摘" 要" 機(jī)構(gòu)自由度的分析是機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)研究的基礎(chǔ)，也是機(jī)械工程專業(yè)及相關(guān)專業(yè)機(jī)械課程的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。在機(jī)構(gòu)自由度的分析中，由于虛約束存在的多樣性、復(fù)雜性、隱蔽性，部分教師和大多數(shù)學(xué)生難以真正掌握虛約束的本質(zhì)特性，經(jīng)常出現(xiàn)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算錯(cuò)誤的現(xiàn)象，嚴(yán)重制約了教學(xué)質(zhì)量的提高和學(xué)生對(duì)機(jī)構(gòu)特性的理解。因此，針對(duì)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)的虛約束問題開展教學(xué)方法的研究探討，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)鍵詞" 機(jī)械課程；機(jī)構(gòu)自由度；虛約束

中圖分類號(hào)：G642" " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2022）10-0113-04

0" 引言

機(jī)構(gòu)自由度的分析計(jì)算是機(jī)械原理[1]、機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[2]、機(jī)器人學(xué)[3-4]等機(jī)械方面課程的重要內(nèi)容，由于機(jī)構(gòu)自由度分析存在諸如局部自由度、復(fù)合鉸鏈、虛約束等問題，教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都存在不同程度的困難。特別是機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算時(shí)的虛約束問題，更是部分教師和大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)課程的棘手難題[5]。因此，針對(duì)機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算及虛約束的本質(zhì)特性問題開展教學(xué)方法探討，對(duì)提升諸如機(jī)械原理[6-7]、機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[8]、機(jī)器人學(xué)[9]等課程的教學(xué)質(zhì)量具有重要意義。

1" 機(jī)構(gòu)自由度的定義及其注意事項(xiàng)

1.1" 理清歷史脈絡(luò)，掌握自由度內(nèi)涵

教師授課時(shí)可首先由機(jī)構(gòu)自由度的發(fā)展歷程出發(fā)，簡(jiǎn)要介紹從俄國數(shù)學(xué)家和機(jī)械學(xué)家Chebyshev提出機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式150年來，國內(nèi)外學(xué)者如Sylvester、Grübler、Hochman、Kutzbach、Wal-dron、張啟先、黃真等開展機(jī)構(gòu)自由度研究的概況，讓學(xué)生了解機(jī)構(gòu)自由度分析的淵源及其重要性；接著，引出機(jī)構(gòu)自由度的定義為機(jī)構(gòu)具有獨(dú)立運(yùn)動(dòng)參數(shù)的數(shù)目[1]，即為了使機(jī)構(gòu)的位姿得以確定必須給定的機(jī)構(gòu)獨(dú)立廣義坐標(biāo)的數(shù)目，促使學(xué)生深刻理解機(jī)構(gòu)自由度的內(nèi)涵；最后，通過闡述機(jī)構(gòu)自由度分析的復(fù)雜性以及目前機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式與方法，繼而給出《機(jī)械原理》《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》等教材中

普遍采用的機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式，即Grübler-Kutz-bach（G-K）公式。平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式：

F=3n-2PL-PH" " " " " " （1）

空間機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式：

這里，F(xiàn)為機(jī)構(gòu)自由度，n為機(jī)構(gòu)中活動(dòng)構(gòu)件的數(shù)目，PL為低副數(shù)目，PH為高副數(shù)目，Pi（i=1，2，…，5）為具有i個(gè)約束的運(yùn)動(dòng)副數(shù)目。

也可將平面機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式（1）和空間機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式（2）統(tǒng)一表示為：這里，d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，d=6-λ，λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)（如對(duì)于一般形式的空間機(jī)構(gòu)，λ=0、d=6；對(duì)于平面機(jī)構(gòu)和球面機(jī)構(gòu)，λ=3、d=3；等等）。

