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        在高中數(shù)學解題中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的幾點思考

        2022-06-24 07:58:04程新益
        數(shù)理化解題研究 2022年18期
        關(guān)鍵詞:拋物線方程題目

        程新益

        (江蘇省江陰市要塞中學 214431)

        高中數(shù)學的教學重點不僅僅只是讓學生掌握數(shù)學的基本知識和理論,其實踐性和難度都比初中數(shù)學高得多,因此,在高中數(shù)學的教學過程中,不應(yīng)只讓學生通過“刷題”來提升自己的解題能力,教師應(yīng)將數(shù)學思維、數(shù)學思想融入教學過程中,讓學生能夠捕捉到解題的方法、重點、思維,快速高效的進行解題.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學解題思想的重要思想,其可將復(fù)雜的問題簡單化,陌生問題熟悉化,有助于學生思維嚴謹性的提升,良好的解題習慣也會隨之逐漸形成,進而能撬動學生的思維,在啟智明理中促進學生自主學習,從而提高教學質(zhì)效.

        1 轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學解題中的意義

        高中數(shù)學題目(尤其是理科數(shù)學)的難度和抽象性皆明顯高于初中數(shù)學,學生在解題過程中,教師可以將轉(zhuǎn)化思想運用于解題過程中,進而達到快速解題的目的.轉(zhuǎn)化思想要求學生通過側(cè)面或反面整理解題思路,尋找突破口,把復(fù)雜、抽象、困難的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌梢粋€或若干個自己熟知的或能解決的問題.在學習數(shù)學的過程中,大部分學生會將一個較難的問題通過分解、變形、代換、平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式,將之轉(zhuǎn)化為一個或幾個自己熟悉的基本的問題,從而求出答案.在解答一元二次方程時,學生可以將一元二次方程通過因式分解轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

        2 在數(shù)學解題過程中利用轉(zhuǎn)化思想的策略

        2.1 將復(fù)雜問題簡單化

        復(fù)雜問題簡單化,可以是一個數(shù)學公式,一個數(shù)學概念,一個數(shù)學定義,也可以是有關(guān)數(shù)學公式的記憶,數(shù)學定義的證明等等.下面我就如何簡單數(shù)學問題說我的幾點看法: 一、用自己熟悉的、精簡的語言闡述數(shù)學概念和定義.這樣有利于加強概念、定義的理解和記憶.比如,在我講拋物線方程的時候,拋物線方程與焦點位置有密切關(guān)系,拋物線方程一次項即是焦點所在位置.而切拋物線的焦點與拋物線方程的系數(shù)的四分之一倍數(shù)有關(guān).這里我用自己的語言向同學們總結(jié).拋物線的方程要么是x2等于好多y,要么是y2等于好多x,這主要就看焦點位置了,如焦點在x軸,一次項就是x,所以方程就是y2等于好多x.以次類推.當面臨一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜直接解答會難以上手的問題時,可將該問題劃分為一個或多個簡單的問題,逐個解答.例如以下題目:

        2.2 將常量轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞?/h3>

        變量轉(zhuǎn)化多用于含有X未知數(shù)的不等式問題,在做該類題目時,需根據(jù)題目的條件求出參變量的取值范圍,雖然該類題目的做題方法多,即:對其分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、利用函數(shù)性質(zhì),但次過程較為復(fù)雜,出錯了較高,若能使用變量轉(zhuǎn)化則可事半功倍.例如以下例題:

        例1設(shè)a,b是兩個實數(shù),A={(x,y) ∣x=n,y=na+b,n∈z},B={(x,y)∣x=m,y=3m2+15,m∈z,}C={(x,y) ∣x2+y2≤144}是否存在a,b使得(1)A∩B≠____;(2)(a,b) ∈C同時成立.

        方法一假設(shè)存在(x,y)∈A∩B,則相應(yīng)的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點.

        △=a2-12(5-b) ≥0,即-a2≤12b-180,

        所以a,b不存在.

        分析以該題為例,解法一采用X為變量,帶入過程較為復(fù)雜,計算量大,學生在解題的過程中,容易出現(xiàn)作物;而解法二是將a、b等轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞浚瑢作為常量,轉(zhuǎn)化思維,解題過程簡單易懂,由此看出解決此題選a,b為變量,x為常量同樣是可以找到一種優(yōu)質(zhì)的解法.如何設(shè)定主元,對學生的思維能力的要求較高,主元選定之后,有助于用方程或函數(shù)思想來解決問題.

        2.3 將抽象問題形象化

        學生在解答抽象問題時,往往會出現(xiàn)找不到解題思路的情況,尤其是函數(shù)問題,此時便可采取抽象問題形象化的解題方法解決,將抽象問題形象化主要有換元法、湊合法、待定系數(shù)法、利用函數(shù)性質(zhì)法等.

        2.3.1 換元法

        即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式,從而求出f(x),這也是證某些公式或等式常用的方法,此法解培養(yǎng)學生的靈活性及變形能力.

        2.3.2 湊合法

        該方法是在已知f(g(x))=h(x)的條件下,把h(x)并湊成以g(u)表示的代數(shù)式,再利用代換即可求f(x).此解法簡潔,還能進一步復(fù)習代換法.

        ∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x,(|x|≥1)

        2.3.3 待定系數(shù)法

        先確定函數(shù)類型,設(shè)定函數(shù)關(guān)系式,再由已知條件,定出關(guān)系式中的未知系數(shù).

        例4已知f(x)二次實函數(shù),且f(x+1)+f(x-1)=x2+2x+4,求f(x).

        2.3.4 利用函數(shù)性質(zhì)法

        主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.

        例題已知y=f(x)為奇函數(shù),當x>0時,f(x)=lg(x+1),求f(x).

        解析∵f(x)為奇函數(shù),

        ∴f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,故先求x<0時的表達式.

        ∵-x>0,

        ∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x),

        ∵f(x)為奇函數(shù),∴l(xiāng)g(1-x)=f(-x)=-f(x)

        ∴當x<0時f(x)=-lg(1-x)

        2.4 靜態(tài)問題動態(tài)化

        部分數(shù)學問題在以靜態(tài)的思路進行解題可得出結(jié)果,但過程復(fù)雜,學生在做題過程中容易出錯,因此,在做該類題目時,可將靜態(tài)問題動態(tài)化,即:通過研究變動情況對題目可能出現(xiàn)的特殊情況進行分析,進而簡化解題過程,防止錯誤的發(fā)生.

        解題過程解 ①若∠PF2F1=90°.

        則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,

        ②若∠F1PF2=90°,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,

        ∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,

        分析改題目的直角位置為得到確定,因此,在解題過程中,我們需要先確定直角可以確定的位置,在以分類的方式對直角的位置進行確定,最后對所有可能出現(xiàn)的可能進行匯總,進而得出范圍.解答問題則可要讓,F(xiàn)1和F2動起來,對其進行分類討論,以提高解題的效率.

        轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學解題思想中的重要部分,其可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題,抽象問題轉(zhuǎn)化為具象問題等,可幫助學生提升解題效率,降低錯誤率的發(fā)生,對于學生提高成績具有重要意義.其次,轉(zhuǎn)化思想可有效鍛煉學生的思維邏輯能力,提升其做題的嚴謹性,進而使其做事的思維能力、嚴謹性得以有效提升,為其未來的發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ).因此,高中數(shù)學教師在教學過程中,應(yīng)將該思想廣泛運用,幫助學生領(lǐng)悟解題方法,掌握解題能力,為其高考提供堅實保障.

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