甘富萬(wàn)，邵帥杰，黃宇明，胡秀英，劉 旻，陳 帥

（1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004；2.廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004；3.南京水利科學(xué)研究院港口航道泥沙工程交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210029；4.南寧學(xué)院，南寧 530004）

0 引 言

洪、潮組合問(wèn)題一直是沿海地區(qū)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。近年來(lái)，Copula 函數(shù)廣泛應(yīng)用于水文氣象領(lǐng)域，對(duì)于具有任意邊緣分布、任意相關(guān)性結(jié)構(gòu)的多個(gè)變量，Copula 函數(shù)可以方便地構(gòu)造出其聯(lián)合概率分布，并用于分析多變量水文事件。涂新軍等［1］基于Copula方法模擬24 h暴雨遭遇日高潮位的聯(lián)合分布特征，對(duì)比雨潮遭遇傳統(tǒng)重現(xiàn)期和二次重現(xiàn)期差異，根據(jù)同頻法和權(quán)函數(shù)法反推計(jì)算雨潮設(shè)計(jì)組合值，為濱海地區(qū)防洪潮設(shè)計(jì)提供參考。楊星等［2］采用Clayton Copula 構(gòu)建了深圳市洪潮遭遇組合的風(fēng)險(xiǎn)分析模型，得到了深圳市洪潮組合的風(fēng)險(xiǎn)率，可用于深圳地區(qū)河道防洪治理。劉曾美等［3］采用Copula函數(shù)構(gòu)建感潮河段的年最大洪水流量和相應(yīng)潮位的聯(lián)合分布以及年最高潮位和相應(yīng)洪水流量的聯(lián)合分布，可為感潮河段洪潮遭遇組合的合理選取提供科學(xué)依據(jù)。

鑒于此，本文基于Copula 函數(shù)，構(gòu)建鐵山港海灣暴雨與石頭埠站潮位的聯(lián)合概率分布，引入二次重新期概念，在雨潮組合風(fēng)險(xiǎn)分析的基礎(chǔ)上，為鐵山港海灣防洪治澇規(guī)劃提供科學(xué)依據(jù)。

1 雨潮遭遇組合分析方法

1.1 Copula函數(shù)基本理論

Copula 函數(shù)是定義域?yàn)椋?，1］均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，它可以通過(guò)連接多個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布來(lái)構(gòu)造聯(lián)合分布。令H為聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)和G為其邊緣累積分布函數(shù)，那么存在唯一的Copula函數(shù)C使得對(duì)?x，y∈有：

如果F和G是連續(xù)的，則C是唯一的。否則，C在RanF×RanG（Ran 表示值域）唯一確定。相反地，如果C是一個(gè)Copula函數(shù)，F(xiàn)和G是邊緣累積分布函數(shù)，則上式定義H 是具有邊緣累積分布F和G的一個(gè)二維聯(lián)合累積分布函數(shù)。

現(xiàn)階段水文氣象領(lǐng)域的Copula 函數(shù)主要有橢圓Copula 函數(shù)［4］、Plackett Copula 函數(shù)［5］以及阿基米德Copula 函數(shù)［6，7］，相較于其他兩種，阿基米德Copula 函數(shù)具有構(gòu)造簡(jiǎn)單且相關(guān)參數(shù)θ計(jì)算較為簡(jiǎn)便等特點(diǎn)，使得阿基米德Copula 函數(shù)應(yīng)用最為廣泛［8，9］。本文選取阿基米德Copula 函數(shù)中應(yīng)用最為廣泛的Frank、Clayton、GH、AMH Copula、No.16 Copula 以及No.17 Copula 函數(shù)為候選函數(shù)，并對(duì)其函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，選擇最合適的Copula函數(shù)模型。

1.2 雨潮遭遇設(shè)計(jì)組合

在流域防洪規(guī)劃中，通常需要確定雨潮組合方式，即在給定流域暴雨的條件下，確定河口潮位取值情況。但在實(shí)際工程中，當(dāng)流域暴雨一定時(shí)，河口潮位取值并非唯一，并且在實(shí)際計(jì)算中不同的設(shè)計(jì)組合值所形成的防雨、潮能力也不盡相同，在現(xiàn)階段針對(duì)多變量水文事件無(wú)法確定設(shè)計(jì)組合的情況，一般是取特殊的設(shè)計(jì)組合如同頻組合、最可能組合等進(jìn)行分析計(jì)算。