1.2" 簡(jiǎn)單實(shí)例示范，動(dòng)畫輔助理解

為了便于學(xué)生深入理解和應(yīng)用機(jī)構(gòu)自由度公式（1）～（3），可由四桿機(jī)構(gòu)、平面串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)等簡(jiǎn)單實(shí)例入手進(jìn)行教學(xué)分析，使學(xué)生初步掌握機(jī)構(gòu)自由度的分析與計(jì)算。接著，通過引入滾子凸輪機(jī)構(gòu)、圓盤鋸床機(jī)構(gòu)[2]、機(jī)車驅(qū)動(dòng)輪聯(lián)動(dòng)機(jī)構(gòu)[2]及其機(jī)構(gòu)動(dòng)畫演示等，闡述實(shí)際機(jī)械機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算的復(fù)雜性，進(jìn)一步講述機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的問題，即復(fù)合鉸鏈、局部自由度和虛約束等。其中，虛約束（也稱冗余約束或過約束）是指機(jī)構(gòu)中某些運(yùn)動(dòng)副的構(gòu)件或支鏈引入的約束對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)只起重復(fù)限制作用的約束。由于虛約束存在多樣性、復(fù)雜性和隱蔽性，使得部分教師和大多數(shù)學(xué)生都難以真正掌握虛約束的本質(zhì)特性，經(jīng)常出現(xiàn)機(jī)構(gòu)自由度分析錯(cuò)誤的現(xiàn)象，實(shí)為機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算時(shí)的棘手問題。

2" 機(jī)構(gòu)虛約束的主要形式及本質(zhì)特性

2.1" 歸納常見結(jié)構(gòu)，助力虛約束識(shí)別

在機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算時(shí)應(yīng)注意的三項(xiàng)問題中的復(fù)合鉸鏈和局部自由度事項(xiàng)，一般情況較容易理解和掌握，而虛約束問題在理解上以及熟練應(yīng)用方面則往往存在較多困難。為了便于掌握機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算時(shí)的虛約束問題，表1給出機(jī)構(gòu)中常見虛約束的形式以及處理辦法。由表1常見虛約束的形式以及虛約束的定義可知，虛約束的本質(zhì)特性體現(xiàn)在其對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)不起限制作用（或重復(fù)約束），或其無論有無都不改變機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡。根據(jù)虛約束的前述本質(zhì)特性，在分析計(jì)算機(jī)構(gòu)自由度時(shí)，可采取試拆除的方法檢驗(yàn)機(jī)構(gòu)中是否存在虛約束。

2.2" 典型實(shí)例分析，認(rèn)知虛約束本質(zhì)

為了說明機(jī)構(gòu)中虛約束的本質(zhì)特性，給出雙滑塊橢圓機(jī)構(gòu)（如圖1所示）以及空間3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)（如圖2所示），進(jìn)行含有虛約束機(jī)構(gòu)的自由度分析計(jì)算。圖1中的橢圓機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上滿足：AC垂直于AD，構(gòu)件1的長度為構(gòu)件2長度的一半，且點(diǎn)B處于構(gòu)件2的中點(diǎn)，也即BC間距離、BD間距離以及AB間距離皆相等。當(dāng)此機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期時(shí)，構(gòu)件2上點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為x軸上的一個(gè)直線段，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為y軸上的一個(gè)直線段，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡則落在以A為圓心、以AB長度為半徑的圓上，構(gòu)件2上除點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)D外的其余各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡皆為橢圓，這也是稱此機(jī)構(gòu)為橢圓機(jī)構(gòu)的原因。

