具有無限類混沌吸引子的保守混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2022-06-24 09:00:18顏閩秀接敬鋒
山東科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2022年3期
顏閩秀，接敬鋒
(1.沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110142；2.沈陽化工大學(xué) 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)重點實驗室，遼寧 沈陽 110142)
混沌系統(tǒng)具有運動軌跡的不穩(wěn)定性，主要表現(xiàn)在對初始值具有較強的敏感性以及對微小擾動的極端敏感性，這些特征使得混沌系統(tǒng)更適合應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域[1-3]。自1963年美國氣象學(xué)家Lorenz在研究大氣湍流現(xiàn)象時發(fā)現(xiàn)第一個混沌吸引子，至今已經(jīng)取得許多重要的研究理論并在很多領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。不同類型的混沌系統(tǒng)不斷被提出，例如Chen系統(tǒng)[4]、Lü系統(tǒng)[5]、Sprott系統(tǒng)[6]等，但這些系統(tǒng)大部分是耗散系統(tǒng)。保守系統(tǒng)是混沌學(xué)中極其重要的組成部分，相較于耗散系統(tǒng)發(fā)展相對緩慢。由于保守系統(tǒng)不具有混沌吸引子，對于初始條件更加敏感，使得系統(tǒng)的運動軌跡具有不確定性，存在豐富的混沌特性。因此，對保守系統(tǒng)的類混沌吸引子共存現(xiàn)象研究具有重要意義。
吸引子共存指系統(tǒng)在不同初始值下會進入不同的軌道，從而形成不同吸引子現(xiàn)象。存在吸引子共存的混沌系統(tǒng)具有更好的靈活性和魯棒性、更加復(fù)雜的混沌動力學(xué)行為，適用于多種工作場景。近年來，許多學(xué)者通過構(gòu)造不同的非線性函數(shù)產(chǎn)生各種類型混沌吸引子。Yu等[7]通過在典型蔡氏電路中構(gòu)造雙曲正切三次非線性函數(shù)生成多滾動吸引子，構(gòu)造的系統(tǒng)具有多吸引子共存特性并應(yīng)用于混沌圖像加密及混沌數(shù)字電路。Yuan等[8]提出帶正弦函數(shù)的電感模型，在此基礎(chǔ)上設(shè)計得到守恒混沌系統(tǒng)，并對系統(tǒng)的自復(fù)制混沌特性和爆破振蕩機制進行了驗證，展現(xiàn)系統(tǒng)通過偏移增強復(fù)制混沌吸引子的特點，但未對產(chǎn)生無窮多吸引子共存的可能性作進一步探討。Lai等[9]介紹一種由簡單憶阻器混沌電路引入非線性反饋控制輸入產(chǎn)生無限多平衡點和大量共存吸引子的混沌系統(tǒng)，但沒有詳細闡述引入非線性反饋的限制條件。
混沌同步是混沌研究的一個重要分支，是通過施加外部控制或內(nèi)部耦合動作實現(xiàn)兩個或多個混沌系統(tǒng)在不同初始狀態(tài)下最終達到狀態(tài)一致的過程[9]。混沌系統(tǒng)在混沌保密通信、混沌同步控制方面有著廣泛的應(yīng)用[10-11]。目前混沌同步控制方面已取得一定的成果，如滑模控制、模糊控制、反演控制、自適應(yīng)控制等[12-15]。而自適應(yīng)控制器能修正自身的特性以適應(yīng)被控對象和擾動動態(tài)特性的變化，適用于對象特性或擾動特性變化范圍較大的場合?；？刂破骶哂泻芎玫聂敯粜裕斚到y(tǒng)處于滑動模態(tài)時對被控對象的建模誤差、外部干擾等具有極佳的不敏感性。將自適應(yīng)與滑?？刂破饔袡C結(jié)合起來能很好地解決系統(tǒng)參數(shù)不確定或變參數(shù)問題，具有良好的過渡過程性能和魯棒性[16]。
本研究針對混沌系統(tǒng)的多吸引子共存特性，在Sprott A系統(tǒng)[17]的基礎(chǔ)上增加余弦函數(shù)構(gòu)建新的保守混沌系統(tǒng)。針對該系統(tǒng)進行動力學(xué)分析和數(shù)值仿真，并通過類比推理得到產(chǎn)生無限類混沌吸引子的可行性方法，同時分析初始值變化對系統(tǒng)的影響。設(shè)計自適應(yīng)滑?？刂破鳎谖粗獏?shù)以及干擾有上界的情況下實現(xiàn)對新保守混沌系統(tǒng)的同步控制。與以往保守混沌系統(tǒng)不同，本研究提出的系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無窮多個混沌吸引子和類吸引子。
