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        高中數(shù)學(xué)立體幾何平面化思想的實(shí)踐探究

        2022-06-24 07:58:12周玉珍
        數(shù)理化解題研究 2022年18期
        關(guān)鍵詞:平面化動(dòng)點(diǎn)平行

        周玉珍

        (福建省南平第一中學(xué) 353000)

        1 高中數(shù)學(xué)立體幾何與平面幾何的關(guān)聯(lián)與對(duì)應(yīng)

        高中數(shù)學(xué)立體幾何,是初中平面幾何的延伸,二者同屬幾何學(xué),知識(shí)方法具有關(guān)聯(lián)性.平面幾何培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力和代數(shù)化簡(jiǎn)能力,而立體幾何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與空間想象能力.教師在立體幾何中的教學(xué)方式,只有符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,能夠引導(dǎo)學(xué)生觀察、類比、歸納,才能取得良好的教學(xué)效果.學(xué)生在立體幾何中的學(xué)習(xí)方式,只有完善思維結(jié)構(gòu)特征,能夠?qū)?wèn)題分析、遷移、轉(zhuǎn)化,才能取得良好的學(xué)習(xí)效果.而學(xué)習(xí)立體幾何,可以借助平面幾何類比得到立體幾何,或?qū)⒘Ⅲw幾何轉(zhuǎn)化得到平面幾何,二者在教學(xué)與學(xué)習(xí)中既有統(tǒng)一性,又有關(guān)聯(lián)性.作為平面幾何的延伸,立體幾何在知識(shí)、方法及思想上和平面幾何是相呼應(yīng)的,其本質(zhì)是二維對(duì)三維的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

        2 高中數(shù)學(xué)立體幾何的平面化思想的定義

        立體幾何的平面化思想,即將空間中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系,通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想,使之轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面內(nèi),利用平面幾何相關(guān)的知識(shí)、定理進(jìn)行研究的思想方法.在解決問(wèn)題時(shí),抓住平面幾何圖形的特征,比如三角形的中位線原理,三角形全等原理,三角形的相似比關(guān)系,或者通過(guò)解三角形,得到題目所需的代數(shù)、幾何關(guān)系,對(duì)于更為復(fù)雜的幾何問(wèn)題,應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想解決問(wèn)題.

        3 高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題應(yīng)用平面化思想的對(duì)策

        3.1 平面抽離法

        當(dāng)幾何體中的線與面的關(guān)系不明確時(shí),可以將問(wèn)題所涉及的局部平面抽離出空間,借助其平面圖形更加直觀的觀察,并結(jié)合平面幾何知識(shí),得到需要的線線、線面或面面關(guān)系.以立體幾何探究性問(wèn)題為例:已知平面ABCD⊥平面AA1D1D,其中正方形AA1D1D棱長(zhǎng)為1,矩形ABCD中,AB=2,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),試問(wèn):線段AB上是否存在點(diǎn)P,使平面D1PC與平面PCD的夾角大小為60°?若存在,求出BP的長(zhǎng),若不存在,說(shuō)明理由.

        解題分析(1)立體幾何問(wèn)題平面化: 過(guò)點(diǎn)D1作D1H⊥PC,可證明得到PC⊥平面D1DH,從而證明得到DH⊥PC,說(shuō)明∠D1HD即為平面D1PC與平面PCD的夾角;

        (2)平面抽離:在立體幾何中抽離出與未知量有關(guān)的平面圖形,將知識(shí)化歸為平面幾何問(wèn)題;

        3.2 側(cè)面展開(kāi)法

        常應(yīng)用在立體幾何的折疊問(wèn)題中.通過(guò)對(duì)幾何體的側(cè)面進(jìn)行展開(kāi),結(jié)合其側(cè)面展開(kāi)圖研究問(wèn)題,是平面化思想的重要手段與方法.通過(guò)化曲為直、化折為直,結(jié)合側(cè)面,展開(kāi)研究其平面與幾何體的關(guān)聯(lián)性,找到題目所需的的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,借助平面幾何相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.以立體幾何的折疊問(wèn)題為例:在△ABC中,AD⊥BC,ED=2AE,過(guò)E作FG∥BC,且將△AFG沿FG折起,使∠A′ED=60°,求證:A′E⊥平面A′BC.

