唐武建 高忠貴 張妙靜

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 廣西 桂林 541004)

電磁感應(yīng)中的導(dǎo)軌/雙棒復(fù)合結(jié)構(gòu)(簡稱：雙棒模型)是一類典型的電學(xué)與動力學(xué)相結(jié)合的綜合性問題[1,2]． 在此類問題中，雙棒在磁場中切割磁感線的同時受到安培力的作用，致使對受力情況、運動規(guī)律、電路特征等的分析變得極為復(fù)雜．而深度掌握每一個狀態(tài)的細節(jié)及相鄰狀態(tài)的關(guān)聯(lián)性，是解決此類問題的有效途徑[3]．本文分別以具有恒力作用和初速度兩類常見的雙棒模型為研究對象，通過構(gòu)建、求解雙棒的運動微分方程，結(jié)合圖表，可視化探索其運動和電學(xué)特性，以期獲得雙棒模型的一般規(guī)律，為解決復(fù)雜問題提供參考．

1 恒力作用下的無初速等距雙棒模型

如圖1所示，質(zhì)量為m1的導(dǎo)體棒1和質(zhì)量為m2的導(dǎo)體棒2靜止在足夠長的光滑平行導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌寬度為L，固定在絕緣水平面上，整個區(qū)域分布著垂直于導(dǎo)軌平面向上且磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場，整個回路的電阻始終為R，兩棒始終與導(dǎo)軌保持垂直且良好接觸．現(xiàn)有與導(dǎo)軌平行且向右的恒力F1和F2分別作用于棒1和棒2上．試分析模型的運動特征及電學(xué)特性變化趨勢．

圖1 恒力作用下的無初速等距雙棒模型

1.1 建模求解

因此，系統(tǒng)穩(wěn)定前，雙棒所受的安培力方向只與初始加速度大小關(guān)系有關(guān)，與位置無關(guān)．設(shè)初始加速度大的導(dǎo)體棒為主動棒，主動棒受恒力F主作用，受到的安培力與F主方向相反，質(zhì)量為m主，速度為v主；初始加速度小的導(dǎo)體棒為從動棒，從動棒受恒力F從作用，受到的安培力與F從方向相同，質(zhì)量為m從，速度為v從．則回路中感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流為

E=BL(v主-v從)

(1)

(2)

雙棒受到的安培力大小為

(3)

雙棒運動微分方程為

(4)

(5)

由動量定理得

F主t+F從t=m主v主+m從v從

(6)

聯(lián)立式(4)、(5)、(6)得

(7)

(8)

由

得

(9)

(10)

1.2 結(jié)果與討論

下面圖2和圖3分別給出了雙棒速度、加速度的變化曲線．由圖可知，隨時間增加，雙棒的速度趨于線性變化，但存在一個差值

圖2 雙棒速度隨時間變化曲線

圖3 雙棒加速度隨時間變化曲線

這導(dǎo)致回路面積的變化率恒定，從而在閉合回路中產(chǎn)生一個恒定的感應(yīng)電動勢，但單棒內(nèi)的感應(yīng)電動勢卻越來越大．雙棒加速度則隨時間增加而趨于一致，即

收尾加速度大小只與雙棒質(zhì)量和所受到的作用力有關(guān)，磁感應(yīng)強度、導(dǎo)軌間距、回路電阻對雙棒達到收尾加速度所需的時間有影響，時間常數(shù)

表1 以時間常數(shù)倍數(shù)計的各時刻值

回路中感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流的表達式見下面式(11)和(12)，圖4和圖5分別給出了它們隨時間的變化曲線，由圖可知，感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流都隨時間的增加趨于一個定值，這與速度-時間圖像所體現(xiàn)的回路面積變化率趨于恒定這一物理現(xiàn)象相吻合．

圖4 感應(yīng)電動勢隨時間變化曲線

圖5 感應(yīng)電流隨時間變化曲線

(11)

(12)

2 只有初速度的等距雙棒模型

如圖6所示，如果在“恒力作用下的無初速等距雙棒模型”中，撤除雙棒所受的恒力，并假定棒1和棒2分別以平行于導(dǎo)軌水平向右的初速度v01和v02運動，其余條件保持不變．試分析模型的運動特征及電學(xué)特性變化趨勢．

圖6 只有初速度的等距雙棒模型

2.1 建模求解

與“恒力作用下的無初速等距雙棒模型”的分析類似，設(shè)初速度大的導(dǎo)體棒為主動棒，質(zhì)量為m主，初速度為v0主，速度為v主，受到的安培力與運動方向相反；初速度小的導(dǎo)體棒為從動棒，質(zhì)量為m從，初速度為v0從，速度為v從，受到的安培力與運動方向相同．則有

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

2.2 結(jié)果與討論

下面圖7和圖8給出了雙棒速度和加速度的變化曲線，由圖可知，雙棒的速度隨時間增加而趨于一個定值，即

圖7 雙棒速度隨時間變化曲線

圖8 雙棒加速度隨時間變化曲線

收尾速度的大小只與雙棒質(zhì)量和初速度有關(guān)．磁感應(yīng)強度、導(dǎo)軌間距、回路電阻影響雙棒達到收尾速度所需的時間，時間常數(shù)為τ，與上同．暫態(tài)過程，系統(tǒng)機械能的損失量為一定值

與電阻無關(guān)．雙棒加速度則隨時間的增加而趨于零．

圖9和圖10給出了回路中感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流的變化曲線，由圖可知，它們都隨時間增加而趨于零，流過回路的總電量

圖9 感應(yīng)電動勢隨時間變化曲線

圖10 感應(yīng)電流隨時間變化曲線

與電阻無關(guān)．電阻產(chǎn)生的焦耳熱

可推算當(dāng)ξ→∞時，Q=ΔEk，也即系統(tǒng)損失的機械能轉(zhuǎn)化成了電阻的熱能，但大小不受電阻影響．

3 模型特性

表2 兩類模型的運動特征及電學(xué)特性

可見，不論是否有外力作用，都可將安培力看作系統(tǒng)的內(nèi)力，而將雙棒看作“廣義”上的整體，再應(yīng)用牛頓運動定律和動量定理分別求得加速度和速度的穩(wěn)態(tài)解．在“只有初速度的等距雙棒模型”中，限流及耗能元件R對暫態(tài)過程流過回路的總電量以及系統(tǒng)損失的機械能不產(chǎn)生影響，這有悖于中學(xué)生對電阻的認知，值得深思．

4 結(jié)束語

本文從高觀點的角度分別對電磁感應(yīng)中“只具有恒力作用”和“只有初速度”兩類雙棒模型進行了較為詳細的探索．結(jié)果表明：對于前者，雙棒加速度中一個逐漸增加而另一個逐漸減小，最后趨于相同的收尾加速度a；對于后者，雙棒速度則趨于相同的收尾速度v；磁感應(yīng)強度、導(dǎo)軌間距、電阻與雙棒質(zhì)量構(gòu)成時間常數(shù)τ，該常數(shù)決定了模型從暫態(tài)到穩(wěn)態(tài)過渡的時長．在“只有初速度”的模型中，與限流和能耗相關(guān)的參數(shù)R對暫態(tài)過程系統(tǒng)損失的機械能及回路中通過的總電量不產(chǎn)生影響，基于這一點，可將問題拓展至不忽略導(dǎo)軌電阻的更貼近實際的模型．雙棒模型涉及面廣，求解時容易錯漏，加強對基本原理的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模能力[3～5]， 是正確求解此類問題的關(guān)鍵．