1 三維保守系統(tǒng)模型
設(shè)計一個含有余弦函數(shù)的保守混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)模型為：
(1)
式中：x、y、z為狀態(tài)變量，a、b為系統(tǒng)參數(shù)。系統(tǒng)(1)來源于Sprott A系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型為：
(2)
2 三維保守系統(tǒng)的分析
2.1 新系統(tǒng)的時間序列圖
混沌系統(tǒng)對于初始條件的敏感性非常高，現(xiàn)就系統(tǒng)(1)的初始值敏感性進行分析。當參數(shù)a=2、b=2時，取兩組具有細微差異的初始值(0.1, 0.1, 0.1)和(0.000 1, 0.1, 0.1)，通過Matlab進行數(shù)值仿真實驗，x、y對應(yīng)的時間序列展現(xiàn)了系統(tǒng)對初始值的強烈敏感性，如圖1所示。
2.2 李雅普諾夫指數(shù)、維度及平衡點
當參數(shù)a=2、b=2時，通過Matlab計算得到系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)為：
L1=0.312 3，L2=0，L3=-0.312 3。
(3)
通過式(3)可以得到系統(tǒng)(1)的最大李雅普諾夫指數(shù)為正數(shù)，并且李雅普諾夫指數(shù)之和為0，說明系統(tǒng)(1)為保守系統(tǒng)。
圖1 系統(tǒng)(1)的時間序列圖
李雅普諾夫維數(shù)為：
(4)
令式(1)的右邊等于0，即
(5)
將y=0代入b-y2=0，等式不成立，表明系統(tǒng)(1)不存在平衡點。
2.3 對稱性及耗散度
系統(tǒng)(1)在(x,y,z)→(-x,-y,z)的坐標變換下是不變的，因此系統(tǒng)(1)關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對稱。計算系統(tǒng)(1)的耗散度，得：
(6)
3 大范圍的混沌特性
設(shè)參數(shù)b=2，以a為變量參數(shù)分析系統(tǒng)(1)的混沌特性以及保守性。a∈[0，6]時，初始值設(shè)置為(0.1，0.1，0.1)，令李雅普諾夫指數(shù)和為SL，參數(shù)步長為0.02，分別計算SL與李雅普諾夫指數(shù)LE1、LE2、LE3，如圖2所示。
從圖2(a)可以看出，當a∈[0,6]時，系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)之和近似等于0，可以認定為保守混沌系統(tǒng)。
圖2(b)表明，隨著參數(shù)a的變化，系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為從混沌演變?yōu)闇手芷?，再由準周期演變?yōu)榛煦纭．攁∈[0，1.75]時，LE1>0，LE2=0，LE3<0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當a∈[1.75，2.12]時，LE1=0，LE2<0，LE3<0，最大的李雅普諾夫指數(shù)為0，系統(tǒng)處于準周期狀態(tài)；當a∈[2.12，6]時，LE1>0，LE2=0，LE3<0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，運動軌跡類似于混沌吸引子。
系統(tǒng)(1)中參數(shù)a的典型取值和對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)以及動力學(xué)性質(zhì)如表1所示，相應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖3～6所示。
選取z=0作為截取平面，得到關(guān)于x-y平面的龐加萊截面圖，如圖7所示。由圖7(a)可見，系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)，運動軌跡是成片的密集點；圖7(b)的龐加萊截面圖上的密集點接近整圓，進一步表明系統(tǒng)(1)具有準周期特性；圖7(c)表明系統(tǒng)正處在混沌狀態(tài)，相圖軌跡復(fù)雜，類似于混沌吸引子；圖7(d)中的龐加萊截面圖中具有成片的密集點，再次證明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。
