屈 展，劉 佳，楊勝?gòu)?qiáng)，郝曉偉

（1.太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，山西 太原 030024；2.精密加工山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024）

1 引言

隨著葉片類零件在工業(yè)中的需求不斷增加，現(xiàn)有的加工方式難以滿足其生產(chǎn)需求。工業(yè)機(jī)器人由于其多自由度且靈活多變的特點(diǎn)，逐漸被應(yīng)用到葉片類零件的拋磨加工中。在機(jī)器人自動(dòng)化拋磨葉片的過(guò)程中，拋磨軌跡的精度是影響葉片拋磨質(zhì)量的重要因素。因此，高精度的拋磨軌跡至關(guān)重要。

傳統(tǒng)的機(jī)器人拋磨運(yùn)動(dòng)軌跡是通過(guò)在線示教編程得到的，對(duì)于葉片類零件來(lái)說(shuō)，這種方法生成軌跡難度大、耗時(shí)長(zhǎng)且滿足不了精度要求。目前大多采用離線編程的方式得到拋磨軌跡，通過(guò)處理CAD 模型生成拋磨軌跡，效率以及軌跡精度會(huì)大大提高［1-2］。文獻(xiàn)［3］提出了一種基于包圍盒思想的拋磨軌跡生成方法，采用包圍盒思想，引入機(jī)床表面銑削行切法，根據(jù)待加工模具的基本輪廓形象生成軌跡。文獻(xiàn)［4］通過(guò)基于CAD系統(tǒng)數(shù)據(jù)的自動(dòng)規(guī)劃和編程系統(tǒng)規(guī)劃了機(jī)器人拋光路徑。通過(guò)Roboguide軟件在虛擬環(huán)境中對(duì)整個(gè)拋光系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)在線控制。文獻(xiàn)［5］提出了一種基于Hilbert曲線的路徑生成算法，生成的路徑可以從多個(gè)方向通過(guò)自由曲面上的點(diǎn)且覆蓋密度是可調(diào)節(jié)的。文獻(xiàn)［6］等借鑒銑削加工中刀軌生成方法，提出一種機(jī)器人拋光自由曲面的軌跡規(guī)劃方法，利用等殘留高度算法生成拋光軌跡。

以上文獻(xiàn)中所采用的軌跡生成方法，均存在程序復(fù)雜，生成軌跡效率低的缺點(diǎn)。提出了一種機(jī)器人拋磨葉片的軌跡生成方法，采用基于三角網(wǎng)格模型的分層切片處理方法得到拋磨葉片的軌跡。并在傳統(tǒng)的分層切片算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)了交點(diǎn)追蹤方式，使生成的軌跡更加完善，效果更好。三角網(wǎng)格模型方法因其快速靈活、拓?fù)溥m應(yīng)能力強(qiáng)，而經(jīng)常被使用。基于STL數(shù)據(jù)模型的快速切片［7-9］算法，廣泛應(yīng)用于復(fù)雜零件的快速成型系統(tǒng)。該算法亦可應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人離線編程系統(tǒng)。

2 基于STL的分層切片算法

分層切片算法是采用一組平行平面，與工件的STL三維網(wǎng)格模型相交，根據(jù)分層平面與三角網(wǎng)格的相交情況，求取交點(diǎn)。根據(jù)三角網(wǎng)格間的鄰接關(guān)系，將所求交點(diǎn)依次連線，得到一條封閉的輪廓環(huán)，即拋磨路徑軌跡。軌跡生成原理，如圖1所示。

圖1 軌跡生成原理圖Fig.1 Schematic of Trajectory Generation

2.1 三角網(wǎng)格模型的建立

通過(guò)UG12.0建立葉片三維模型，提取葉片的STL文件數(shù)據(jù)，由STL文件數(shù)據(jù)生成三角網(wǎng)格模型。葉片的三維數(shù)據(jù)模型和三角網(wǎng)格模型，如圖2所示。

