胡俊逸，金初云，賈相武，程文明

（1.浙江交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院軌道交通學(xué)院，浙江 杭州 311112；2.西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

1 引言

吊鉤是起重機的重要執(zhí)行機構(gòu)和承載機構(gòu)，其應(yīng)力和變形與安全生產(chǎn)息息相關(guān)，故應(yīng)對吊鉤的可靠性設(shè)計格外重視。在傳統(tǒng)的機械設(shè)計方法中，對吊鉤等部件采用較大的安全系數(shù)進(jìn)行設(shè)計，如今有限元方法（FEM，F(xiàn)inite Element Method）被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域，國內(nèi)外也有許多學(xué)者對吊鉤的受力分析進(jìn)行過詳細(xì)研究[1-4]。而在以上研究中通常未考慮能影響吊鉤應(yīng)力的隨機性影響因素，而起重機吊鉤一旦受隨機因素影響發(fā)生故障，將對生命和財產(chǎn)安全造成嚴(yán)重后果。也曾有學(xué)者將應(yīng)力作為唯一輸出要素進(jìn)行多隨機因素輸入條件下吊鉤的可靠性研究[5]，而在實際使用中，因長期形變導(dǎo)致的裝配關(guān)系改變從而影響吊鉤正常使用，也屬于吊鉤的失效類型；而有關(guān)吊鉤在應(yīng)力和變形雙重輸出響應(yīng)下的可靠性研究，還未有相關(guān)報道。

響應(yīng)面法（Response Surface Method，RSM）作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化和可靠性分析的有效方法，已被應(yīng)用于交通運輸、土木工程等[6-7]多個行業(yè)；根據(jù)所研究的問題模型復(fù)雜程度對響應(yīng)面法進(jìn)行改進(jìn)，也是許多學(xué)者的重要研究思路：與不同抽樣方法和優(yōu)化算法的結(jié)合，如文獻(xiàn)[7]；增加考慮模型時間維度，應(yīng)用于非線性領(lǐng)域，如文獻(xiàn)[5]；針對多輸出要素采用多重響應(yīng)面法進(jìn)行分析，研究問題模型在多失效模式下的可靠性，如文獻(xiàn)[8]采用雙重極值響應(yīng)面法（Dual Extremum Response Surface Method，DERSM）對航空發(fā)動機葉盤進(jìn)行流-固耦合分析和失效模式聯(lián)動抽樣，證明該方法的可行性。采用拉丁超立方抽樣與文獻(xiàn)［8］的雙重響應(yīng)面方法相結(jié)合，應(yīng)用于起重機吊鉤多失效模式可靠性分析中，也不失為一種有益的嘗試。

2 結(jié)合拉丁超立方抽樣雙重響應(yīng)面法

2.1 拉丁超立方抽樣（LHS）

LHS 是一種分層抽樣技術(shù)[9]，若抽樣數(shù)為n，則在n個K維度的樣本產(chǎn)生過程中，每個維度的分量根據(jù)樣本數(shù)n以等概率劃分為n個分區(qū)間，因此n個樣本共有K*n個分區(qū)間；然后在K*n個分區(qū)間內(nèi)隨機選出的分量組成n個樣本。其數(shù)學(xué)公式如:

式中：P和R—n×K的矩陣，R—（0～1）之間的隨機數(shù)；P—（1～n）的自然數(shù)，且同一列內(nèi)互不重復(fù)；sij—S的第i行第j列的分量，也就是第i個維度的概率分布函數(shù)在1到n個樣本之間的隨機取值，因此，sij取值必然在0到1之間變化，式（1）實現(xiàn)等概率均分取樣區(qū)間；式（2）中，F(xiàn)tj—第j維度的概率分布函數(shù)，因此，將sij帶入到第j維度概率分布函數(shù)的逆函數(shù)中，就能取得具體的第j維度屬于第i次取樣的結(jié)果tij。

正因為其等概率抽樣原理，因此能得到較為均勻的樣本分布，應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性分析，具有較好的各區(qū)間代表性，進(jìn)而提高結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果精度與效率。

