浙江省杭州市蕭山區(qū)瓜瀝鎮(zhèn)坎山小學 李 青

“百分數變化幅度問題”是人教版數學六年級上冊 “百分數（一）”的一個學習內容，具有一定的綜合性，是對本單元百分數相關知識的綜合性運用。到了六年級，學生完全有能力、也有意愿去探索和研究數學問題。為此，教師采用“問題提出”教學模式，放手讓學生自主提問、獨立探究、交流互動，以此達成教學目標，并促使學生用整體的眼光研究同類問題，提升學生的“問題提出”能力和數學思維水平。

一、數學分析

教材中的“百分數變化幅度問題”具體為“某種商品4月末的價格比3月末降了20%，5月末的價格比4月末又漲了20%。5月末的價格和3月末比是漲了還是降了？變化幅度是多少？”這是“連續(xù)求一個數增、減百分之幾”的問題，可以用“□×（1－□%）×（1＋□%）”的形式表示，是“求比一個數多（少）百分之幾是多少？”和“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”問題的綜合運用。此類題型還可以衍生出“先增后減”“連續(xù)增加百分之幾”“連續(xù)減少百分之幾”“如何增減才能回到原價”等多種問題。教學時，教師應以教材問題為基礎，引導學生在此基礎上不斷提出新問題、發(fā)現新規(guī)律。

二、教學分析

“百分數變化幅度問題”的難點在于，作為初始單位“1”的3月份是個未知量，同時，連續(xù)增減變化，單位“1”也會隨之變化。并且，這一問題具有一定的綜合性。從不同的角度觀察，我們可以得到不同的記錄。在教學中，教師不能滿足于得出一個問題的結果，而應從重視變化結果轉變?yōu)殛P注變化過程，使學生能舉一反三解決同類型問題并發(fā)現其中包含的規(guī)律。

因此，本堂課的主要教學環(huán)節(jié)分為：

1.提供情境引出研究內容，并引導學生提出“分步和綜合”兩種問題，為局部和整體研究此類問題提供素材。

2.學生解決兩種問題，并在交流匯報的過程中，體會此類問題中包含的“變與不變”的規(guī)律。

3.在解決基本問題的基礎上，鼓勵學生提出更多相似的問題，從而對一類問題的解決方法及其所包含的規(guī)律進行整體研究。

三、教學實踐

（一）情境導入，提出問題

課始，教師給出與百分數有關的問題情境，請學生提出問題，根據提問情況引出本堂課的研究內容。

師：同學們都有自己喜歡的書籍吧。月月非常喜歡《奇妙的數學世界》，她一直關注著這套書的價格。這套書“4月的價格比3月降了20%，5月的價格比4月又漲了20%”。看到這些信息，你能提出哪些數學問題？可以是簡單的，也可以是稍復雜的。

生1：4月份的價格是3月份價格的百分之幾？

生2：5月份的價格是4月份價格的百分之幾？

生3：5月份的價格是3月份價格的百分之幾？

生4：5月份的價格是不是和3月份的價格相同？

師：同學們提的問題都非常好，請你大膽猜想一下，這套書5月份的價格會等于3月份的價格嗎？

生5：我覺得是一樣的，4月份價格先降了20%，5月份價格又漲了20%，相互抵消了。

生6：我覺得不一定，4月份降的20%和5月份漲的20%不一樣，也就是單位“1”不一樣。

師：兩位同學的說法，似乎都有道理。今天這節(jié)課，我們就來研究“變化幅度”問題。

【設計意圖：學生根據教師給出的信息，結合自己的實際水平，提出了涉及部分信息的問題和綜合性問題。這兩類問題將在后續(xù)的深入分析問題和整體呈現規(guī)律等兩方面發(fā)揮重要作用?！?/p>

（二）解決問題，比較溝通

在學生提出兩類問題之后，教師組織學生獨立解決問題，并在此基礎上通過局部與整體的比較、辨析，引導學生發(fā)現“百分數變化幅度問題”中包含的規(guī)律。

師：要研究5月份的價格與3月份的價格的關系，同學們提的前兩個問題有沒有用？（生1和生2）

生：有用的，因為題目中沒有告訴我們5月份的價格和3月份的價格是什么關系，我們必須要算出4月份的價格。

師：是的，所以前面兩個問題合起來，就組成了第3個、第4個問題。那現在我們可以解決這些問題了嗎？

生1：還有一個問題，3月份的價格還不知道，那就沒法算4月份的價格，也沒法算5月份的價格。

生2：可以假設一個數字。

生3：也可以直接用單位“1”來表示。

師：那就請大家自己試一試吧。

（學生獨立嘗試解決問題后匯報交流）

生1：我是假設3月份的價格為200元，那么，4月份的價格就是200×（1-20%）=160（元），5月份的價格是160×（1＋20%）=192（元），5月份的價格比3月份的價格少了。