圖2 葉片模型Fig.2 Leaf Model

STL文件為一系列無(wú)序的空間三角面片的點(diǎn)數(shù)據(jù)集合。在讀取STL文件時(shí)，首先需要建立三角面片間的鄰接關(guān)系，并去除冗余點(diǎn)，具體的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)采用三角形網(wǎng)格鄰接表的形式。

三角形面片鄰接表主要記錄三角形號(hào)碼、毗鄰邊以及網(wǎng)格間的毗鄰關(guān)系。每個(gè)三角形面片都會(huì)相鄰有三個(gè)三角形面片，每一條邊都是由兩個(gè)三角形共享，稱為鄰接網(wǎng)格。找出文件中共享同一邊的每對(duì)鄰接網(wǎng)格，這樣就能建立鄰接表了。鄰接網(wǎng)格，如圖3所示。三角形網(wǎng)格鄰接表，如表1所示。

圖3 網(wǎng)格1、2的鄰接網(wǎng)格Fig.3 Adjacent Grids of Grids 1，2

表1 三角形網(wǎng)格鄰接表Tab.1 Triangle Mesh Adjacency List

2.2 分層平面與三角網(wǎng)格相交的判別與交點(diǎn)計(jì)算

按曲率變化方向?qū)θ蔷W(wǎng)格模型進(jìn)行切片處理，如圖4 所示。用一系列平行的分層平面與三角網(wǎng)格相交（分層平面的分層方向沿垂直于葉片型面曲率變化大的方向），并進(jìn)行求交計(jì)算。將分層平面與該層所有網(wǎng)格棱邊的交點(diǎn)進(jìn)行連線，得到截面輪廓線，所有輪廓線構(gòu)成的封閉圖形的集合，為拋磨葉片的軌跡。

圖4 一組平行平面與葉片三角網(wǎng)格模型相交Fig.4 A Set of Parallel Planes Intersect with the TriangularMesh Model of the Blade

由于分層平面不能同時(shí)與一個(gè)三角面片的三條棱邊都相交，需要對(duì)三條棱邊中與該平面相交的兩條邊進(jìn)行判別，如圖5所示。分層平面Z=mi與三角面（Z1，Z2，Z3）相交。

圖5 三角面片與分層平面相交的判別Fig.5 Discrimination of Intersection of Triangular Patch and Layered Plane

若mi≥mid（Z1，Z2，Z3），則與max（Z1，Z2，Z3）點(diǎn)連接的兩條棱邊與該平面相交；若mi≤mid（Z1，Z2，Z3），則與min（Z1，Z2，Z3）點(diǎn)連接的兩條棱邊與該平面相交。

其中max（Z1，Z2，Z3），mid（Z1，Z2，Z3），min（Z1，Z2，Z3）為三角面片三個(gè)頂點(diǎn)Z1，Z2，Z3的最大值、中間值與最小值。若分層平面與三角面片棱邊Z1，Z2相交，設(shè)Z1，Z2的坐標(biāo)分別為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），則交點(diǎn)坐標(biāo)可由直線方程確定。

求得分層平面與棱邊的交點(diǎn)坐標(biāo)為：

同理，求出所有的相交點(diǎn)。

2.3 分層切片算法求加工軌跡

分層切片算法實(shí)際上是采用一組平行平面，與工件的STL三維網(wǎng)格模型相交，根據(jù)平行平面與三角面片的相交情況求取交點(diǎn)，然后根據(jù)三角面片間的鄰接關(guān)系，將交點(diǎn)連線，得到一條封閉的輪廓環(huán)，即拋磨路徑軌跡。

對(duì)葉片工件進(jìn)行分層切片處理，需要確定分層的方向以及分層的間距△Z，然后以一系列間距為△Z的分層平面與三角面片相交并求取交點(diǎn)。分層方向沿垂直于葉片曲率變化大的方向，分層間距要小于三角葉片沿分層方向最大坐標(biāo)值與最小坐標(biāo)值的差值的最小值。假設(shè)三角面片沿分層方向的最大和最小坐標(biāo)值分別為Zmax和Zmin。則分層厚度△Z＜min（Zmax-Zmin）。