2.2 雙重響應(yīng)面法

響應(yīng)面方法主要原理是通過構(gòu)造多項式方程來近似模擬問題的本構(gòu)關(guān)系，得到輸入變量與輸出響應(yīng)之間的近似顯式函數(shù)關(guān)系，并方便快速求解；通過對問題進(jìn)行實驗設(shè)計與抽樣分析，得到初始樣本點，對樣本點進(jìn)行回歸分析，得到顯式函數(shù)關(guān)系式，對非線性問題具有較好的求解效果。一般多采用完全二次、交叉、純二次非線性或線性方程作為擬合的目標(biāo)方程［8］。其一般表達(dá)式如：

式中：a0—常數(shù)項；n—輸入隨機變量個數(shù)；xi—輸入隨機變量；ai—一次項系數(shù)；aij—二次項系數(shù)；i、j—1到n的自然數(shù)。以上為單一響應(yīng)面法方程。若將LHS抽樣得到的tij以及Yi帶入到式（3）的xi和xj中，就能通過最小二乘法得到a0、ai、aij的取值，即完成響應(yīng)面方程的構(gòu)建。

雙重響應(yīng)面法即針對多個輸出因素進(jìn)行拉丁超立方的實驗設(shè)計，每一次取樣對應(yīng)著多個輸出因素，并構(gòu)建出多個響應(yīng)面方程。

如選取材料密度、重力加速度、起吊物質(zhì)量作為輸入變量，以吊鉤最大應(yīng)力σ、吊鉤最大變形ξ作為輸出因素。所對應(yīng)的雙重響應(yīng)面方程如下：

式中：x1—密度ρ；x2—重力加速度g；x3—吊物重量u。在雙重響應(yīng)面法的可靠性分析過程中，代入每一次抽樣數(shù)據(jù)，得到兩個輸出響應(yīng)值，與各自的失效條件進(jìn)行比較，只要任意一個輸出響應(yīng)值達(dá)到失效條件，即判定吊鉤失效一次，最終累計失效次數(shù)得到吊鉤的可靠性。此方法對影響吊鉤失效的最大應(yīng)力和最大變形進(jìn)行聯(lián)動抽樣，避免單獨抽樣時因樣本不同可能導(dǎo)致的計算誤差。

3 吊鉤靜力學(xué)條件下可靠性分析

3.1 吊鉤靜力學(xué)分析

以10噸級起重機吊鉤為研究對象，其主要受力部位為與繩索接觸以及吊鉤頂部的螺紋裝配位置。對于螺紋接觸部位采用固定端約束，同時，在與繩索接觸部位劃分出接觸面用于施加繩索壓力。在有限元分析軟件中，采用六面體單元劃分網(wǎng)格，同時對接觸部位以及應(yīng)力較大部位進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)分處理，保證模型求解的質(zhì)量。材料選用船用級船板D級鋼，彈性模量210GPa，泊松比0.3，網(wǎng)格劃分后共產(chǎn)生105486個單元和343410 個節(jié)點模型，如圖1所示。通過帶入一組抽樣數(shù)據(jù)進(jìn)行有限元分析，得到吊鉤的最大應(yīng)力和最大變形，如圖2、圖3所示?？梢?，最大應(yīng)力在吊鉤內(nèi)側(cè)拐彎處，最大變形在吊鉤外側(cè)鉤尖處。

圖1 吊鉤有限元模型Fig.1 Grid of Hook

圖2 最大應(yīng)力云圖Fig.2 Distribution of Stress

圖3 最大變形云圖Fig.3 Distribution of Deformation

3.2 吊鉤可靠性分析流程

可靠性分析采用以下流程：LHS抽樣得到樣本的輸入因素→有限元計算得到樣本輸出結(jié)果→最小二乘擬合得到雙重響應(yīng)面方程→采用蒙特卡洛進(jìn)行1×104次聯(lián)動抽樣計算→對蒙特卡洛抽樣結(jié)果進(jìn)行可靠性分析。采用Solidworks建立吊鉤的三維模型，并用Ansys workbench［10-11］進(jìn) 行 有 限 元 分 析。采 用MATLAB 編 寫 了LHS和蒙特卡洛抽樣以及抽樣數(shù)據(jù)結(jié)果可靠性分析的程序。

