鄒知璇 孟婷蕊 郭航序 HUANG MELISA 韓宜均

暨南大學(xué)

一、問題背景與重述

（一）問題背景

商業(yè)銀行作為高風(fēng)險(xiǎn)行業(yè)，以安全性和穩(wěn)健性作為發(fā)展戰(zhàn)略，制定正確的信貸決策能夠使銀行的信貸管理保持理想的水平，避免過(guò)大風(fēng)險(xiǎn)[1]。近年來(lái)，中小微企業(yè)快速發(fā)展，但是由于其規(guī)模相對(duì)較小，缺少抵押資產(chǎn)，所以銀行會(huì)綜合評(píng)估企業(yè)的資金實(shí)力、供求關(guān)系、信譽(yù)情況等，向?qū)嵙?qiáng)、供求關(guān)系穩(wěn)定的企業(yè)提供貸款，并對(duì)信譽(yù)高、信貸風(fēng)險(xiǎn)小的企業(yè)給予利率優(yōu)惠。

（二）問題模擬

現(xiàn)在已知某銀行對(duì)確定要放貸企業(yè)的貸款額度為10～100萬(wàn)元；年利率為4%～15%；貸款期限為1年。需要我們根據(jù)收集的數(shù)據(jù)信息，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型研究對(duì)中小微企業(yè)的信貸政策，主要解決以下問題：

對(duì)企業(yè)的信貸風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化分析，給出該銀行在年度信貸總額固定時(shí)對(duì)這些企業(yè)的信貸策略。

企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)和經(jīng)濟(jì)效益可能會(huì)受到一些突發(fā)因素影響，而且突發(fā)因 素往往對(duì)不同行業(yè)、不同類別的企業(yè)會(huì)有不同的影響。綜合考慮各企業(yè)的信貸風(fēng)險(xiǎn)和可能的突發(fā)因素（例如：新冠病毒疫情等）對(duì)各企業(yè)的影響，給出該銀行在年度信貸總額確定的信貸調(diào)整策略。

二、問題分析

（一）問題一的分析

針對(duì)問題一信貸風(fēng)險(xiǎn)量化和信貸策略選擇，首先，需要進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。由于存在“作廢發(fā)票”、正負(fù)值價(jià)稅總額、兩級(jí)分化現(xiàn)象明顯等問題。針對(duì)問題進(jìn)行數(shù)據(jù)規(guī)格化，構(gòu)建企業(yè)月度進(jìn)銷項(xiàng)價(jià)稅總額及增長(zhǎng)率、退款價(jià)稅總額及增長(zhǎng)率、大單交易額和企業(yè)稅率值等企業(yè)信貸風(fēng)險(xiǎn)影響指標(biāo)。同時(shí)，利用數(shù)據(jù)可視化，探查指標(biāo)與企業(yè)信譽(yù)評(píng)級(jí)的影響程度。接著，根據(jù)預(yù)處理的結(jié)果，構(gòu)建關(guān)于企業(yè)信譽(yù)指數(shù)的三級(jí)指標(biāo)體系，采用模糊評(píng)價(jià)和TOPSIS評(píng)價(jià)分別從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行企業(yè)信貸風(fēng)險(xiǎn)量化。最后，建立基于目標(biāo)優(yōu)化的雙階段信貸策略選擇模型，階段一以貸款金額作為決策變量，以風(fēng)險(xiǎn)最小作為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造單目標(biāo)優(yōu)化模型；通過(guò)指數(shù)函數(shù)擬合貸款利率與客戶流失率函數(shù)，建立銀行期望收益模型，計(jì)算當(dāng)期望收益最大時(shí)企業(yè)信貸年利率，即為最優(yōu)解。

（二）問題二的分析

針對(duì)問題二企業(yè)經(jīng)歷突發(fā)狀況時(shí)銀行的信貸策略調(diào)整，不同行業(yè)、不同類別企業(yè)所受的影響也各不相同。突發(fā)事件一方面通過(guò)對(duì)企業(yè)的現(xiàn)金流、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)等方面產(chǎn)生直接影響，一方面通過(guò)對(duì)整體行業(yè)、銀行信貸政策等方面產(chǎn)生間接影響。為了能夠有效的模擬突發(fā)情況發(fā)生后放貸方與貸款方之間的動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程，建立基于動(dòng)態(tài)蛛網(wǎng)理論的突發(fā)情況信貸調(diào)整模型，引入人均可支配收入和突發(fā)情況導(dǎo)致的額外成本兩因素。利用最大似然估計(jì)法對(duì)動(dòng)態(tài)蛛網(wǎng)模型進(jìn)行回歸擬合，得到供求關(guān)系彈性曲線，確定蛛網(wǎng)模型的收斂性，最后，將結(jié)果帶入價(jià)格收斂條件，得出調(diào)整之后的信貸策略。

