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        “問題提出”,實現思維水平的多重提升
        ——以“百分數變化幅度問題”的教學為例

        2022-06-29 09:41:30浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)坎山小學
        小學教學研究 2022年19期
        關鍵詞:研究教師學生

        浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)坎山小學 李 青

        “百分數變化幅度問題”是人教版數學六年級上冊 “百分數(一)”的一個學習內容,具有一定的綜合性,是對本單元百分數相關知識的綜合性運用。到了六年級,學生完全有能力、也有意愿去探索和研究數學問題。為此,教師采用“問題提出”教學模式,放手讓學生自主提問、獨立探究、交流互動,以此達成教學目標,并促使學生用整體的眼光研究同類問題,提升學生的“問題提出”能力和數學思維水平。

        一、數學分析

        教材中的“百分數變化幅度問題”具體為“某種商品4月末的價格比3月末降了20%,5月末的價格比4月末又漲了20%。5月末的價格和3月末比是漲了還是降了?變化幅度是多少?”這是“連續(xù)求一個數增、減百分之幾”的問題,可以用“□×(1-□%)×(1+□%)”的形式表示,是“求比一個數多(少)百分之幾是多少?”和“求一個數比另一個數多(少)百分之幾”問題的綜合運用。此類題型還可以衍生出“先增后減”“連續(xù)增加百分之幾”“連續(xù)減少百分之幾”“如何增減才能回到原價”等多種問題。教學時,教師應以教材問題為基礎,引導學生在此基礎上不斷提出新問題、發(fā)現新規(guī)律。

        二、教學分析

        “百分數變化幅度問題”的難點在于,作為初始單位“1”的3月份是個未知量,同時,連續(xù)增減變化,單位“1”也會隨之變化。并且,這一問題具有一定的綜合性。從不同的角度觀察,我們可以得到不同的記錄。在教學中,教師不能滿足于得出一個問題的結果,而應從重視變化結果轉變?yōu)殛P注變化過程,使學生能舉一反三解決同類型問題并發(fā)現其中包含的規(guī)律。

        因此,本堂課的主要教學環(huán)節(jié)分為:

        1.提供情境引出研究內容,并引導學生提出“分步和綜合”兩種問題,為局部和整體研究此類問題提供素材。

        2.學生解決兩種問題,并在交流匯報的過程中,體會此類問題中包含的“變與不變”的規(guī)律。

        3.在解決基本問題的基礎上,鼓勵學生提出更多相似的問題,從而對一類問題的解決方法及其所包含的規(guī)律進行整體研究。

        三、教學實踐

        (一)情境導入,提出問題

        課始,教師給出與百分數有關的問題情境,請學生提出問題,根據提問情況引出本堂課的研究內容。

        師:同學們都有自己喜歡的書籍吧。月月非常喜歡《奇妙的數學世界》,她一直關注著這套書的價格。這套書“4月的價格比3月降了20%,5月的價格比4月又漲了20%”。看到這些信息,你能提出哪些數學問題?可以是簡單的,也可以是稍復雜的。

        生1:4月份的價格是3月份價格的百分之幾?

        生2:5月份的價格是4月份價格的百分之幾?

        生3:5月份的價格是3月份價格的百分之幾?

        生4:5月份的價格是不是和3月份的價格相同?

        師:同學們提的問題都非常好,請你大膽猜想一下,這套書5月份的價格會等于3月份的價格嗎?

        生5:我覺得是一樣的,4月份價格先降了20%,5月份價格又漲了20%,相互抵消了。

        生6:我覺得不一定,4月份降的20%和5月份漲的20%不一樣,也就是單位“1”不一樣。

        師:兩位同學的說法,似乎都有道理。今天這節(jié)課,我們就來研究“變化幅度”問題。

        【設計意圖:學生根據教師給出的信息,結合自己的實際水平,提出了涉及部分信息的問題和綜合性問題。這兩類問題將在后續(xù)的深入分析問題和整體呈現規(guī)律等兩方面發(fā)揮重要作用?!?/p>

        (二)解決問題,比較溝通

        在學生提出兩類問題之后,教師組織學生獨立解決問題,并在此基礎上通過局部與整體的比較、辨析,引導學生發(fā)現“百分數變化幅度問題”中包含的規(guī)律。

        師:要研究5月份的價格與3月份的價格的關系,同學們提的前兩個問題有沒有用?(生1和生2)

        生:有用的,因為題目中沒有告訴我們5月份的價格和3月份的價格是什么關系,我們必須要算出4月份的價格。

        師:是的,所以前面兩個問題合起來,就組成了第3個、第4個問題。那現在我們可以解決這些問題了嗎?

