宋圣霖，雷文平，郝旺身，陳 宏

（鄭州大學(xué)振動(dòng)工程研究所，河南 鄭州 450001）

1 引言

時(shí)頻分析中的小波變換可以有效的處理具有非平穩(wěn)特征的碰摩信號(hào)。D.E.Newland構(gòu)造出了在頻域緊支及簡(jiǎn)單解析表達(dá)式的諧波小波，因其分解算法速度快在工程中得到了應(yīng)用；文獻(xiàn)[1]提出了諧波小波和去趨勢(shì)波動(dòng)算法，分析了摩擦信號(hào)特征提取的應(yīng)用；文獻(xiàn)[2]提出了改進(jìn)的諧波小波包峭度譜，能夠自適應(yīng)的從最優(yōu)頻帶含噪信號(hào)中出提取出故障信息；文獻(xiàn)[3]研究了諧波小波包和無(wú)環(huán)圖相關(guān)向量機(jī)（RVM）的故障診斷算法。

分形幾何是由美國(guó)數(shù)學(xué)家Benoit B.Mandelbrot提出的，分形維數(shù)是其中的一個(gè)重要參數(shù)。文獻(xiàn)[4]分析了數(shù)學(xué)形態(tài)分形維數(shù)（MMFD）和模糊C 均值的滾動(dòng)軸承性能退化狀態(tài)識(shí)別方法；文獻(xiàn)[5]分析了廣義分形維數(shù)（GFD）和核主成分分析在軸承微弱故障中的提??；文獻(xiàn)[6]分析了盒維數(shù)的變異性在滾動(dòng)軸承外圈故障的應(yīng)用。

綜上所述，研究提出了一種改進(jìn)諧波小波和分形的方法，分析了關(guān)聯(lián)維數(shù)在碰摩故障中的識(shí)別，改善了傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)維數(shù)和諧波小波分形算法的不足，得出的關(guān)聯(lián)維數(shù)在識(shí)別碰摩故障中更具有穩(wěn)定性和區(qū)分度，保真性較好。

2 諧波小波變換

諧波小波是復(fù)小波，它的時(shí)域定義為：

從式（1）可以看出，諧波小波在變換過(guò)程中具有相位鎖定的功能，可以把信號(hào)分解到不同的頻帶。

諧波小波也可以定義為：

信號(hào)x(t)在尺度j下的諧波小波ψm，n(t)的小波變換為：

根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)得：

式中：Wx(m，n，ω)—Wx(m，n，τ)的傅里葉變換；x(ω)—x(t)的傅里葉變換。

作Wx(m，n，ω)的傅里葉逆變換，即可得到尺度j下的信號(hào)諧波小波變換。

3 改進(jìn)諧波小波

諧波小波在頻域具有完美的盒型譜特征，克服了常見(jiàn)的db小波、樣條小波幅頻特性不夠好的不足。但諧波小波在時(shí)域的緊支性不夠好，衰減慢，以及時(shí)域產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象?；诖嗽谥C波小波時(shí)域中引入高斯包絡(luò)e-σ2t2，減少時(shí)域Gibbs現(xiàn)象以及對(duì)故障沖擊特征的平滑，結(jié)合諧波小波帶寬n-m，改進(jìn)諧波小波表達(dá)式如下：

式（5）可以分為：

式中：

式中：包絡(luò)修正系數(shù)k∈[0，1]，決定了改進(jìn)諧波小波時(shí)域衰減速率。4π(n-m)為幅值修正系數(shù)。改進(jìn)的諧波小波仍是復(fù)解析小波，近似具有盒型特性，頻譜頂部非常平坦，時(shí)域緊支性好于諧波小波。