雨、潮組合的同頻組合是指在計(jì)算中令雨、潮的遭遇事件同頻發(fā)生，即令其邊緣分布u=v；另外一種組合就是最可能組合，其表達(dá)式如下，

式中：c（u，v）為雨潮聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)；f（x）和f（y）則是其邊緣分布的概率密度函數(shù)。

1.3 雨潮組合風(fēng)險(xiǎn)

為了定量分析不同的雨潮組合發(fā)生的概率，本文構(gòu)建兩種不同的風(fēng)險(xiǎn)概率模型，用于評(píng)價(jià)洪潮遭遇風(fēng)險(xiǎn)：①同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率。即降雨和潮位同時(shí)超過(guò)某一設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的概率，該情況是最不利，危險(xiǎn)最大的情況。②條件風(fēng)險(xiǎn)率。即當(dāng)流域發(fā)生超過(guò)某一標(biāo)準(zhǔn)暴雨時(shí)，潮位也發(fā)生超過(guò)某一標(biāo)準(zhǔn)潮位的概率。設(shè)P表示流域暴雨，Z表示潮位，借助Copula 函數(shù)，同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率和條件風(fēng)險(xiǎn)率的計(jì)算公式分別為：

式中：u為P的邊緣分布函數(shù)；v為Z的邊緣分布函數(shù)。

2 實(shí)例分析

鐵山港地區(qū)地勢(shì)較為低洼，容易受到暴雨洪水以及風(fēng)暴潮的影響。以鐵山港工業(yè)區(qū)為對(duì)象的研究區(qū)域的匯水面積為19.41 km2，屬于小流域匯水區(qū)域?，F(xiàn)階段，針對(duì)雨、潮組合的水文事件研究選樣一般有兩種方法：①以雨為主的24 h 暴雨遭遇日高潮位；②以潮為主的日高潮位遭遇日降水。參考年最大值法［1］，選擇北海站1967-2008年的年最大24 h 降雨序列作為本次研究的雨量資料，再根據(jù)北海站年最大24 h 降雨事件，選擇對(duì)應(yīng)時(shí)段石頭埠站石頭埠站1967-2008年的42年日最高潮位序列，作為雨、潮事件進(jìn)行分析計(jì)算。

2.1 雨潮聯(lián)合分布構(gòu)建

根據(jù)北海站連續(xù)42 a 最大24 h 雨資料序列，以及石頭埠潮位站對(duì)應(yīng)的日最高潮位的Cs和Cv值，計(jì)算雨量資料以及潮位資料各自的四種邊緣分布函數(shù)：皮爾遜III 型（PE3）、廣義極值分布（GEV）、廣義Pareto 分布（GPD）和廣義Logistic 分布（GLO）的相關(guān)參數(shù)，并采用RMSE 準(zhǔn)則和AIC 準(zhǔn)則對(duì)雨量、潮位的邊緣分布函數(shù)進(jìn)行優(yōu)選。計(jì)算結(jié)果表明雨量資料序列的最優(yōu)邊緣分布模型為皮爾遜III 型（PE3），而潮位資料序列的最優(yōu)邊緣分布模型則為廣義Pareto 分布（GPD）函數(shù)模型，因此分別選取皮爾遜III 型和廣義Pareto 分布雨量以及相應(yīng)潮位的邊緣分布模型，并進(jìn)行下一步計(jì)算。

采用Kendall 秩相關(guān)系數(shù)方法來(lái)計(jì)算不同Copula 函數(shù)模型的相關(guān)參數(shù)得到北海站歷年最大24 h 降雨量與石頭埠站相應(yīng)的潮位資料之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的值為0.217 2，證明雨量資料與潮位資料之間存在一定的相關(guān)性。

計(jì)算Frank Copula、Clayton Copula、GH Copula、AMH Copula、No.16 Copula 以及No.17 Copula 的相關(guān)參數(shù)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 不同Copula函數(shù)的參數(shù)計(jì)算結(jié)果Tab.2 The result of the parameter calculation of different Copula functions