        生1:還有一個問題,3月份的價格還不知道,那就沒法算4月份的價格,也沒法算5月份的價格。

        生2:可以假設一個數字。

        生3:也可以直接用單位“1”來表示。

        師:那就請大家自己試一試吧。

        (學生獨立嘗試解決問題后匯報交流)

        生1:我是假設3月份的價格為200元,那么,4月份的價格就是200×(1-20%)=160(元),5月份的價格是160×(1+20%)=192(元),5月份的價格比3月份的價格少了。

        生2:我是假設3月份的價格是100元,然后,4月份就是80元,5月份是96元,5月份的價格也比3月份的價格降了。

        生3:我是用字母表示的,假設3月份的價格是a元,4月份的價格是a×(1-20%)=0.8a(元),5月份的價格是0.8a×(1+20%)=0.96a(元)。

        生4:用單位“1”表示也差不多,3月份價格是單位“1”,4月份的價格就是0.8,5月份的價格就是0.96。

        師:這幾位同學的做法都是怎么解決的?

        生5:都是假設3月份的價格,因為只有知道3月份的價格,才能繼續(xù)算其他月份的價格。

        生6:根據3月份的價格,都是先算4月份的價格,再算5月份的價格。

        師:有沒有同學能把這些方法列成綜合算式?

        (學生說綜合算式,教師板書記錄)

        師:從這些綜合算式(見圖1)中,我們可以發(fā)現哪些信息呢?

        圖1

        生1:5月份的價格都比3月份的價格少了,192比200少,96比100少,0.96a比a少,0.96比1少。

        生2:我發(fā)現不管設3月份的價格是多少,后面都要經過相同的計算。也就是說,都要先算出3月份價格的80%,得到4月份的價格,再算4月份價格的120%,得到5月份的價格。

        生3:我們可以把兩次運算合起來看,簡單地說,就是先降20%得到80%,再漲20%,得到120%。

        生4:補充一下,這個120%不是3月份價格的120%,而是4月份價格的120%,那么就相當于3月份價格的96%。因為先得到80%,再乘120%,最后是96%。

        生5:他的意思是,可以先算后面兩次變化。那么,5月份價格=3月份價格×(1-20%)×(1+20%)=3月份價格×96%。

        師:這幾位同學的發(fā)現非常重要,從他們的發(fā)現里,你可以得到怎樣的結論?

        生:我發(fā)現不管假設3月份的價格為多少,5月份的價格總是它的96%,那么,總是比3月份的價格下降1-96%=4%, 下降了4%。

        師:同學們,剛才我們提出了不同的問題,有分步計算的問題,也有列綜合算式解決的問題,你覺得分步算好還是綜合算好?

        生1:綜合的好,綜合的方便我們比較,發(fā)現5月份的價格只有3月份價格的96%。

        生2:分步的也有優(yōu)點,沒有分步的,我一下子寫不出綜合算式。而且,分步的問題也讓我知道了4月份的價格是多少。

        生3:通過分步算式,我知道了單位“1”是在變化的。求4月份的價格時,單位“1”是3月份的價格,求5月份的價格時,單位“1”是4月份的價格。因此,不能簡單地看到先降20%再漲20%,就以為價格不變了。

        師:同學們對這類問題分析得非常到位,評價也很合理,太好了。

        【設計意圖:學生通過分步計算,解決了實際問題,發(fā)現用不同的方法解決,5月份的價格都比3月份的價格要小。在此基礎上,教師呈現綜合算式,組織學生觀察、發(fā)現算式中隱藏的規(guī)律:不管怎么算,5月份的價格總是3月份價格的96%。隨后,教師組織學生對自己提出的分步和綜合兩類問題的作用進行比較,使學生發(fā)現這兩類問題各有自己的價值,前者能幫助我們更好地運用知識、解決問題,后者有利于我們發(fā)現其中的規(guī)律。】

        (三)“問題提出”,拓展延伸

        在研究例題的基礎上,教師鼓勵學生自己提出問題,通過“問題提出”考查學生對此類問題的理解程度。

        師:剛才,我們提出了分步和綜合的兩類問題,在解決問題的過程中,發(fā)現了價格變化幅度問題的規(guī)律。你能不能試著自己提出一個類似的問題?

        生1:商場里搞促銷,一臺電視機先降價20%,促銷結束后又漲價20%?,F在價格和原來比是貴了還是便宜了?

        生2:冬天快到了,一款羽絨衣漲價了20%,到了春天,又降價20%。這款羽絨衣比原價貴了還是便宜了?

        生3:我也是電視機,但是,我是先降價10%,再漲價10%,問貴了還是便宜了?

        生4:一臺洗衣機,先降價20%,再上漲百分之幾才能回到原價?

        生5:如果是連續(xù)漲20%,5月份的價格與3月份的價格比相差多少?如果是連續(xù)降價20%,5月份的價格和3月份的價格相比,相差多少?

        師:太精彩了,同學們不但提出了和課本上類似的問題,還提出了很多新問題。我們先來研究哪一個呢?

        生6:第一個問題和剛才的例題是一樣的,所以我不研究了。我想研究先漲價再降價的問題,因為這個問題的過程和例題剛好相反。

        生7:我想研究降價10%再漲價10%的問題,我想看看百分數變了,是不是還是一樣的結果。

        生8:連續(xù)降價肯定比原價低,連續(xù)漲價也肯定比原價高,但是相差多少,還是可以研究的。

        生9:洗衣機先降價20%,再漲多少的問題有點復雜,但我想試試。

        (學生解答自己感興趣的問題后,在全班交流)

        1.研究“先漲20%再降20%”的問題

        生:我是假設羽絨衣的價格為單位“1”,1×(1+20%)×(1-20%)=0.96=96%。我發(fā)現和先降再漲是一樣的。

        師:怎么會這樣呢?兩種不同的算法,4月份的價格是不一樣的啊?