4 G-P關(guān)聯(lián)維數(shù)

4.1 關(guān)聯(lián)維數(shù)算法

實(shí)測(cè)的滑動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)在一定時(shí)域長(zhǎng)度下可以采用分形維數(shù)來(lái)表征信號(hào)的不規(guī)則度。分形維數(shù)中實(shí)際應(yīng)用較多的是GP關(guān)聯(lián)維數(shù)，設(shè)一維數(shù)據(jù)序列為x1，x2，…，xN，取前N-(m-1)τ個(gè)數(shù)據(jù)，記n=N-(m-1)τ，其中m為嵌入維數(shù)。構(gòu)成一組相空間量，矩陣表示為：

以Xn×m矩陣中的行向量Xi為重構(gòu)空間中的點(diǎn)，任意兩點(diǎn)之間的空間距離為：

給定一個(gè)距離r，檢測(cè)有多少對(duì)距離Sij小于r，并標(biāo)記其占總數(shù)的比例為C(r)。

式中：H(r-si，j)—Heaviside函數(shù)：

選取合適的距離r，在無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)關(guān)聯(lián)維數(shù)D有如下關(guān)系：

4.2 關(guān)聯(lián)維數(shù)參數(shù)的選擇

關(guān)聯(lián)維數(shù)的大小和時(shí)延τ、點(diǎn)數(shù)N、嵌入維數(shù)m的大小有關(guān)，選取實(shí)驗(yàn)中的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。通過(guò)計(jì)算m=6，N=1024，τ依次為1，2，3，4，5，6 時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù)依次為0.8463，0.8225，0.8169，0.8297，0.8390，0.8354。τ的取值為1時(shí)關(guān)聯(lián)維數(shù)最大，變化趨勢(shì)接近于τ為1時(shí)的值，所以取τ=1。

通過(guò)計(jì)算m=6，τ=1，N依次為256，512，1024，2048，4096時(shí)，關(guān)聯(lián)維數(shù)大小依次為0.7990，0.8376，0.8463，0.8821，0.8913。雖然點(diǎn)數(shù)的增多會(huì)造成計(jì)算時(shí)間增長(zhǎng)，為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性，N取值為4096。

通過(guò)計(jì)算τ=1，N=4096，m依次為2到12的關(guān)聯(lián)維數(shù)。得出隨著嵌入維數(shù)的增大，無(wú)標(biāo)度區(qū)內(nèi)直線趨于平行。最終選取嵌入維數(shù)m=8。得出圖形，如圖1所示。

圖1 不同嵌入維數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)曲線Fig.1 Correlation Dimension Curves with Different Embedding Dimensions

5 仿真實(shí)驗(yàn)

分析Jeffcott 轉(zhuǎn)子的碰摩模型，如圖2所示。假設(shè)碰摩為彈性變形，摩擦符合庫(kù)倫定律，設(shè)定轉(zhuǎn)子質(zhì)量m，轉(zhuǎn)子阻尼c，轉(zhuǎn)子定子間隙δ，質(zhì)量偏心系數(shù)u，轉(zhuǎn)子剛度系數(shù)k，摩擦系數(shù)f，轉(zhuǎn)子徑向位移，轉(zhuǎn)子徑向剛度系數(shù)Kc，軸剛度非線性系數(shù)ks。則轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩運(yùn)動(dòng)方程可以寫(xiě)為：

圖2 碰摩模型Fig.2 Rub-impact Model

設(shè)定參數(shù)m=4kg，c=1200N·s/m，δ=0.2mm，k=3×106N/m，f=0.3，u=0.06mm，Kc=2×107N/m，ks=3×1011N/m。使用數(shù)值積分，得到時(shí)域圖以及改進(jìn)諧波小波包第三層分解前3個(gè)頻帶，如圖3所示。從圖3可以看出改進(jìn)諧波小波可以提取碰摩的沖擊成分，能量主要集中在第三層的近似成分。