若不考慮虛約束的影響，根據(jù)式（1）計(jì)算，則圖1中橢圓機(jī)構(gòu)的自由度為零，顯然是錯(cuò)誤的。那么，圖1中的橢圓機(jī)構(gòu)的虛約束究竟存在于什么地方？在一些《機(jī)械原理》教材或書籍中指出，點(diǎn)C或點(diǎn)D處的滑塊及轉(zhuǎn)動(dòng)副為虛約束之一，這對(duì)虛約束的認(rèn)知存在一定錯(cuò)誤。機(jī)構(gòu)虛約束的本質(zhì)是有無其的存在，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)或軌跡皆不改變，也就是說，若把引入虛約束的結(jié)構(gòu)部分拆除，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)或軌跡不會(huì)改變。因此，圖1中橢圓機(jī)構(gòu)的真正虛約束部分是構(gòu)件1及點(diǎn)A和點(diǎn)B處的轉(zhuǎn)動(dòng)副部分（其對(duì)機(jī)構(gòu)引入的約束，與點(diǎn)C和點(diǎn)D處滑塊及轉(zhuǎn)動(dòng)副對(duì)機(jī)構(gòu)共同引入的約束重復(fù)）。顯然，假想把構(gòu)件1拆除后，構(gòu)件2上點(diǎn)B的軌跡及機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)皆不改變。

若把點(diǎn)C或點(diǎn)D處的滑塊及轉(zhuǎn)動(dòng)副作為對(duì)應(yīng)虛約束之一，將其拆除后，看似點(diǎn)C或點(diǎn)D處的運(yùn)動(dòng)軌跡沒有改變，但對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)或整個(gè)運(yùn)動(dòng)周期而言，原橢圓機(jī)構(gòu)則變?yōu)榍瑝K機(jī)構(gòu)，顯然整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性都改變了。所以，圖1中的橢圓機(jī)構(gòu)的虛約束部分為構(gòu)件1及點(diǎn)A和點(diǎn)B處的轉(zhuǎn)動(dòng)副，而不是點(diǎn)C或點(diǎn)D處滑塊及其轉(zhuǎn)動(dòng)副為對(duì)應(yīng)重復(fù)虛約束之一。

假想把構(gòu)件1及點(diǎn)A和點(diǎn)B處的轉(zhuǎn)動(dòng)副拆除后，根據(jù)式（1）或式（3），可計(jì)算圖1中橢圓機(jī)構(gòu)的自由度為：F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1。

圖2中的3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)、靜平臺(tái)和結(jié)構(gòu)相同的三個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈組成，每個(gè)支鏈中皆包含兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副（記為R）和一個(gè)圓柱副（記為C），且轉(zhuǎn)動(dòng)副與圓柱副的軸線相平行。由于3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的每條支鏈皆約束限制了動(dòng)平臺(tái)繞豎直軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，此機(jī)構(gòu)存在一個(gè)公共約束，即λ=1，可得此機(jī)構(gòu)的階數(shù)為d=6-λ=6-1=5。

同時(shí)，3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三個(gè)運(yùn)動(dòng)支鏈中，存在一條支鏈為虛約束（因?yàn)槿齻€(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)繞水平面的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的約束，與兩個(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)繞水平面的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的約束等同）。所以，計(jì)算此機(jī)構(gòu)的自由度時(shí)，可采取假想拆除一個(gè)支鏈的方式進(jìn)行，即：

可見，機(jī)構(gòu)虛約束的存在形式是多種多樣的，對(duì)機(jī)構(gòu)引入虛約束的元素可能是運(yùn)動(dòng)副、構(gòu)件、重復(fù)結(jié)構(gòu)或支鏈等，但只要抓住虛約束的本質(zhì)特性，即有無其的存在，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)或軌跡不變，就可以深刻理解和掌握虛約束以及機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算。

3" 結(jié)束語

針對(duì)機(jī)構(gòu)自由度分析計(jì)算時(shí)虛約束難以理解和掌握的情況，進(jìn)行機(jī)構(gòu)虛約束特性分析，給出機(jī)構(gòu)虛約束的常見形式及處理方法，并通過實(shí)例進(jìn)行機(jī)構(gòu)虛約束詳細(xì)分析，以更正對(duì)機(jī)構(gòu)虛約束和自由度計(jì)算的認(rèn)知錯(cuò)誤。

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*項(xiàng)目來源：江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項(xiàng)目（TAPP，項(xiàng)目編號(hào)：PPZY2015B120）。

作者：劉善增，中國礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，副教授，研究方向?yàn)闄C(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人技術(shù)（221116）。