生2：我是假設3月份的價格是100元，然后，4月份就是80元，5月份是96元，5月份的價格也比3月份的價格降了。

生3：我是用字母表示的，假設3月份的價格是a元，4月份的價格是a×（1－20%）=0.8a（元），5月份的價格是0.8a×（1+20%）=0.96a（元）。

生4：用單位“1”表示也差不多，3月份價格是單位“1”，4月份的價格就是0.8，5月份的價格就是0.96。

師：這幾位同學的做法都是怎么解決的？

生5：都是假設3月份的價格，因為只有知道3月份的價格，才能繼續(xù)算其他月份的價格。

生6：根據3月份的價格，都是先算4月份的價格，再算5月份的價格。

師：有沒有同學能把這些方法列成綜合算式？

（學生說綜合算式，教師板書記錄）

師：從這些綜合算式（見圖1）中，我們可以發(fā)現哪些信息呢？

圖1

生1：5月份的價格都比3月份的價格少了，192比200少，96比100少，0.96a比a少，0.96比1少。

生2：我發(fā)現不管設3月份的價格是多少，后面都要經過相同的計算。也就是說，都要先算出3月份價格的80%，得到4月份的價格，再算4月份價格的120%，得到5月份的價格。

生3：我們可以把兩次運算合起來看，簡單地說，就是先降20%得到80%，再漲20%，得到120%。

生4：補充一下，這個120%不是3月份價格的120%，而是4月份價格的120%，那么就相當于3月份價格的96%。因為先得到80%，再乘120%，最后是96%。

生5：他的意思是，可以先算后面兩次變化。那么，5月份價格=3月份價格×（1－20%）×（1＋20%）=3月份價格×96%。

師：這幾位同學的發(fā)現非常重要，從他們的發(fā)現里，你可以得到怎樣的結論？

生：我發(fā)現不管假設3月份的價格為多少，5月份的價格總是它的96%，那么，總是比3月份的價格下降1－96%=4%, 下降了4%。

師：同學們，剛才我們提出了不同的問題，有分步計算的問題，也有列綜合算式解決的問題，你覺得分步算好還是綜合算好？

生1：綜合的好，綜合的方便我們比較，發(fā)現5月份的價格只有3月份價格的96%。

生2：分步的也有優(yōu)點，沒有分步的，我一下子寫不出綜合算式。而且，分步的問題也讓我知道了4月份的價格是多少。

生3：通過分步算式，我知道了單位“1”是在變化的。求4月份的價格時，單位“1”是3月份的價格，求5月份的價格時，單位“1”是4月份的價格。因此，不能簡單地看到先降20%再漲20%，就以為價格不變了。

師：同學們對這類問題分析得非常到位，評價也很合理，太好了。

【設計意圖：學生通過分步計算，解決了實際問題，發(fā)現用不同的方法解決，5月份的價格都比3月份的價格要小。在此基礎上，教師呈現綜合算式，組織學生觀察、發(fā)現算式中隱藏的規(guī)律：不管怎么算，5月份的價格總是3月份價格的96%。隨后，教師組織學生對自己提出的分步和綜合兩類問題的作用進行比較，使學生發(fā)現這兩類問題各有自己的價值，前者能幫助我們更好地運用知識、解決問題，后者有利于我們發(fā)現其中的規(guī)律。】