（三）符號(hào)說(shuō)明

三、問題一模型的建立與求解

（一）數(shù)據(jù)預(yù)處理

1.數(shù)據(jù)規(guī)格化確立

本文收集的是123家企業(yè)在2017年7月18日到2019年12月18日的所有進(jìn)銷項(xiàng)價(jià)稅數(shù)據(jù)信息。為了能夠體現(xiàn)數(shù)據(jù)變化情 況，建立基于時(shí)間序列的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型，需要采用如下計(jì)算進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理：

（1）企業(yè)月度進(jìn)銷項(xiàng)價(jià)稅總額及其增長(zhǎng)率

以月為時(shí)間單位，分別計(jì)算所有企業(yè)的月度進(jìn)銷項(xiàng)價(jià)稅總額及其增長(zhǎng)率。針 對(duì)第 i 家企業(yè)，其中：

（3）大單交易額確定

同一企業(yè)中存在銷售金額兩級(jí)分化嚴(yán)重的情況，所以需要確立交易閾值 k，超過(guò)閾值部分，規(guī)定為大單交易額large _ dealsj。

（4）企業(yè)稅率值

2.數(shù)據(jù)可視化分析

（1）信譽(yù)評(píng)級(jí)四級(jí)企業(yè)的進(jìn)項(xiàng)和銷項(xiàng)價(jià)稅總額對(duì)比

分析圖4-1可知，信譽(yù)評(píng)級(jí)與企業(yè)的進(jìn)項(xiàng)和銷項(xiàng)價(jià)稅總額有極大的相關(guān)性，因此，本方案利用進(jìn)項(xiàng)和銷項(xiàng)總金額和總成交筆數(shù)的差值作為企業(yè)信譽(yù)評(píng)級(jí)影響因素。

圖4-1 四級(jí)企業(yè)的進(jìn)項(xiàng)和銷項(xiàng)價(jià)稅總額折線對(duì)比圖

（2）大單交易閾值確定

分析圖4-2，考慮數(shù)據(jù)的稀疏性，我們選取 10000 作為大單的閾值k，由此即可精確反應(yīng)企業(yè)的資金實(shí)力情況。

圖4-2 企業(yè)交易金額分布

（3）四級(jí)企業(yè)交易成功數(shù)和退貨數(shù)對(duì)比

由圖 4-3可以發(fā)現(xiàn)，企業(yè)的信貸風(fēng)險(xiǎn)與其交易成功率有極大的相關(guān)性。

圖4-3 四級(jí)企業(yè)正價(jià)稅和負(fù)價(jià)稅數(shù)量的柱狀圖

（二）企業(yè)信貸風(fēng)向指標(biāo)體系建立

由上我們可以分析出，資金實(shí)力越雄厚，供求關(guān)系越穩(wěn)定，信貸風(fēng)險(xiǎn)越低，企業(yè)的信譽(yù)級(jí)別越高。因此，本文構(gòu)建關(guān)于企業(yè)信譽(yù)指數(shù)的指標(biāo)體系 如表 4-1 所示。

表4-1 指標(biāo)體系表

其中，入賬總額=銷項(xiàng)總額-進(jìn)項(xiàng)總額，進(jìn)銷規(guī)模比值=進(jìn)項(xiàng)總筆數(shù)/銷項(xiàng)總筆數(shù)。

（三）企業(yè)信貸風(fēng)險(xiǎn)量化結(jié)果

1.信譽(yù)級(jí)別模糊評(píng)價(jià)

本文采用綜合評(píng)價(jià)模型量化信貸風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別，選取九項(xiàng)指標(biāo)，根據(jù)所有取樣值的區(qū)間分布，將區(qū)間進(jìn)行合理劃分，得到各等級(jí)的對(duì)應(yīng)指標(biāo)值，如下表所示：

表4-2 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

2.基于 TOPSIS 的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)的建立

構(gòu)建決策矩陣為：

Step1 ：對(duì)矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，計(jì)算結(jié)果如下：

Step2 ：構(gòu)建決策矩陣：

Step3 ：根據(jù)距離確定理想解：

Step4 ：計(jì)算指標(biāo)到理想解的距離，本文選用歐氏距離，計(jì)算公式為：

Step5 ：計(jì)算相對(duì)貼切度：

由于本項(xiàng)指標(biāo)采用的是正向評(píng)估，因此值越大代表風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)越低。在本方案中，將確定的九項(xiàng)影響指標(biāo)值帶入計(jì)算，求得所有企業(yè)的信貸風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指數(shù)，舉例部分企業(yè)如表4-3所示：