        生1:“先漲再降”是先乘120%再乘80%,“先降后漲”是先乘80%再乘120%,不管先后順序,最終都是原價的96%,和先降20%再漲20%一樣。

        結合學生的回答,教師完成完整板書:

        先漲再降:1×(1+20%)×(1-20%)=1×96%=0.96

        先降再漲:1×(1-20%)×(1+20%)=1×96%=0.96

        生2:根據乘法交換律,先乘80%或先乘120%,結果都是一樣的。

        2.研究“先降10%再漲10%”的問題

        師:剛才有一個問題,是把20%都換成了10%,誰解決了這個問題?

        生1:改成10%的話,那就是1×(1-10%)×(1+10%)=0.99,也就是99%,還是便宜了。

        生2:我發(fā)現改成先漲10%再降10%,也是一樣的,因為只是交換了一下運算順序。

        生3:我自己又把10%改成了30%試了一下,1×(1-30%)×(1+30%)=91%,還是降了。

        師:這個嘗試非常好,我們把10%、20%、30%聯(lián)系起來看一下,你有什么發(fā)現?(見圖2)

        圖2

        生1:不管是百分之幾,也不管是先漲后降,還是先降后漲,都比原來要便宜。

        生2:而且,這個百分數越大,最后就越便宜。

        生3:漲和降必須是同一個百分數,比方說,都是10%,或都是20%。

        師:大家觀察得很仔細,最后這個意見非常嚴謹,確實是這樣的。

        3.研究“先降20%再漲( )%才能回到原價”

        師:剛才還有一個問題,先降20%,然后要回到原價,你怎么看?

        生1:那肯定不可能是漲20%了。

        生2:要比20%大一點。

        生3:我剛才選的就是這個問題。先降20%,那就是0.8,然后要回到原價,就是回到單位“1”,所以,我只要用單位“1”除以0.8就行了,得到1.25,也就是125%,那么就是再漲25%。

        師:按照你的方法,算式應該是1÷(1-20%)-1=25%。我們也可以把25%放到乘法算式中驗算一下:“1×(1-20%)×(1+25%)”,回到原價了嗎?

        生:1×(1-20%)×(1+25%)=1×80%×125%=1×1=1,是原價。

        師:按照他的方法,我們還可以研究先降10%,再漲百分之幾,可以回到原價的問題,當然也可以研究其他百分數,這個問題我們課后再去研究。

        【設計意圖:在提問的過程中,一部分學生模仿例題對所學知識進行了運用,更多的學生則在原有的基礎上進行了發(fā)散性思考,提出了包含更多變化的新問題。這些問題的提出和解決,使學生對此類問題有了新的認識和更深的理解。學生的“問題提出”和數學思考能力得到了進一步的發(fā)展?!?/p>

        四、教學反思

        本堂課的教學過程,充分體現了“問題提出”教學模式對學生數學學習、情感態(tài)度和數學思考等方面的價值。

        (一)創(chuàng)設恰當的情境鼓勵學生提出問題

        “問題提出”教學模式的目的是給學生創(chuàng)造更多的學習機會,鼓勵更多的學生參與學習活動。因此,教師應重視不同層次學生的課堂表現,在課堂教學之初,應該降低學習的門檻,讓更多學生參與進來。教師請學生根據情境,提出簡單的或稍復雜的問題,這有利于不同水平的學生提出符合自身認知的問題。因此,學生提出了分步和綜合兩種問題,一方面,分步問題分解了學習難點,使學生得以運用所學知識解決問題;另一方面,綜合問題有利于學生從整體的視角觀察和審視問題中包含的規(guī)律。

        在學生解決基本問題之后,教師再次鼓勵學生提出類似的問題。這既為學生運用剛得出的方法提供了機會,也為提出和研究新問題創(chuàng)造了條件。學生在第一次提問活動的激勵下,進行發(fā)散性的思考,提出了三種新的問題,為進一步研究這類問題提供了優(yōu)質的素材。

        (二)提出不同層次的問題推動思維發(fā)展

        在整個教學活動中,學生提出問題的思維水平層層遞增。從分步問題到綜合問題再到變式問題,最后提出發(fā)散性問題,學生在解決這些問題的過程中,對“百分數變化幅度問題”的認識,經歷了計算問題的結果到研究解答的過程,再到同類型問題的舉一反三和歸納整理的過程。在這一過程中,學生不僅掌握了研究此類問題的方法,在變式運用中提高了對問題本質的理解,而且提升了自己的思維水平,在研究問題的方法、策略等方面也積累了相關的經驗。

        因此,可以說,“問題提出”教學模式激發(fā)了學生研究數學問題的強烈愿望,并為研究提供了一條清晰的路徑,對學生數學學科素養(yǎng)的進一步發(fā)展起到了重要的作用。

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