何其慧

隨機(jī)變量收斂性在統(tǒng)計等諸多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，對其進(jìn)行研究是概率極限理論研究的熱點.在隨機(jī)變量收斂性中，完全收斂性是一種較強(qiáng)的收斂性質(zhì)，它不但可以建立隨機(jī)變量的強(qiáng)大數(shù)律，還可以建立隨機(jī)變量加權(quán)和的收斂速度.完全收斂性的概念由文獻(xiàn)［1］提出：如果對任意的ε＞0，都有

假設(shè){Xn,n≥1} 為一隨機(jī)變量序列，且an＞0，bn＞0，q＞0.文獻(xiàn)［2］引入了下述關(guān)于完全矩收斂性的概念：

容易驗證由完全矩收斂性可推出完全收斂性.因此，完全矩收斂是比完全收斂更強(qiáng)的一種收斂性質(zhì)，對其進(jìn)行研究具有十分重要的理論和實際意義.關(guān)于完全收斂性和完全矩收斂性的相關(guān)研究可參考相關(guān)文獻(xiàn)［3-11］.特別地，文獻(xiàn)［8］得到了如下的完全1-階矩收斂的結(jié)果.

定理1 設(shè){Xni,1 ≤i≤kn,n≥1} 為END 隨機(jī)變量陣列，{cn,n≥1} 為一列正的常數(shù).若下列條件成立：

本文一方面將定理1 的結(jié)論從完全1-階矩收斂性改進(jìn)到完全q階矩收斂性（q＞0），另一方面將{Xni},1 ≤i≤kn,n≥1 從END 隨機(jī)變量陣列推廣到m-END 隨機(jī)變量陣列，從而得到更好的結(jié)果.

文中引用如下一些記號：C表示正的常數(shù)，且在不同的地方可以取不同值，I(A)表示事件A的特征函數(shù)，a+= max{a,0}.

1 預(yù)備知識

首先回顧文獻(xiàn)［12］提出的如下關(guān)于END隨機(jī)變量的概念.

定義1 稱隨機(jī)變量陣列{Xn},n≥1 是END 的，如果存在一個常數(shù)M＞0，使得對任意的n≥1 和所有的實數(shù)x1,x2,…,xn，都有

及

文獻(xiàn)［13］在END 的基礎(chǔ)上提出了如下關(guān)于m-END 隨機(jī)變量的概念.

定義2 令m≥1 為給定的正整數(shù).則隨機(jī)變量陣列{Xn,n≥1} 被稱為m-END 的，如果 對 任 意 的n≥2 及 任 意 的i1,i2,…,in，使 得|ik-ij|≥m，1 ≤k≠j≤n，都有Xi1,Xi2,…,Xin是END 的.

m-END 隨機(jī)變量包含了END 隨機(jī)變量作為特例（取m= 1），且易見還包含了一些隨機(jī)過程如滑動平均過程（MA）等，故m-END是一類非常寬泛的相依結(jié)構(gòu)，在這種相依結(jié)構(gòu)下研究隨機(jī)變量的極限定理有著較為重要的理論意義和應(yīng)用價值.

為證明本文的主要結(jié)果，還需要下述幾個重要引理.

引理1［13］令{Xn,n≥1} 為m-END 隨機(jī)變量陣列.若{fn(·),n≥1} 為一列單調(diào)非降（或非增）的函數(shù)，則{fn(Xn),n≥1} 仍然為m-END隨機(jī)變量陣列.

下述引理是關(guān)于END 隨機(jī)變量的Kolmogorov 指數(shù)型不等式，具體可參見文獻(xiàn)［14］.

引理2［14］設(shè){ }Xn,n≥1 為END 隨機(jī)變量序 列，EXn= 0 且，則存在一個常數(shù)M＞0，使得對任意的x＞0,y＞0 都有

由引理2，可得到如下關(guān)于m-END 隨機(jī)變量的Kolmogorov 指數(shù)型不等式.

證明 對給定的m ≥1，總存在正整數(shù)k和j，使得n = mk + j.不妨設(shè)對一切i ＞n 都有Xi= 0.因此有，其中由定義2 可知，對每個固定的j，{Xmi+j,1 ≤ i ≤ k}

都是END 隨機(jī)變量.故由引理2 可得

引理4 設(shè){Xni,1 ≤i ≤kn,n ≥1} 為m-END隨機(jī)變量陣列，{cn,n ≥1} 為一列正的常數(shù).若下列兩個條件成立：

證明 用引理3 替代文獻(xiàn)［8］中的引理3.2，可完全類似其定理2.1 的證明得到引理4.

2 主要結(jié)果

驗證

由條件（1）易知

因此有

由Markov 不等式及條件（3）可得，當(dāng)n →+∞時，

從而當(dāng)n 充分大時，對任意的t ≥δq都有

進(jìn)而

因此，可得

對任意給定的n≥1 及t≥δq，由引理1知，{Yni-EYni,1 ≤i≤kn}仍然是m-END 隨機(jī)變量陣列. 故在引理3 中取x=t1q/4，y=其 中η＞max(1,q)，于是可得

而由Cr不等式及Markov 不等式，可得

對于I10，由條件（3）可知，當(dāng)n充分大時，

于是由條件η＞max(1,q)可得

從而若q≥1，則由條件（1）及η＞q可得

而若0

最后證明I11< +∞.由Markov 不等式及條件（3）可得，當(dāng)n→+∞時，

即對所有充分大的n，都有

因此由條件（1）可得

注：在定理2 中取q= 1，m= 1，可以看出定理2 與定理1 一致.因此我們的結(jié)果將定理1 由END 隨機(jī)變量陣列的完全1-階矩收斂改進(jìn)并推廣到了m-END 隨機(jī)變量陣列的完全q階矩收斂.

在定理2 的基礎(chǔ)上還可進(jìn)一步得到下述定理.

定理3 設(shè)q＞0,{Xni,1 ≤i≤kn,n≥1} 為m-END 隨機(jī)變量陣列，{cn,n≥1} 為一列正的常數(shù).若定理2 中的條件（1）～（3）成立，且存在一個常數(shù)，使得當(dāng)n→+∞時，有

那么對任意的ε＞0，

證明 顯然定理2 的結(jié)論成立.因此，為證明定理3，只需證明當(dāng)n→+∞時，有

分下述兩種情況進(jìn)行討論.

情 況1 若δ1≥δ，則 由 條 件（3）和可得，當(dāng)n→+∞時，

從而定理3 得證.

3 結(jié)論

相依變量的收斂性的研究目前仍是極限理論中的熱門問題.本文首先利用m-END 隨機(jī)變量的定義和性質(zhì)，從END 隨機(jī)變量的指數(shù)不等式出發(fā)，建立了m-END 隨機(jī)變量的Kolmogorov 型指數(shù)不等式. 利用此不等式，進(jìn)一步得到了m-END 隨機(jī)變量陣列的完全q階矩收斂性，此結(jié)果是已有文獻(xiàn)結(jié)果的進(jìn)一步改進(jìn)和拓展，具有一定的理論意義和應(yīng)用價值.