3.3 吊鉤可靠性分析算例

選取材料密度ρ，重力加速度g，吊物重量u為三個隨機輸入變量，統(tǒng)計特征，如表1所示。

表1 輸入變量概率分布Tab.1 Radom Input Variables

假設(shè)表中三個隨機輸入變量均服從正態(tài)分布。通過LHS抽樣，得到30組初始輸入樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的空間分布，如圖4所示。

圖4 三隨機輸入要素LHS抽樣分布Fig.4 LHS for 3 Input Variables

經(jīng)過將輸入樣本數(shù)據(jù)代入Ansys 計算，并經(jīng)過最小二乘擬合，得到以下雙重響應(yīng)面方程（應(yīng)力σ和應(yīng)變ξ方程，分別為式（6）和式（7），擬合結(jié)果與本靜力學(xué)問題的線性特征一致，x1，x2，x3分別表示密度（kg/m3）、重力加速度（m/s2）和起吊質(zhì)量（kg）:

隨后用響應(yīng)面函數(shù)代替有限元模型，用蒙特卡洛抽樣方法對變形與應(yīng)力的響應(yīng)面模型進(jìn)行1×104次聯(lián)動抽樣，并且對其進(jìn)行可靠性分析，得到葉片變形與應(yīng)力的輸出響應(yīng)正態(tài)分布直方圖，如圖5所示。應(yīng)力與變形的蒙特卡洛抽樣歷史仿真圖，如圖6所示。

圖5 應(yīng)力和變形正態(tài)分布直方圖Fig.5 Frequency Distribution of Stress and Deformation

圖6 蒙特卡洛抽樣應(yīng)力和變形結(jié)果仿真圖Fig.6 Simulation Samples of Stress and Deformation

應(yīng)力σ和變形ξ均值分別為199.1516MPa，0.67647mm；標(biāo)準(zhǔn)差分別為16.3822MPa，0.00018899mm。若吊鉤的允許變形量ξ為1mm，許用應(yīng)力σ為210MPa，總體失效數(shù)53，失效概率0.0053，可靠性概率為0.9947，蒙特卡洛抽樣1×104次所用時間僅為0.329s。

為驗證基于雙重響應(yīng)面法（DRSM）的應(yīng)力應(yīng)變聯(lián)動抽樣優(yōu)越性，設(shè)置標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)面法（RSM）對應(yīng)力和應(yīng)變分別抽樣的計算方法進(jìn)行對比分析，如表2所示。由表2可知DRSM聯(lián)動抽樣速度優(yōu)越較顯著。聯(lián)動抽樣的整體失效概率結(jié)果與分別抽樣后再計算整體失效的概率結(jié)果對比，單一失效模式下（σ≥210MPa，ξ≥0.8mm），DRSM與RSM計算結(jié)果相近；當(dāng)存在雙重失效模式下（σ≥210MPa，ξ≥0.7mm），DRSM聯(lián)動抽樣下的整體失效概率更準(zhǔn)確[8]。

表2 DRSM蒙特卡洛聯(lián)動抽樣和RSM蒙特卡洛分別抽樣復(fù)合計算結(jié)果對比（未含直方圖/抽樣仿真圖時間）Tab.2 Reliability Analysis Results of Hook Based on Two Methods（the Timing for Drawing the Figure is Not Included）

4 結(jié)論

（1）針對單響面法在起重機吊鉤可靠性分析的不足，采用結(jié)合拉丁超立方抽樣技術(shù)的雙重響應(yīng)面可靠性分析方法，對吊鉤進(jìn)行可靠性分析，得出當(dāng)?shù)蹉^許用應(yīng)力為210MPa，許用變形為1mm時，吊鉤的總可靠度為99.47%；（2）采用結(jié)合拉丁超立方抽樣技術(shù)的響應(yīng)面法，能在有限的樣本容量條件下，快速得到響應(yīng)面方程，之后再結(jié)合蒙特卡洛抽樣，僅用0.326s（含直方圖/抽樣仿真出圖時間）即完成1×104次抽樣計算和結(jié)果分析；因此，響應(yīng)面法能極大提升計算速度；（3）通過雙重響應(yīng)面法實現(xiàn)對應(yīng)力和變形的聯(lián)動抽樣，解決吊鉤變形和應(yīng)力的失效相關(guān)性問題。