圖2 李雅普諾夫指數(shù)分析
表1 參數(shù)a的取值和所對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)以及動力學(xué)性質(zhì)
圖3 a=1時，系統(tǒng)(1)的軌跡相圖
圖6 a=5.5時，系統(tǒng)(1)的軌跡相圖
圖7 龐加萊截面圖
4 無窮多的共存類吸引子
當a=3、b=2時，以(x0,0.1,0.1)作為系統(tǒng)(1)初始值，其中x0=2kπ，k為變量且k∈[-50,50]，以參數(shù)k作為控制變量，分析初始值的變化對系統(tǒng)的影響，如圖8所示。
圖8(a)中，當k∈[-50,50]時，分岔圖上呈現(xiàn)密集點，從中選取k∈[-21,-19]以及k∈[19,21]的分岔圖像，同樣呈現(xiàn)密集點。如圖8(b)所示,k=2時的龐加萊截面圖清晰地展現(xiàn)了系統(tǒng)復(fù)雜的混沌特性。如圖8(c)所示，系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)LE1>0，LE2=0，LE3<0。如圖8(d)所示，對李雅普諾夫指數(shù)LE1、LE2、LE3求和，結(jié)果為0，證明系統(tǒng)(1)為保守的混沌系統(tǒng)。
由于系統(tǒng)(1)中包含周期函數(shù)，使得系統(tǒng)產(chǎn)生類混沌吸引子共存現(xiàn)象成為可能。選取初始值(2kπ, 0.1, 0.1)，分別取k=-30、-29、-28、-27、-26、-25、-24，相應(yīng)的類混沌吸引子如圖9(a)所示；初始值選取(2kπ, 0.1, 0.1)，分別取k=-2、-1、0、1、2，得到形狀軌跡各不相同的類混沌吸引子如圖9(b)。顯然，系統(tǒng)(1)存在類混沌吸引子共存的現(xiàn)象，在初始條件為(x0，0.1，0.1)，{x0|x0=2kπ，k∈Z}下，能夠產(chǎn)生無窮多形狀相似但軌跡各不相同的類混沌吸引子。
5 新型保守混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂?/h2>
選取系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)，以如下形式表示：
(7)
圖8 參數(shù)k變化對系統(tǒng)的影響
圖9 共存的類混沌吸引子
響應(yīng)系統(tǒng)為：
(8)
假定未知的Δfi(y)和ri有界，則存在未知正實數(shù)vi和di，使得
|Δfi(y)|≤vi,|ri|≤di。
(9)
定義同步誤差ei=yi-xi,i=1,2,3。響應(yīng)系統(tǒng)(8)減去驅(qū)動系統(tǒng)(7)得到誤差系統(tǒng)
(10)
針對誤差系統(tǒng)(10)選取滑模面
(11)
式中參數(shù)β的取值范圍為0<β<1。設(shè)計控制器為：
(12)
設(shè)計自適應(yīng)率為：
(13)
(14)
定理1在控制器(12)和自適應(yīng)率(13)、(14)的作用下，誤差系統(tǒng)的誤差狀態(tài)軌跡能夠達到滑模面，并且誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。
證明：選取李雅普諾夫指數(shù)
求導(dǎo)得：
將式(10)和式(11)代入上式得：
(15)
根據(jù)式(9)進行放縮運算：
(16)
將式(12)代入式(16)得：
(17)
(18)
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，誤差狀態(tài)軌跡能夠達到滑模面，誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，證畢。
定理2誤差軌跡到達滑模面，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)實現(xiàn)同步。
證明：選取李雅普諾夫函數(shù)
求導(dǎo)得：
(19)
(20)
將式(20)代入式(19)中，得：
根據(jù)引理1進行放縮，得到：