每個(gè)分層平面與三角面片相交得到交點(diǎn)的集合，即｛p1，p2，p3，…，pm，pn｝。分層平面與同一個(gè)三角面片相交，一般情況下會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)（分層平面與三角面片的一個(gè)頂點(diǎn)相交時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)）點(diǎn)pm和pn。在求交過(guò)程中，對(duì)于一個(gè)分層平面Zi，首先計(jì)算第一個(gè)與該平面相交的三角面片，求出交點(diǎn)坐標(biāo)。然后根據(jù)三角網(wǎng)格的鄰接關(guān)系找出相鄰的三角面片，沿垂直于分層方向正向追蹤交點(diǎn)（分層方向?yàn)閆向，垂直分層方向的正向?yàn)閄正向），并將交點(diǎn)連線。訪問(wèn)過(guò)的三角網(wǎng)格，通過(guò)標(biāo)志label=1識(shí)別。直至搜索完所有的交點(diǎn)并連成線，形成一條封閉的輪廓環(huán)。得到這條軌跡后，標(biāo)志重新改為label=0。如交點(diǎn)為三角面片的頂點(diǎn)，則按照點(diǎn)表搜索該頂點(diǎn)的三角網(wǎng)格鄰域，找到其他的交點(diǎn)并連線。然后將新找到的有交點(diǎn)的三角面片作為下一個(gè)起始的三角面片，按照前面的方法重新追蹤。

假如三角面片分布，如圖6所示。

圖6 分層平面與三角面片相交的輪廓線示意圖Fig.6 Schematic Drawing of the Contour Line Where the Layered Plane Intersects the Triangle

計(jì)算過(guò)程首先根據(jù)三角面片數(shù)據(jù)文件的點(diǎn)拓?fù)溧徑雨P(guān)系計(jì)算與分層平面關(guān)聯(lián)的三角面片fk，然后通過(guò)對(duì)應(yīng)三角形的頂點(diǎn)v1，v2，v3確定交線方程。得到交點(diǎn)集合｛p1，p2，p3，…，pn-1，pn｝。假如計(jì)算的第一個(gè)與分層平面相交的三角面片為fk。交點(diǎn)為p1和p2。沿垂直于分層方向正向追蹤交點(diǎn)并連線。假如三角面片分布，如圖7所示。

圖7 分層平面與三角面片頂點(diǎn)相交的輪廓線示意圖Fig.7 Schematic Drawing of the Contour Line Where the Layered Plane Intersects the Vertices of the Triangle

當(dāng)前被處理的三角面片為fi，交點(diǎn)與三角面片的頂點(diǎn)重合，按照前面的方法找不到下一個(gè)待訪問(wèn)的毗鄰三角形，此時(shí)交點(diǎn)為p4。通過(guò)點(diǎn)表，找到以v3為頂點(diǎn)的所有三角形面片，在這些三角形面片構(gòu)成的鄰域內(nèi)，除了正在處理的三角形面片fi上的兩個(gè)交點(diǎn)p3和p4外，只剩下一個(gè)交點(diǎn)p5，將p4和p5連線。并將三角面片fj作為起始三角面片，依次向后追蹤連線。

綜上所述，該切片求交算法求加工軌跡的完整流程圖，如圖8所示。

圖8 切片求交算法求加工軌跡流程圖Fig.8 Flowchart Flow Chart of Slice Intersection Algorith

3 機(jī)器人拋磨運(yùn)動(dòng)

3.1 機(jī)器人拋磨姿態(tài)的確定

在葉片的拋磨加工過(guò)程中，保證拋磨輪在拋磨點(diǎn)處始終與葉片型面保持最大接觸能夠有效的提高拋磨效果。當(dāng)拋磨輪支撐軸方向沿接觸點(diǎn)的法向量方向，軸向沿最小主曲率方向，即拋磨輪軸向沿著與葉片工件最貼合方向，可實(shí)現(xiàn)工具與葉片工件的最大接觸［10］。葉片型面的主曲率與主方向可以做如下推導(dǎo)。葉片的STL文件中任一頂點(diǎn)vi的三角網(wǎng)格模型，如圖9所示。