圖3 仿真結(jié)果及小波變換Fig.3 Simulation Results and Wavelet Transform

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證改進(jìn)諧波小波分解信號(hào)后，計(jì)算出的關(guān)聯(lián)維數(shù)穩(wěn)定性，在Bently轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。采樣頻率fs=2560Hz，轉(zhuǎn)速為1200 r/min，單盤(pán)轉(zhuǎn)子左側(cè)使用固定塊安裝傳感器采集正常工況數(shù)據(jù)，右側(cè)對(duì)稱(chēng)安裝碰摩螺釘模擬單點(diǎn)碰摩故障，施加不平衡質(zhì)量2g模擬不平衡導(dǎo)致的碰摩（以下簡(jiǎn)稱(chēng)耦合故障）。試驗(yàn)設(shè)備，如圖4所示。對(duì)采集到的信號(hào)進(jìn)行頻域分析，如圖5所示。圖5的頻譜分析中單點(diǎn)碰摩的1×幅值小于正常的1×幅值，原因是碰摩起到了附加支撐的作用；不平衡產(chǎn)生的碰摩相比較于單點(diǎn)碰摩，1×、2×幅值上升。

圖4 Bently實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.4 Bently Test-Bed

圖5的頻譜成份都在前100Hz之內(nèi)，對(duì)信號(hào)進(jìn)行改進(jìn)諧波小波處理（k=0.1），取第三層的近似成分，計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)。隨著工況的復(fù)雜程度不斷增加，關(guān)聯(lián)維數(shù)從0.8819 增大到0.9026、0.9176，如圖6所示。

圖5 三種工況的頻譜圖Fig.5 Spectrum Diagram of Three Working Conditions

圖6 關(guān)聯(lián)維數(shù)擬合直線Fig.6 Correlated Dimension Fitting Line

分別對(duì)原始信號(hào)、諧波小波處理以及改進(jìn)諧波小波處理的關(guān)聯(lián)維數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，共8組，如表1～表3所示。

從表1到表3可以看出，原始信號(hào)的正常和單點(diǎn)碰摩的關(guān)聯(lián)維數(shù)區(qū)分度不是很好，原因是碰摩故障輕微難以進(jìn)行特征提??；諧波小波處理信號(hào)得到的關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)故障的區(qū)分度較好，穩(wěn)定性也得到了提高，但是諧波小波存在時(shí)域Gibbs現(xiàn)象，導(dǎo)致對(duì)碰摩沖擊特征的提取失真較為嚴(yán)重。各工況關(guān)聯(lián)維數(shù)增長(zhǎng)嚴(yán)重；改進(jìn)諧波小波引入的高斯包絡(luò)，改善了時(shí)域Gibbs現(xiàn)象的缺點(diǎn)，對(duì)沖擊特征的平滑較小，得出的關(guān)聯(lián)維數(shù)相比諧波小波處理，失真并不嚴(yán)重，關(guān)聯(lián)維數(shù)變化不大，并且穩(wěn)定性也得到提高。結(jié)果表明改進(jìn)諧波小波和分形能夠更好的提取碰摩故障的微弱成分。

表1 原始信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab.1 Statistics of Original Signal Correlation Dimension

表2 諧波小波關(guān)聯(lián)維數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of Harmonic Wavelet Correlation Dimension

表3 改進(jìn)諧波小波關(guān)聯(lián)維數(shù)統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistics of Improved Harmonic Wavelet Correlation Dimension

7 結(jié)論

原始信號(hào)經(jīng)改進(jìn)諧波小波處理后，在正常、單點(diǎn)碰摩、不平衡激勵(lì)的碰摩三種情況下得出的關(guān)聯(lián)維數(shù)相比較于傳統(tǒng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)算法穩(wěn)定性分別提高了29.17%，39.66%，41.03%，相比于諧波小波分別提升了19.05%，16.67%，14.81%。改進(jìn)諧波小波和分形算法減少了諧波小波在分解與重構(gòu)中對(duì)信號(hào)沖擊特征的平滑現(xiàn)象s，相比于傳統(tǒng)關(guān)聯(lián)維數(shù)算法來(lái)言區(qū)分度更好，相比于諧波小波分形算法來(lái)言保真性較好，為后續(xù)的早期碰摩故障研究提供了參考依據(jù)。