通過(guò)對(duì)比不同Copula 函數(shù)參數(shù)的取值范圍，得到上述6 種Copula 函數(shù)的參數(shù)計(jì)算結(jié)果均在合理的范圍，可以進(jìn)行下一步的計(jì)算。

選擇Frank、Clayton、GH、AMH Copula、No.16 Copula 以及No.17 Copula 函數(shù)作為候選函數(shù)，采用圖形評(píng)價(jià)法，AIC 準(zhǔn)則［10，11］，BIC準(zhǔn)則［12］和OLS準(zhǔn)則［13］進(jìn)行函數(shù)模型評(píng)價(jià)。

表1 雨、潮邊緣分布計(jì)算成果Tab.1 Calculated results of rain and tide margin distribution

圖形評(píng)價(jià)法的計(jì)算結(jié)果如圖1。

圖1 雨量與潮位聯(lián)合分布理論頻率與經(jīng)驗(yàn)頻率擬合結(jié)果Fig.1 Fitting results of theoretical frequency and empirical frequency of joint distribution of rainfall and tide level

由圖1可以看出不同的聯(lián)合分布模型均比較分散地分布在45°線的兩側(cè)，同時(shí)根據(jù)理論頻率與經(jīng)驗(yàn)頻率的散點(diǎn)分布情況，并不能直觀明顯地判斷出哪個(gè)聯(lián)合分布模型是最優(yōu)的雨、潮聯(lián)合模型，因此需要通過(guò)分析其他優(yōu)度評(píng)價(jià)結(jié)果才可以選擇出最合適Copula函數(shù)模型。

表3計(jì)算結(jié)果顯示，6 種不同的雨、潮聯(lián)合分布模型的分別對(duì)應(yīng)的三種函數(shù)優(yōu)度評(píng)價(jià)計(jì)算結(jié)果差異不大，均比較接近。通過(guò)對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)GH Copula函數(shù)的AIC值，BIC值以及RMSE值均為6 個(gè)Copula 函數(shù)中的最小值，根據(jù)函數(shù)優(yōu)度評(píng)價(jià)方法——評(píng)價(jià)準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果越小，函數(shù)擬合優(yōu)度越好的依據(jù)，證明了GH Copula 函數(shù)是本研究中雨、潮聯(lián)合分布的最優(yōu)模型。根據(jù)上述結(jié)果，雨、潮的聯(lián)合分布模型為：

表3 Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型優(yōu)度評(píng)價(jià)結(jié)果Tab.3 Results of the evaluation of the superiority of the joint distribution model of Copula function

根據(jù)雨、潮聯(lián)合分布計(jì)算結(jié)果，采用最優(yōu)的GH Copula 函數(shù)作為雨、潮聯(lián)合分布模型，并分析雨、潮聯(lián)合重現(xiàn)期以及同現(xiàn)重現(xiàn)期下的同頻組合以及最可能組合等的設(shè)計(jì)組合值。

分別采用變量X和Y來(lái)表示北海站的雨量資料和石頭埠站潮位資料序列，以GH Copula 函數(shù)構(gòu)建雨、潮組合的聯(lián)合分布模型如圖2。

圖2 雨量與潮位資料聯(lián)合概率分布模型Fig.2 Joint probability distribution model of rainfall and tide level data

2.2 雨潮組合設(shè)計(jì)重現(xiàn)期

現(xiàn)階段對(duì)于雨、潮組合的重現(xiàn)期的研究關(guān)注較多的是同現(xiàn)重現(xiàn)期以及二次重現(xiàn)期。在單變量條件下，雨量以及潮位超過(guò)某一個(gè)閾值的計(jì)算可以表示如下：

雨、潮同現(xiàn)重現(xiàn)期（“And”重現(xiàn)期）表示為降雨量以及潮位同時(shí)超過(guò)某一個(gè)特定設(shè)計(jì)閾值的情況。聯(lián)合Copula 函數(shù)，則根據(jù)水文重現(xiàn)期概率計(jì)算方法，雨、潮組合的同現(xiàn)重現(xiàn)期可以表示如下：