圖9 葉片的STL文件中任一頂點(diǎn)vi的三角網(wǎng)格模型Fig.9 Triangular Mesh Model of any Vertex vi in the STL File of the Blade

三角面片fk的法矢Nfk的計(jì)算公式：

式中：ei—由頂點(diǎn)vi指向頂點(diǎn)vj的邊矢量；ei+1—由頂點(diǎn)vj+1指向頂點(diǎn)vi的邊矢量；頂點(diǎn)vi的法矢Nvi的計(jì)算公式：

式中：Ak—三角片fk的面積；rk—三角片fk在頂點(diǎn)vi處的內(nèi)角。

對(duì)于當(dāng)前點(diǎn)vi每個(gè)1-環(huán)鄰點(diǎn)vj，定義單位向量Tij是向量vj-vi在切平面?Nvi?⊥上的投影：

則，

是vi點(diǎn)處沿Tij的方向曲率。

除法向量Nvi為該矩陣特征值為0的特征向量外，另兩個(gè)特征向量T1，T2為主方向，特征值不是主曲率。主曲率為該矩陣的非零特征值函數(shù)。

主曲率方向拋磨姿態(tài)，如圖10所示。拋磨輪與葉片接觸于O點(diǎn)，調(diào)整拋磨輪以該姿態(tài)與葉片工件接觸，即拋磨輪支撐軸方向Zo沿O點(diǎn)的法向量方向，軸向方向Yo與T2平行，Xo與T1重合。

圖10 主曲率方向拋磨姿態(tài)圖Fig.10 Grinding Attitude Diagram of Principal Curvature Direction

3.2 拋磨機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

機(jī)器人按軌跡拋磨，需知道機(jī)器人末端位姿以及各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角。這就涉及到了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆向求解的問(wèn)題。建立機(jī)器人坐標(biāo)系，通過(guò)建立機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)變換矩陣便可以實(shí)現(xiàn)正運(yùn)動(dòng)學(xué)位置和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解計(jì)算，進(jìn)而對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)和姿態(tài)進(jìn)行控制。 在機(jī)器人各關(guān)節(jié)建立的笛卡爾空間坐標(biāo)系，如圖11所示。

圖11 機(jī)器人各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Fig.11 Coordinate System of Each Joint of the Robot

機(jī)器人在笛卡爾空間坐標(biāo)系中末端位姿信息可通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示：

當(dāng)已知機(jī)器人末端連桿位姿時(shí)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆向求解，得到各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度值，進(jìn)而控制機(jī)器人末端到達(dá)指定位置和姿態(tài)。若末端連桿位姿已經(jīng)給定，即n，o，a和p為已知，則求關(guān)節(jié)變量θ1，θ2，θ3的值稱為運(yùn)動(dòng)逆解。計(jì)算方法就是用轉(zhuǎn)換矩陣的逆矩陣左乘機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程兩邊，根據(jù)矩陣元素對(duì)應(yīng)相等，把關(guān)節(jié)變量分離出來(lái)，從而求解。

求得各關(guān)節(jié)角的值如下：

由以上求得的各關(guān)節(jié)角可知，對(duì)于機(jī)器人在同一個(gè)位姿處時(shí)，所求關(guān)節(jié)角會(huì)有多組解，并不是所有的解都能滿足機(jī)器人連續(xù)拋磨運(yùn)動(dòng)的條件，因此，需要在滿足機(jī)器人各關(guān)節(jié)在允許的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，以各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)過(guò)的最小角度為標(biāo)準(zhǔn)，求出最優(yōu)解。