        解題分析(1)幾何體的側(cè)面展開(kāi):借助展開(kāi)后的平面圖形,結(jié)合立體圖形研究,抓住圖形的兩個(gè)關(guān)鍵:不變的線線關(guān)系,不變的數(shù)量關(guān)系;

        (2)立體幾何問(wèn)題平面化:由平面圖形的AD⊥BC,得到空間中的AE′⊥BC,在△A′ED中,構(gòu)造余弦定理,計(jì)算得到A′D⊥A′E;根據(jù)線面垂直的判定定理推導(dǎo)證明,得到A′E⊥平面A′BC.

        3.3 截面法

        常用于立體幾何的截面問(wèn)題與球的切接問(wèn)題.截面法大體分為兩種,交線法與性質(zhì)法.應(yīng)用交線法作截面,作圖關(guān)鍵在于確定截點(diǎn),作圖依據(jù)為基本事實(shí);應(yīng)用性質(zhì)法作截面,作圖關(guān)鍵在于找到平行的直線或平面,作圖依據(jù)為線面平行、面面平行的性質(zhì)定理.通過(guò)作出與未知量有關(guān)的截面圖形,數(shù)形結(jié)合,產(chǎn)生與問(wèn)題有關(guān)的平面幾何關(guān)系,將立體幾何問(wèn)題平面化.

        以立體幾何的截面問(wèn)題為例:正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M、N分別是A1B1、A1D1的中點(diǎn),過(guò)直線BD作平面α,使得平面α∥平面AMN,求平面α截該正方體的截面面積.

        解題分析(1)性質(zhì)法作截面:以C1D1,B1C1的中點(diǎn)P,Q為截點(diǎn),連接PQ,B1D1,DP,BQ,NP,得到截線,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理,作出滿足條件(過(guò)直線BD,且與平面AMN平行)的截面DBQN;

        (2)立體幾何問(wèn)題平面化:根據(jù)平面幾何中梯形的定義,證明得到四邊形DBQN為梯形,通過(guò)梯形的面積公式,計(jì)算得到截面DBQN的面積.

        以外接球問(wèn)題為例:三棱錐P-ABC中,△ABC為直角三角形,AB=AC=1,△PBC是正三角形,平面ABC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC的外接球的半徑.

        解題分析(1)交線法找球心:根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可知△ABC的外接圓圓心是BC的中點(diǎn)D,直線PD⊥平面ABC;根據(jù)正三角形的性質(zhì),可知△PBC的中心O為△PBC的外接圓圓心;過(guò)O作平面PBC的垂線l,找到球心也就是兩垂線的交點(diǎn)O;

        (2)立體幾何問(wèn)題平面化:根據(jù)外接球的定義,易得OB為三棱錐P-ABC的外接球半徑,借助正三角形的性質(zhì)和直角三角形的勾股定理,列出代數(shù)關(guān)系,計(jì)算得到球半徑.

        4 高中數(shù)學(xué)立體幾何的平面化思想的實(shí)踐難點(diǎn)

        高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題中,如何尋找關(guān)鍵的平面,如何轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題,是教師教學(xué)的難點(diǎn),也是學(xué)生解題的難點(diǎn),它的實(shí)質(zhì)是利用幾何相關(guān)的定義和性質(zhì)定理將立體幾何問(wèn)題平面化,從思想上要注意空間與平面的相互轉(zhuǎn)化.

        5 高中數(shù)學(xué)立體幾何的平面化思想的教學(xué)案例

        5.1 高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)《立體幾何初步》中應(yīng)用平面化思想的教學(xué)實(shí)例

        已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1,線段AD的中點(diǎn)為M,動(dòng)點(diǎn)P在不含邊界的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),滿足B1P∥平面A1BM,求線段C1P的最小值.

        教學(xué)內(nèi)容分析必修第二冊(cè)《立體幾何初步》中,處理立體幾何的最值問(wèn)題,需要將動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化,應(yīng)用幾何推理與代數(shù)推理相結(jié)合的辦法實(shí)施.也就是找到動(dòng)點(diǎn)在變化過(guò)程中的特殊的、確定的位置,借助平面幾何的相關(guān)定理或進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)、不等式問(wèn)題來(lái)處理.

