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        一道高考題的理論計(jì)算與數(shù)值模擬

        2022-07-04 12:18:44王剛
        物理通報(bào) 2022年7期
        關(guān)鍵詞:負(fù)電靜電力點(diǎn)電荷

        王剛

        (邯鄲市教育科學(xué)研究所 河北 邯鄲 056002)

        1 理論分析

        【題目】如圖1所示,4個(gè)電荷量均為q(q>0)的點(diǎn)電荷分別放置于菱形的4個(gè)頂點(diǎn),其坐標(biāo)分別為(4l,0)、(-4l,0)、(0,y0)和(0,-y0),其中x軸上的兩個(gè)點(diǎn)電荷位置固定,y軸上的兩個(gè)點(diǎn)電荷可沿y軸對(duì)稱(chēng)移動(dòng)(y0≠0).下列說(shuō)法正確的是( )

        圖1 題圖

        A.除無(wú)窮遠(yuǎn)處之外,菱形外部電場(chǎng)強(qiáng)度處處不為零

        B.當(dāng)y0取某值時(shí),可使得菱形內(nèi)部只存在兩個(gè)電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)

        C.當(dāng)y0=8l時(shí),將一帶負(fù)電的試探電荷由(4l,5l)移至點(diǎn)(0,-3l),靜電力做正功

        D.當(dāng)y0=4l時(shí),將一帶負(fù)電的試探電荷放置在點(diǎn)(l,l)處,其所受到的靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上

        答案:A,C,D.

        解析:根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可知,除無(wú)窮遠(yuǎn)處之外,菱形外部電場(chǎng)強(qiáng)度處處不為零,選項(xiàng)A正確.

        因?yàn)樵趚軸上的兩個(gè)點(diǎn)電荷在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)為零,在y軸上的兩點(diǎn)電荷,無(wú)論y0取什么值,因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)也為零,在橫軸和縱軸上除原點(diǎn)外若出現(xiàn)合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)成對(duì)出現(xiàn)的,加上原點(diǎn),合場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)是奇數(shù)個(gè),不會(huì)是2個(gè),選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

        如圖2所示,A點(diǎn)(4l,5l)相對(duì)于坐標(biāo)(4l,0)和(0,8l)的位置與B點(diǎn)(0,-3l)相對(duì)于坐標(biāo)(-4l,0)和(0,-8l)的位置相同;A點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)(-4l,0)的距離較B點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)(4l,0)的距離遠(yuǎn),并且A點(diǎn)相對(duì)點(diǎn)(0,-8l)的距離較B點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn)(0,8l)的距離遠(yuǎn),由電勢(shì)疊加原理可知,B點(diǎn)電勢(shì)高于A點(diǎn)電勢(shì),且?guī)ж?fù)電的試探電荷在電勢(shì)低處電勢(shì)能較大,故試探電荷由A點(diǎn)移動(dòng)至B點(diǎn),電勢(shì)能減小,靜電力做正功,選項(xiàng)C正確.

        圖2 針對(duì)選項(xiàng)C的圖示

        若y0=4l,則4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正方形,由對(duì)稱(chēng)性可知在坐標(biāo)為(l,l)的L點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)一定沿著過(guò)該點(diǎn)與原點(diǎn)連線的方向上.

        如圖3所示,在y軸正向和x軸正向上的點(diǎn)電荷在(l,l)處的合場(chǎng)強(qiáng)方向沿L點(diǎn)指向O點(diǎn),大小為

        圖3 針對(duì)選項(xiàng)D的圖示

        在y軸負(fù)向和x軸負(fù)向上的點(diǎn)電荷在(l,l)處的合場(chǎng)強(qiáng)方向沿O點(diǎn)指向L點(diǎn),大小為

        綜上可知(l,l)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向沿L點(diǎn)指向O點(diǎn),即與x負(fù)半軸成45°斜向下,將一帶負(fù)電的試探電荷放置在(l,l)處,其所受靜電力方向與x軸正方向成45°傾斜向上,選項(xiàng)D正確.

        故正確選項(xiàng)為A,C,D.