4 機(jī)器人MATLAB運(yùn)動(dòng)仿真

為驗(yàn)證所給參數(shù)的正確性，并得到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)位移，運(yùn)動(dòng)速度以及運(yùn)動(dòng)加速度，保證機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性，現(xiàn)基于Matlab Robotic Toolbox對(duì)機(jī)器人進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡仿真。建立的機(jī)器人仿真模型，如圖12所示。

機(jī)器人在2s時(shí)間內(nèi)，關(guān)節(jié)1到關(guān)節(jié)6的運(yùn)動(dòng)位移、運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)加速度變化圖，如圖13所示。

由圖13（a）中可以看出，關(guān)節(jié)1、3、4、6位移從零逐漸向正向變化，關(guān)節(jié)2、5位移從零逐漸向負(fù)向變化；由圖13（b）可以看出，關(guān)節(jié)1、3、4、6的運(yùn)動(dòng)速度是先增大后減小，關(guān)節(jié)2、5與之相反；由圖13（c）可以看出，各關(guān)節(jié)初、末加速度均為零，運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)兩次極值，且為一正一負(fù)。

圖13 各關(guān)節(jié)在2s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化Fig.13 Movement Changes of Each Joint in 2s

從圖中可以看出，該機(jī)器人的位移曲線平滑，速度和加速度曲線連續(xù)，說(shuō)明在此工作過(guò)程中機(jī)器人運(yùn)動(dòng)比較平穩(wěn)，無(wú)干涉現(xiàn)象發(fā)生，驗(yàn)證了參數(shù)的準(zhǔn)確性。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證此拋磨軌跡規(guī)劃方法的有效性，對(duì)葉片進(jìn)行拋磨試驗(yàn)。由于葉片型面最大主曲率為0.0726，選擇拋磨輪半徑為10mm，拋磨輪轉(zhuǎn)速為1500r/min，機(jī)器人拋磨進(jìn)給速度為低速，拋磨深度為0.5mm，采用基于STL分層切片算法生成軌跡，切片分層厚度為2mm，所對(duì)應(yīng)的拋磨軌跡圖，如圖14所示。

圖14 基于STL切片算法的拋磨軌跡圖Fig.14 Grinding Trajectory Map Based on STL Slice Algorithm

拋磨前后分別選取葉片表面12個(gè)點(diǎn)，使用粗糙度儀分別進(jìn)行粗糙度（Ra）檢測(cè)。拋磨葉片效果，如圖15所示。

圖15 葉片拋磨效果對(duì)比圖Fig.15 Comparison of Blade Grinding Effect

其中圖15（a）為拋磨前，平均粗糙度為2.017μm；圖15（b）為拋磨后，平均粗糙度為0.936μm；結(jié)果表明采用STL 分層切片算法生成拋磨軌跡。

6 結(jié)論

（1）采用基于三角網(wǎng)格模型的分層切片處理方法得到葉片拋磨的軌跡。通過(guò)CAD/CAM技術(shù)建立葉片的三維模型，生成葉片的STL三角網(wǎng)格模型。

對(duì)該模型進(jìn)行分層切片處理，根據(jù)三角面片沿分層方向的最大和最小坐標(biāo)值，確定分層厚度。推導(dǎo)分層平面與三角面片相交判別以及交點(diǎn)計(jì)算公式，將所求交點(diǎn)依次連線，最后得到拋磨運(yùn)動(dòng)軌跡。

（2）對(duì)機(jī)器人末端進(jìn)行姿態(tài)的調(diào)整，保證拋磨輪在拋磨點(diǎn)處始終與葉片型面保持最大接觸。對(duì)機(jī)器人拋磨葉片進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆向求解，確定了機(jī)器人各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度，保證了機(jī)器人拋磨運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性。

基于Matlab Robotic Toolbox對(duì)機(jī)器人進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡仿真，可以看出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，無(wú)干涉現(xiàn)象發(fā)生。按此拋磨軌跡進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，拋磨效果明顯，表明了此軌跡規(guī)劃方法的可行性。