雨、潮聯(lián)合重現(xiàn)期（“OR”重現(xiàn)期）表示為降雨量或潮位其中一個(gè)超過(guò)某一個(gè)特定設(shè)計(jì)閾值的情況。聯(lián)合Copula 函數(shù)，則根據(jù)水文重現(xiàn)期概率計(jì)算方法，雨、潮組合的聯(lián)合重現(xiàn)期可以表示如下：

近年來(lái)一些專家學(xué)者認(rèn)為傳統(tǒng)重現(xiàn)期并不是很好地描述多變量危險(xiǎn)事件，于是提出了二次重現(xiàn)期［14-17］。生存Kendall重現(xiàn)期［14］是在同現(xiàn)重現(xiàn)期的基礎(chǔ)上，以雨、潮聯(lián)合分布概率相等作為的一系列事件作為臨界事件，并以此來(lái)劃分雨、潮聯(lián)合分布的危險(xiǎn)域和安全域。一般情況下，采用基于C（u，v）的Kendall分布函數(shù)KC作為生存Kendall 重現(xiàn)期對(duì)應(yīng)的超閾值的聯(lián)合分布概率函數(shù)［15］，因此可以表示為：

式中，q∈(0，1)。KC的分布函數(shù)如下：

則對(duì)于雨、潮組合來(lái)說(shuō)，其生存Kendall重現(xiàn)期可以表示為：

式中：NE是暴雨事件年平均發(fā)生次數(shù)，在本文研究中，取歷年最大24 h 降雨量及其相對(duì)時(shí)刻的潮位作為雨、潮序列組合，因此NE取值為1。

同時(shí)，針對(duì)聯(lián)合（“OR”）重現(xiàn)期在描述多變量水文事件時(shí)存在局限，Salvadori［16，17］等在聯(lián)合重現(xiàn)期的基礎(chǔ)上提出采用Kendall重現(xiàn)期來(lái)計(jì)算多變量水文研究。即：

式中：φ(p)是阿基米德Copula 函數(shù)的生成元；φ′(p)是生成元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

Kendall重現(xiàn)期可以定義如下，

2.3 雨潮遭遇設(shè)計(jì)組合分析

對(duì)傳統(tǒng)重現(xiàn)期和二次重現(xiàn)期的雨、潮同頻組合以及最可能組合進(jìn)行計(jì)算，從表4的計(jì)算結(jié)果可以看出，同頻組合條件下或者最可能組合的二次重現(xiàn)期對(duì)應(yīng)的100、50、20、10、5以及2 a重現(xiàn)期水平下的雨、潮組合均明顯大于傳統(tǒng)重現(xiàn)期所對(duì)應(yīng)的各重現(xiàn)期下的組合。同現(xiàn)重現(xiàn)期條件下，最可能組合的各設(shè)計(jì)重現(xiàn)期水平年對(duì)應(yīng)的潮位的重現(xiàn)期范圍為91.97～1.60 a，而同頻組合下的相應(yīng)的重現(xiàn)期范圍是30.03～1.47 a，且最可能組合對(duì)應(yīng)的各重現(xiàn)期條件下的潮位值均大于同頻組合的設(shè)計(jì)潮位值；同時(shí)，可以看到最可能組合條件的各重現(xiàn)期水平年對(duì)應(yīng)的雨量設(shè)計(jì)的重現(xiàn)期范圍為1.85～1.34 a，均明顯小于同頻組合下雨量設(shè)計(jì)重現(xiàn)期。生存Kendall重現(xiàn)期條件下，最可能組合的各設(shè)計(jì)重現(xiàn)期水平年對(duì)應(yīng)的潮位的重現(xiàn)期范圍為316.26～3.06 a，而同頻組合下的相應(yīng)的重現(xiàn)期范圍是95.24～2.27 a，生存Kendall重現(xiàn)期條件下不同設(shè)計(jì)水平年的最可能組合的潮位設(shè)計(jì)值均明顯大于同頻組合條件的潮位各水平年設(shè)計(jì)值。由此可以推斷在相同的雨量、潮位組合對(duì)應(yīng)下的同現(xiàn)重現(xiàn)期大于生存Kendall重現(xiàn)期，也就是說(shuō)在相同組合條件下，生存Kendall 重現(xiàn)期要比同現(xiàn)重現(xiàn)期相對(duì)來(lái)說(shuō)更加安全。