        解題思路分析:根據(jù)面面平行的相關(guān)定理,推導(dǎo)得到動(dòng)點(diǎn)P落在定直線DN上;關(guān)聯(lián)平面幾何的知識(shí),代入點(diǎn)到直線的距離公式,或者構(gòu)造勾股定理,計(jì)算點(diǎn)C1到直線DN的距離.

        解題難點(diǎn)分析由線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)關(guān)系,構(gòu)造截面,找到動(dòng)點(diǎn)P所在的定直線的過(guò)程,是解題的難點(diǎn).

        平面化思想的應(yīng)用分析:

        (1)作出截面:由B1P//平面A1BM,轉(zhuǎn)化得到過(guò)點(diǎn)B1的平面與平面A1BM平行,作出截面B1QDN,從而構(gòu)造出與之相關(guān)的不變因素,即動(dòng)點(diǎn)P在定直線DN上;

        (2)動(dòng)態(tài)問(wèn)題靜態(tài)化:動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)C1的距離C1P,轉(zhuǎn)化成定點(diǎn)C1到定直線DN的距離,當(dāng)C1P⊥DN時(shí),C1P取得最小值.根據(jù)三垂線定理,可證明底面上CP⊥DN,最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何的最值問(wèn)題;

        5.2 高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)《空間向量與立體幾何》中應(yīng)用平面化思想的教學(xué)實(shí)例

        教學(xué)內(nèi)容分析:選修第一冊(cè)《空間向量與立體幾何》中,空間向量法是解題的重要工具.解題的難點(diǎn)在于建系及寫(xiě)出坐標(biāo),對(duì)于較復(fù)雜的不能直接建系的幾何體,將局部平面抽離出幾何體,轉(zhuǎn)化到該平面圖形中研究坐標(biāo)系及求解坐標(biāo).

        解題思路分析:由面面垂直的性質(zhì)定理,可以證明AC與CD、CE分別垂直.結(jié)合平面與平面的夾角公式,構(gòu)造線線平行,根據(jù)線面平行的判定定理,推證得到CD//平面ABE;建立空間直角坐標(biāo)系,求出所需的各點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算所需的方向向量,求得平面的法向量,利用空間向量中直線與平面的夾角公式,列出方程關(guān)系,計(jì)算未知數(shù)的值,代入得到點(diǎn)G的坐標(biāo),求出線段AG的長(zhǎng)度.

        解題難點(diǎn)分析(1)建系中的難點(diǎn):根據(jù)面面垂直的性質(zhì),證明AC⊥平面CDE,可得AC為z軸,難點(diǎn)在于底面BCDE上要找到經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且互相垂直的兩條直線;

        (2)坐標(biāo)化的難點(diǎn):底面BCDE上各點(diǎn)的坐標(biāo),及線段AB上的點(diǎn)G的坐標(biāo)的求解.

        高中數(shù)學(xué)立體幾何問(wèn)題的平面化思想,即空間向平面轉(zhuǎn)化、三維向二維轉(zhuǎn)化的思想,是立體幾何中最基本也是最重要的數(shù)學(xué)方法,貫穿著整個(gè)立體幾何學(xué)習(xí)的始末.平面化的本質(zhì)是應(yīng)用平面化思想的對(duì)策,包括平面抽離法、側(cè)面展開(kāi)法、截面法,把空間中的元素轉(zhuǎn)化到與已知條件和未知結(jié)論有關(guān)的平面中解決.應(yīng)用平面化思想解題的過(guò)程中需要把握三個(gè)要點(diǎn),一要弄清立體幾何中線與面的位置、數(shù)量關(guān)系;二要找到三維中的幾何元素對(duì)應(yīng)的二維平面的幾何元素;三是利用平面幾何知識(shí)解決問(wèn)題,構(gòu)造已知元素與未知元素的代數(shù)關(guān)系式.立體幾何問(wèn)題的平面化思想,對(duì)突破空間障礙,對(duì)提高解題效率,靈活學(xué)習(xí)立體幾何有巨大的幫助.

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