電力做正功

D.當(dāng)y0=4l時(shí)，將一帶負(fù)電的試探電荷放置在點(diǎn)(l，l)處，其所受到的靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上

答案:A，C，D.

解析:根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知，除無(wú)窮遠(yuǎn)處之外，菱形外部電場(chǎng)強(qiáng)度處處不為零，選項(xiàng)A正確.

因?yàn)樵趚軸上的兩個(gè)點(diǎn)電荷在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零，在y軸上的兩點(diǎn)電荷，無(wú)論y0取什么值，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)也為零，在橫軸和縱軸上除原點(diǎn)外若出現(xiàn)合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)成對(duì)出現(xiàn)的，加上原點(diǎn)，合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)是奇數(shù)個(gè)，不會(huì)是2個(gè)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

如圖2所示，A點(diǎn)(4l，5l)相對(duì)于坐標(biāo)(4l，0)和(0，8l)的位置與B點(diǎn)(0，-3l)相對(duì)于坐標(biāo)(-4l，0)和(0，-8l)的位置相同；A點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)(-4l，0)的距離較B點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)(4l，0)的距離遠(yuǎn)，并且A點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)(0，-8l)的距離較B點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)(0，8l)的距離遠(yuǎn)，由電勢(shì)疊加原理可知，B點(diǎn)電勢(shì)高于A點(diǎn)電勢(shì)，且?guī)ж?fù)電的試探電荷在電勢(shì)低處電勢(shì)能較大，故試探電荷由A點(diǎn)移動(dòng)至B點(diǎn)，電勢(shì)能減小，靜電力做正功，選項(xiàng)C正確.

圖2 針對(duì)選項(xiàng)C的圖示

若y0=4l，則4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形，由對(duì)稱(chēng)性可知在坐標(biāo)為(l，l)的L點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)一定沿著過(guò)該點(diǎn)與原點(diǎn)連線的方向上.

如圖3所示，在y軸正向和x軸正向上的點(diǎn)電荷在(l，l)處的合場(chǎng)強(qiáng)方向沿L點(diǎn)指向O點(diǎn)，大小為

圖3 針對(duì)選項(xiàng)D的圖示

在y軸負(fù)向和x軸負(fù)向上的點(diǎn)電荷在(l，l)處的合場(chǎng)強(qiáng)方向沿O點(diǎn)指向L點(diǎn)，大小為

綜上可知(l，l)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿L點(diǎn)指向O點(diǎn)，即與x負(fù)半軸成45°斜向下，將一帶負(fù)電的試探電荷放置在(l，l)處，其所受靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上，選項(xiàng)D正確．

故正確選項(xiàng)為A，C，D．

2 關(guān)于選項(xiàng)C的進(jìn)一步理論分析

方法一：如圖4所示B′(0，3l)為B(0，-3l)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可知兩點(diǎn)處電勢(shì)相等．計(jì)算可得MB′與AN平行且等長(zhǎng)均為5l，B′N(xiāo)與AN亦等長(zhǎng)，故四邊形ANB′M為菱形，N和M兩處的點(diǎn)電荷在B′點(diǎn)與A點(diǎn)的電勢(shì)相同；根據(jù)距離關(guān)系可判斷得出P和Q兩點(diǎn)的點(diǎn)電荷在A點(diǎn)電勢(shì)低于兩者在B′點(diǎn)的電勢(shì)，故A點(diǎn)電勢(shì)低于B′點(diǎn)電勢(shì)，即A點(diǎn)電勢(shì)低于B點(diǎn)電勢(shì)．將帶負(fù)電的試探電荷從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，其電勢(shì)能減小，靜電力做正功．

圖4 方法一圖示

方法二：根據(jù)電勢(shì)疊加原理計(jì)算A，B兩點(diǎn)電勢(shì)．首先通過(guò)幾何關(guān)系分別計(jì)算出4個(gè)點(diǎn)電荷到A和B兩點(diǎn)的距離，然后代入點(diǎn)電荷電勢(shì)公式

可以得出兩點(diǎn)電勢(shì)高低關(guān)系

φA<φB

其中

(到4個(gè)點(diǎn)電荷的距離計(jì)算順序?yàn)镹MPQ)

進(jìn)而判斷電勢(shì)能變化和靜電力做功情況．

3 數(shù)值模擬

使用數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件進(jìn)行數(shù)值模擬可以使上述問(wèn)題直觀形象化，有助于對(duì)4個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)分布情況的認(rèn)識(shí)和理解．下面我們采用Matlab(矩陣實(shí)驗(yàn)室)對(duì)題目中選項(xiàng)C所涉的電場(chǎng)情境進(jìn)行具象模擬．

Matlab模擬的具體程序如下：

?[x,y]=meshgrid(-10:0.1:10,-10:0.1:10);

%創(chuàng)建二維網(wǎng)格，范圍是(-4，4)，每隔0.1取一個(gè)點(diǎn)．

%計(jì)算電勢(shì)的負(fù)值z(mì)，因?yàn)殡妶?chǎng)是電勢(shì)負(fù)值的梯度．加0.01是為了避免分母0發(fā)散．

[dx,dy]=gradient(z);

%求網(wǎng)格每一個(gè)點(diǎn)的梯度．

contour(x,y,z,[0,-2,-4,-6,-8]);

%畫(huà)等勢(shì)線，最后一個(gè)參數(shù)是等勢(shì)線的電勢(shì)值(負(fù)的)，可以根據(jù)需要列出來(lái)．

Hold on

quiver(x,y,dx,dy);

%在每一個(gè)點(diǎn)作電場(chǎng)矢量．

%(xx,yy)是場(chǎng)線起始點(diǎn)坐標(biāo)，選在正電荷周?chē)霃?.01的一圈．如果想畫(huà)負(fù)電荷周?chē)鷪?chǎng)線的話，起始點(diǎn)要選在繪圖區(qū)域的邊界．

streamline(x,y,dx,dy,xx,yy);

%繪制場(chǎng)線．

模擬結(jié)果如圖5所示，可以看到4個(gè)正電荷的等差等勢(shì)面就像4個(gè)山峰一樣，點(diǎn)電荷均帶正電則越靠近點(diǎn)電荷的等勢(shì)線的電勢(shì)越高，很容易判斷出A，B兩點(diǎn)的電勢(shì)高低．

圖5 數(shù)值模擬結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

一般地，除了孤立點(diǎn)電荷、等量同種點(diǎn)電荷、等量異種點(diǎn)電荷、不等量同種點(diǎn)電荷、不等量異種點(diǎn)電荷等常見(jiàn)的情況之外，有限電荷系統(tǒng)的電場(chǎng)和電勢(shì)分布特點(diǎn)并非可以直接識(shí)別．本題目中的電場(chǎng)和電勢(shì)高低的比較，可以使用場(chǎng)強(qiáng)疊加和電勢(shì)疊加原理來(lái)分析，也可以通過(guò)選取中間點(diǎn)的方法進(jìn)行比較．很明顯，上述均為理論分析，形象性欠缺，并且不能整體把握電場(chǎng)和電勢(shì)的空間分布情況．因此我們運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬并繪制出電場(chǎng)線和等勢(shì)線，方便學(xué)生們直觀地認(rèn)識(shí)電場(chǎng)，對(duì)于教師的教學(xué)也是有益的補(bǔ)充．