        2 關(guān)于選項(xiàng)C的進(jìn)一步理論分析

        方法一:如圖4所示B′(0,3l)為B(0,-3l)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),由對(duì)稱(chēng)性可知兩點(diǎn)處電勢(shì)相等.計(jì)算可得MB′與AN平行且等長(zhǎng)均為5l,B′N(xiāo)與AN亦等長(zhǎng),故四邊形ANB′M為菱形,N和M兩處的點(diǎn)電荷在B′點(diǎn)與A點(diǎn)的電勢(shì)相同;根據(jù)距離關(guān)系可判斷得出P和Q兩點(diǎn)的點(diǎn)電荷在A點(diǎn)電勢(shì)低于兩者在B′點(diǎn)的電勢(shì),故A點(diǎn)電勢(shì)低于B′點(diǎn)電勢(shì),即A點(diǎn)電勢(shì)低于B點(diǎn)電勢(shì).將帶負(fù)電的試探電荷從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn),其電勢(shì)能減小,靜電力做正功.

        圖4 方法一圖示

        方法二:根據(jù)電勢(shì)疊加原理計(jì)算A,B兩點(diǎn)電勢(shì).首先通過(guò)幾何關(guān)系分別計(jì)算出4個(gè)點(diǎn)電荷到A和B兩點(diǎn)的距離,然后代入點(diǎn)電荷電勢(shì)公式

        可以得出兩點(diǎn)電勢(shì)高低關(guān)系

        φA<φB

        其中

        (到4個(gè)點(diǎn)電荷的距離計(jì)算順序?yàn)镹MPQ)

        進(jìn)而判斷電勢(shì)能變化和靜電力做功情況.

        3 數(shù)值模擬

        使用數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件進(jìn)行數(shù)值模擬可以使上述問(wèn)題直觀形象化,有助于對(duì)4個(gè)點(diǎn)電荷激發(fā)的電場(chǎng)分布情況的認(rèn)識(shí)和理解.下面我們采用Matlab(矩陣實(shí)驗(yàn)室)對(duì)題目中選項(xiàng)C所涉的電場(chǎng)情境進(jìn)行具象模擬.

        Matlab模擬的具體程序如下:

        ?[x,y]=meshgrid(-10:0.1:10,-10:0.1:10);

        %創(chuàng)建二維網(wǎng)格,范圍是(-4,4),每隔0.1取一個(gè)點(diǎn).

        %計(jì)算電勢(shì)的負(fù)值z(mì),因?yàn)殡妶?chǎng)是電勢(shì)負(fù)值的梯度.加0.01是為了避免分母0發(fā)散.

        [dx,dy]=gradient(z);

        %求網(wǎng)格每一個(gè)點(diǎn)的梯度.

        contour(x,y,z,[0,-2,-4,-6,-8]);

        %畫(huà)等勢(shì)線,最后一個(gè)參數(shù)是等勢(shì)線的電勢(shì)值(負(fù)的),可以根據(jù)需要列出來(lái).

        Hold on

        quiver(x,y,dx,dy);

        %在每一個(gè)點(diǎn)作電場(chǎng)矢量.

        %(xx,yy)是場(chǎng)線起始點(diǎn)坐標(biāo),選在正電荷周?chē)霃?.01的一圈.如果想畫(huà)負(fù)電荷周?chē)鷪?chǎng)線的話,起始點(diǎn)要選在繪圖區(qū)域的邊界.

        streamline(x,y,dx,dy,xx,yy);

        %繪制場(chǎng)線.

        模擬結(jié)果如圖5所示,可以看到4個(gè)正電荷的等差等勢(shì)面就像4個(gè)山峰一樣,點(diǎn)電荷均帶正電則越靠近點(diǎn)電荷的等勢(shì)線的電勢(shì)越高,很容易判斷出A,B兩點(diǎn)的電勢(shì)高低.

        圖5 數(shù)值模擬結(jié)果

        4 結(jié)束語(yǔ)

        一般地,除了孤立點(diǎn)電荷、等量同種點(diǎn)電荷、等量異種點(diǎn)電荷、不等量同種點(diǎn)電荷、不等量異種點(diǎn)電荷等常見(jiàn)的情況之外,有限電荷系統(tǒng)的電場(chǎng)和電勢(shì)分布特點(diǎn)并非可以直接識(shí)別.本題目中的電場(chǎng)和電勢(shì)高低的比較,可以使用場(chǎng)強(qiáng)疊加和電勢(shì)疊加原理來(lái)分析,也可以通過(guò)選取中間點(diǎn)的方法進(jìn)行比較.很明顯,上述均為理論分析,形象性欠缺,并且不能整體把握電場(chǎng)和電勢(shì)的空間分布情況.因此我們運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬并繪制出電場(chǎng)線和等勢(shì)線,方便學(xué)生們直觀地認(rèn)識(shí)電場(chǎng),對(duì)于教師的教學(xué)也是有益的補(bǔ)充.

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