表4 雨、潮遭遇組合不同重現(xiàn)期設(shè)計(jì)值Tab.4 Different reproducibility design values for rain and tide encounter combinations

聯(lián)合重現(xiàn)期同頻組合的計(jì)算重現(xiàn)期為172.41～3.02 a，相同條件下Kendall 重現(xiàn)期的變化范圍為75.19～1.67 a。相同的設(shè)計(jì)重現(xiàn)期下，聯(lián)合重現(xiàn)期的各設(shè)計(jì)值均比Kendall 重現(xiàn)期的雨、潮設(shè)計(jì)組合要大。即相同的雨、潮設(shè)計(jì)組合，采用Kendall 重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)要比聯(lián)合重現(xiàn)期高，說(shuō)明Kendall重現(xiàn)期比聯(lián)合重現(xiàn)期更加安全。

進(jìn)一步計(jì)算給定設(shè)計(jì)雨量條件下的各設(shè)計(jì)水平年條件下的條件風(fēng)險(xiǎn)概率以及同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)概率，如表5所示。

表5 雨、潮組合同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)以及條件風(fēng)險(xiǎn)概率Tab.5 Rain，tide combination co occurrence risk and conditional risk probability

表5表明，雨、潮不同設(shè)計(jì)重現(xiàn)期水平年組合的同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)概率均比較小，且雨量（或潮位）遭遇重現(xiàn)期越大，遭遇潮位（或雨量）越大的同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)概率越小；而當(dāng)雨、潮遭遇均較小的時(shí)，雨潮同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)概率則相對(duì)較大，這說(shuō)明雨、潮遭遇組合在重現(xiàn)期較大的水平下，其相關(guān)性不高，但當(dāng)雨、潮遭遇水平較小的情況下，其相關(guān)性相對(duì)較大。從條件風(fēng)險(xiǎn)概率來(lái)分析，也可以看出當(dāng)雨量設(shè)計(jì)重現(xiàn)期較大時(shí)，遭遇較大重現(xiàn)期水平的潮位也較大時(shí)的條件概率較小，其中當(dāng)雨量設(shè)計(jì)重現(xiàn)期為100 a 時(shí)，潮位遭遇也為100 a的條件風(fēng)險(xiǎn)概率為0.286；在相同條件下，潮位遭遇為2 a時(shí)的條件風(fēng)險(xiǎn)概率則為0.879。綜上，可以得到雨、潮組合各自遭遇重現(xiàn)期越小，其同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)概率越高；而當(dāng)雨量遭遇重現(xiàn)期越大的條件下，其遭遇潮位重現(xiàn)期越小的事件的條件概率風(fēng)險(xiǎn)越大。

3 結(jié) 論

（1）通過(guò)計(jì)算雨量資料以及潮位資料各自的四種邊緣分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)，并采用RMSE 準(zhǔn)則和AIC 準(zhǔn)則對(duì)雨量、潮位的邊緣分布函數(shù)進(jìn)行優(yōu)選，最終選定雨量和潮位資料序列最優(yōu)邊緣分布函數(shù)分別為皮爾遜III 型（PE3）和廣義Pareto 分布（GPD）函數(shù)模型。

（2）在圖形評(píng)價(jià)法的基礎(chǔ)上，通過(guò)AIC值、BIC值、RMSE值，結(jié)合函數(shù)優(yōu)度評(píng)價(jià)方法，綜合考慮，最終選定GH Copula 函數(shù)構(gòu)建鐵山港區(qū)域雨潮聯(lián)合分布。

（3）通過(guò)分析雨、潮組合的傳統(tǒng)重現(xiàn)期、二次重現(xiàn)期以及同頻組合，最可能組合等可以看出，二次重現(xiàn)期相對(duì)于傳統(tǒng)重現(xiàn)期可以更好地描述雨、潮組合的設(shè)計(jì)情況，采用二次重現(xiàn)期能夠進(jìn)行防洪減災(zāi)設(shè)計(jì)會(huì)更加安全、合理。

（4）分別計(jì)算了不同暴雨潮位組合下的同現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)率和條件風(fēng)險(xiǎn)率，分析了各風(fēng)險(xiǎn)率的變化規(guī)律，為鐵山港區(qū)域防洪治澇規(guī)劃提供科學(xué)的依據(jù)。