表4-3 部分企業(yè)信貸風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)值

（四）基于目標(biāo)優(yōu)化的雙階段信貸策略選擇模型

1.階段一：基于單目標(biāo)優(yōu)化的貸款金額選擇策略

根據(jù)銀行貸款定價(jià)的一般原則：利潤(rùn)最大化、擴(kuò)大市場(chǎng)份額和保證貸款安全性，因此，本階段以貸款金額作為決策變量，以企業(yè)信貸風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指數(shù)作為決策變量的系數(shù)，以風(fēng)險(xiǎn)最小，即分?jǐn)?shù)最大作為目標(biāo)函數(shù)，可以得到目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式為：

其中，C 代表所有企業(yè)的信貸風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)得分越高，風(fēng)險(xiǎn)越小。ci 代表公司的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估分?jǐn)?shù)。隨后確定約束條件，公司的貸款金額為10w-100w之間，因此得到約束條件 1：

100000 ≤ xi≤1000000,i=1,...,n

由于金額的總數(shù)是固定的，得到約束條件 2：

其中，m 為貸款額度總值。由此可以得到優(yōu)化模型為：

假設(shè)此時(shí)貸款額度總值為3000w元，帶入優(yōu)化模型求解，得到ABC級(jí)企業(yè)的貸款額度分別為100w元，40w元和10w元，ABC級(jí)企業(yè)的貸款額度以 10:4:1 的比例進(jìn)行分配，得到如圖4-4所示結(jié)果：

圖4-4 貸款金額分布

2.階段二：基于回歸擬合的貸款利率選擇策略

在確定了不同企業(yè)的貸款金額之后，基于貸款金額和不同信譽(yù)評(píng)級(jí)的企業(yè)的客戶流失率[3]，需要確定此時(shí)最優(yōu)的貸款年利率。

Step1：貸款利率與客戶流失率分析

由圖4-5客戶流失率與貸款利率的走勢(shì)圖，我們推測(cè)貸款利率與客戶流失率呈指數(shù)關(guān)系或者線性關(guān)系，且對(duì)于信譽(yù)評(píng)級(jí)不同的企業(yè)，兩者走勢(shì)大體相同，所以可以使用同一模型進(jìn)行擬合。

圖4-5 貸款利率與客戶流失率關(guān)系圖

Step2：擬合貸款利率與客戶流失率

分別采用指數(shù)關(guān)系和線性關(guān)系[4]進(jìn)行擬合，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)及文獻(xiàn)分析，指數(shù)擬合函數(shù)為：

由此，以信譽(yù)評(píng)級(jí)A的客戶為例，得到基于指數(shù)關(guān)系擬合關(guān)系，如圖4-6所示：

圖4-6 函數(shù)擬合圖

分析圖4-6可知，指數(shù)擬合比線性擬合更具有代表性，能夠最大限度的擬合出貸款年利率和客戶流失率的變化關(guān)系。接著，在擬合統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，本文得到指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的 R方分別為0.896和0.982。綜合以上兩點(diǎn)分析，擇優(yōu)選擇對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)函數(shù)進(jìn)行擬合，并得到貸款利率和客戶流失的函數(shù)關(guān)系為：

其中y1、y2和y3分別代表信譽(yù)評(píng)級(jí)A、B和C的客戶流失率，x1、x2和x3代表信譽(yù)評(píng)級(jí)A、B和 C的貸款年利率。

Step3：基于銀行期望收益最大化的最優(yōu)年利率選擇

當(dāng)貸款金額確定時(shí)，銀行對(duì)于放貸企業(yè)的期望收益可以表示為：

期望收益pi=貸款年利率xi×(1 -客戶流失率yi)

即，對(duì)于信譽(yù)級(jí)別 A 的企業(yè)而言有

由于此時(shí)貸款金額是確定的，所以想要保證銀行的總體利潤(rùn)最大化，即滿足銀行放出的每一筆貸款收益最大化，因此，求解式上式當(dāng)v 取最大值時(shí)，x的取值即可滿足要求。可視化式走勢(shì)如圖4-7所示。