（三）“問題提出”，拓展延伸

在研究例題的基礎上，教師鼓勵學生自己提出問題，通過“問題提出”考查學生對此類問題的理解程度。

師：剛才，我們提出了分步和綜合的兩類問題，在解決問題的過程中，發(fā)現了價格變化幅度問題的規(guī)律。你能不能試著自己提出一個類似的問題？

生1：商場里搞促銷，一臺電視機先降價20%，促銷結束后又漲價20%?，F在價格和原來比是貴了還是便宜了？

生2：冬天快到了，一款羽絨衣漲價了20%，到了春天，又降價20%。這款羽絨衣比原價貴了還是便宜了？

生3：我也是電視機，但是，我是先降價10%，再漲價10%，問貴了還是便宜了？

生4：一臺洗衣機，先降價20%，再上漲百分之幾才能回到原價？

生5：如果是連續(xù)漲20%，5月份的價格與3月份的價格比相差多少？如果是連續(xù)降價20%，5月份的價格和3月份的價格相比，相差多少？

師：太精彩了，同學們不但提出了和課本上類似的問題，還提出了很多新問題。我們先來研究哪一個呢？

生6：第一個問題和剛才的例題是一樣的，所以我不研究了。我想研究先漲價再降價的問題，因為這個問題的過程和例題剛好相反。

生7：我想研究降價10%再漲價10%的問題，我想看看百分數變了，是不是還是一樣的結果。

生8：連續(xù)降價肯定比原價低，連續(xù)漲價也肯定比原價高，但是相差多少，還是可以研究的。

生9：洗衣機先降價20%，再漲多少的問題有點復雜，但我想試試。

（學生解答自己感興趣的問題后，在全班交流）

1.研究“先漲20%再降20%”的問題

生：我是假設羽絨衣的價格為單位“1”，1×（1+20%）×（1-20%）=0.96=96%。我發(fā)現和先降再漲是一樣的。

師：怎么會這樣呢？兩種不同的算法，4月份的價格是不一樣的啊？

生1：“先漲再降”是先乘120%再乘80%，“先降后漲”是先乘80%再乘120%，不管先后順序，最終都是原價的96%，和先降20%再漲20%一樣。

結合學生的回答，教師完成完整板書：

先漲再降：1×（1+20%）×（1-20%）=1×96%=0.96

先降再漲：1×（1-20%）×（1+20%）=1×96%=0.96

生2：根據乘法交換律，先乘80%或先乘120%，結果都是一樣的。

2.研究“先降10%再漲10%”的問題

師：剛才有一個問題，是把20%都換成了10%，誰解決了這個問題？

生1：改成10%的話，那就是1×（1－10%）×（1＋10%）=0.99，也就是99%，還是便宜了。

生2：我發(fā)現改成先漲10%再降10%，也是一樣的，因為只是交換了一下運算順序。

生3：我自己又把10%改成了30%試了一下，1×（1－30%）×（1＋30%）=91%，還是降了。

師：這個嘗試非常好，我們把10%、20%、30%聯(lián)系起來看一下，你有什么發(fā)現？（見圖2）

圖2

生1：不管是百分之幾，也不管是先漲后降，還是先降后漲，都比原來要便宜。

生2：而且，這個百分數越大，最后就越便宜。

生3：漲和降必須是同一個百分數，比方說，都是10%，或都是20%。

師：大家觀察得很仔細，最后這個意見非常嚴謹，確實是這樣的。

3.研究“先降20%再漲（ ）%才能回到原價”

師：剛才還有一個問題，先降20%，然后要回到原價，你怎么看？

生1：那肯定不可能是漲20%了。

生2：要比20%大一點。

生3：我剛才選的就是這個問題。先降20%，那就是0.8，然后要回到原價，就是回到單位“1”，所以，我只要用單位“1”除以0.8就行了，得到1.25，也就是125%，那么就是再漲25%。

師：按照你的方法，算式應該是1÷（1－20%）－1=25%。我們也可以把25%放到乘法算式中驗算一下：“1×（1－20%）×（1＋25%）”，回到原價了嗎？

生：1×（1-20%）×（1+25%）=1×80%×125%=1×1=1，是原價。

師：按照他的方法，我們還可以研究先降10%，再漲百分之幾，可以回到原價的問題，當然也可以研究其他百分數，這個問題我們課后再去研究。

【設計意圖：在提問的過程中，一部分學生模仿例題對所學知識進行了運用，更多的學生則在原有的基礎上進行了發(fā)散性思考，提出了包含更多變化的新問題。這些問題的提出和解決，使學生對此類問題有了新的認識和更深的理解。學生的“問題提出”和數學思考能力得到了進一步的發(fā)展?！?/p>

四、教學反思

本堂課的教學過程，充分體現了“問題提出”教學模式對學生數學學習、情感態(tài)度和數學思考等方面的價值。

（一）創(chuàng)設恰當的情境鼓勵學生提出問題

“問題提出”教學模式的目的是給學生創(chuàng)造更多的學習機會，鼓勵更多的學生參與學習活動。因此，教師應重視不同層次學生的課堂表現，在課堂教學之初，應該降低學習的門檻，讓更多學生參與進來。教師請學生根據情境，提出簡單的或稍復雜的問題，這有利于不同水平的學生提出符合自身認知的問題。因此，學生提出了分步和綜合兩種問題，一方面，分步問題分解了學習難點，使學生得以運用所學知識解決問題；另一方面，綜合問題有利于學生從整體的視角觀察和審視問題中包含的規(guī)律。

在學生解決基本問題之后，教師再次鼓勵學生提出類似的問題。這既為學生運用剛得出的方法提供了機會，也為提出和研究新問題創(chuàng)造了條件。學生在第一次提問活動的激勵下，進行發(fā)散性的思考，提出了三種新的問題，為進一步研究這類問題提供了優(yōu)質的素材。

（二）提出不同層次的問題推動思維發(fā)展

在整個教學活動中，學生提出問題的思維水平層層遞增。從分步問題到綜合問題再到變式問題，最后提出發(fā)散性問題，學生在解決這些問題的過程中，對“百分數變化幅度問題”的認識，經歷了計算問題的結果到研究解答的過程，再到同類型問題的舉一反三和歸納整理的過程。在這一過程中，學生不僅掌握了研究此類問題的方法，在變式運用中提高了對問題本質的理解，而且提升了自己的思維水平，在研究問題的方法、策略等方面也積累了相關的經驗。

因此，可以說，“問題提出”教學模式激發(fā)了學生研究數學問題的強烈愿望，并為研究提供了一條清晰的路徑，對學生數學學科素養(yǎng)的進一步發(fā)展起到了重要的作用。