圖4-7 期望收益函數(shù)圖

通過(guò)計(jì)算函數(shù)的拐點(diǎn)即可確定公司對(duì)于A級(jí)企業(yè)的期望最大收益。

五、問題二模型的建立與求解

（一）基于動(dòng)態(tài)蛛網(wǎng)理論的突發(fā)情況信貸調(diào)整模型

信貸市場(chǎng)[6]是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)變化市場(chǎng)，放貸方與貸款方存在著復(fù)雜的博弈。過(guò)高的利率將會(huì)造成客戶的過(guò)度流失，使得銀行利益受損；而過(guò)低的利率將會(huì)吸 引到較劣質(zhì)客戶，造成壞賬率上升與銀行利益損失。因此需要構(gòu)建動(dòng)態(tài)博弈模型 準(zhǔn)確量化放貸方與貸款方之間的博弈過(guò)程，求解出最優(yōu)平衡點(diǎn)作為最優(yōu)信貸方案。

根據(jù)資金供給和資金需求彈性的關(guān)系，蛛網(wǎng)模型有三種分類。

收斂型：供給價(jià)格需求彈性小于需求價(jià)格彈性，市場(chǎng)偏離均衡價(jià)格之后，波動(dòng)幅度將逐漸變小，最后回到初始均衡點(diǎn)；

發(fā)散型：供給價(jià)格彈性大于需求價(jià)格彈性，市場(chǎng)偏離均衡價(jià)格后將慢慢遠(yuǎn)離；

封閉型：供給價(jià)格彈性與需求價(jià)格彈性相等，市場(chǎng)圍繞均衡點(diǎn)波動(dòng)，且波動(dòng)幅度保持一致。

因此，根據(jù)需求量和供給量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，給出蛛網(wǎng)模型具體公式如下：

其中，Qts 表示商品第t 期的的供給量，Qtd表示商品第t期的需求量，Pt 表示商品第t期的價(jià)格。α、β、δ、γ為常數(shù)，均大于零。

假設(shè)短期內(nèi)供給曲線保持不變，根據(jù)價(jià)格收斂條件，有：

可以發(fā)現(xiàn)，突發(fā)情況提高了貸款方的資金成本，即通過(guò)放大 Pr 取值的方法來(lái)降低貸款需求，穩(wěn)定信貸產(chǎn)品市場(chǎng)。

（二）模型的求解

（1）確定最優(yōu)參數(shù)

本小節(jié)以 2019 年 12 月—2020 年 7 月間新冠疫情經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)為例，探究突發(fā) 情況對(duì)信貸市場(chǎng)的影響，以及求解最優(yōu)信貸調(diào)整方案如圖 5-1 所示。

圖5-1 經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)可視化

接著，利用最大似然估計(jì)法對(duì)需求和供給曲線進(jìn)行回歸，得到參數(shù)擬合值，結(jié)果見表5-1：

表5-1 參數(shù)擬合結(jié)果表

由上表可以發(fā)現(xiàn)，新冠疫情情況下信貸市場(chǎng)供給曲線彈性與需求曲線彈性不相等，其中供給曲線彈性為γ=0.703，需求曲線彈性為β=0.375。供給曲線彈性大于需求曲線彈性，屬于蛛網(wǎng)模型中的收斂型。

將新冠疫情下信貸市場(chǎng)需求與供給曲線擬合參數(shù)代入價(jià)格收斂條件，解得銀行在年度信貸總額為 1 億元時(shí)的信貸策略如圖5-2 所示。

圖5-2 企業(yè)貸款分配方案

六、模型的優(yōu)點(diǎn)及改進(jìn)方向

（一）模型優(yōu)點(diǎn)分析

1.本文構(gòu)建關(guān)于企業(yè)信譽(yù)指數(shù)的指標(biāo)體系較為完善，且均通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，能夠在很大程度上衡量企業(yè)信貸的風(fēng)險(xiǎn)性。

2.本方案采用兩種不同的評(píng)價(jià)方式從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行企業(yè)信貸風(fēng)險(xiǎn)的量化，可以為企業(yè)做信貸決策提供支持。

3.本文建立了基于目標(biāo)優(yōu)化的雙階段信貸策略選擇模型，與機(jī)器學(xué)習(xí)結(jié)果匹配度達(dá)99.5%，說(shuō)明模型具有很強(qiáng)的準(zhǔn)確性和適用性。

4.本文建立了基于動(dòng)態(tài)蛛網(wǎng)理論的突發(fā)狀況調(diào)整模型，全面且精確的模擬出放貸方與貸款方之間的動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程，具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

（二）模型改進(jìn)方向

1.本文對(duì)于企業(yè)信貸指數(shù)影響因素的確定還偏少，并沒有完全挖掘出表格中數(shù)據(jù)的潛在特征，因此，對(duì)于指標(biāo)的選取還有改進(jìn)空間。

2.本文在信貸策略決策時(shí)，僅考慮了貸款金額和貸款利率的決策，對(duì)于還款期限沒有限制，因此，可以增加約束條件，決策各級(jí)企業(yè)的還款期限。