根據(jù)引理2可知，誤差系統(tǒng)將在有限的時間內(nèi)穩(wěn)定到0點，即驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)實現(xiàn)同步。綜上所述，定理2證畢。
6 仿真分析
圖10 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)同步的仿真框圖
圖11 同步誤差e的仿真結(jié)果以及參數(shù)的辨識過程
7 結(jié)論
本研究對提出的新型多穩(wěn)態(tài)保守混沌系統(tǒng)與耗散系統(tǒng)的混沌特性進行類比分析，分析了保守混沌系統(tǒng)特有的混沌特性。系統(tǒng)初始值的改變?yōu)閷崿F(xiàn)無限類混沌吸引子提供了理論支撐。通過自適應(yīng)滑模控制器能夠?qū)μ岢龅谋Ｊ鼗煦缦到y(tǒng)同步控制，進一步驗證了自適應(yīng)滑?？刂破鲗τ诒Ｊ鼗煦缦到y(tǒng)同步控制的可行性。對保守混沌系統(tǒng)實現(xiàn)無限類混沌吸引子等方面作了進一步補充，在同步通信以及圖像加密等領(lǐng)域具有一定的意義。
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本研究針對混沌系統(tǒng)的多吸引子共存特性，在Sprott A系統(tǒng)[17]的基礎(chǔ)上增加余弦函數(shù)構(gòu)建新的保守混沌系統(tǒng)。針對該系統(tǒng)進行動力學(xué)分析和數(shù)值仿真，并通過類比推理得到產(chǎn)生無限類混沌吸引子的可行性方法，同時分析初始值變化對系統(tǒng)的影響。設(shè)計自適應(yīng)滑?？刂破鳎谖粗獏?shù)以及干擾有上界的情況下實現(xiàn)對新保守混沌系統(tǒng)的同步控制。與以往保守混沌系統(tǒng)不同，本研究提出的系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無窮多個混沌吸引子和類吸引子。
1 三維保守系統(tǒng)模型
設(shè)計一個含有余弦函數(shù)的保守混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)模型為：
(1)
式中：x、y、z為狀態(tài)變量，a、b為系統(tǒng)參數(shù)。系統(tǒng)(1)來源于Sprott A系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型為：
(2)
2 三維保守系統(tǒng)的分析
2.1 新系統(tǒng)的時間序列圖
混沌系統(tǒng)對于初始條件的敏感性非常高，現(xiàn)就系統(tǒng)(1)的初始值敏感性進行分析。當參數(shù)a=2、b=2時，取兩組具有細微差異的初始值(0.1, 0.1, 0.1)和(0.000 1, 0.1, 0.1)，通過Matlab進行數(shù)值仿真實驗，x、y對應(yīng)的時間序列展現(xiàn)了系統(tǒng)對初始值的強烈敏感性，如圖1所示。
2.2 李雅普諾夫指數(shù)、維度及平衡點
當參數(shù)a=2、b=2時，通過Matlab計算得到系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)為：
L1=0.312 3，L2=0，L3=-0.312 3。
(3)
通過式(3)可以得到系統(tǒng)(1)的最大李雅普諾夫指數(shù)為正數(shù)，并且李雅普諾夫指數(shù)之和為0，說明系統(tǒng)(1)為保守系統(tǒng)。
圖1 系統(tǒng)(1)的時間序列圖
李雅普諾夫維數(shù)為：
(4)
令式(1)的右邊等于0，即
(5)
將y=0代入b-y2=0，等式不成立，表明系統(tǒng)(1)不存在平衡點。
2.3 對稱性及耗散度
系統(tǒng)(1)在(x,y,z)→(-x,-y,z)的坐標變換下是不變的，因此系統(tǒng)(1)關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對稱。計算系統(tǒng)(1)的耗散度，得：
(6)
3 大范圍的混沌特性
設(shè)參數(shù)b=2，以a為變量參數(shù)分析系統(tǒng)(1)的混沌特性以及保守性。a∈[0，6]時，初始值設(shè)置為(0.1，0.1，0.1)，令李雅普諾夫指數(shù)和為SL，參數(shù)步長為0.02，分別計算SL與李雅普諾夫指數(shù)LE1、LE2、LE3，如圖2所示。
從圖2(a)可以看出，當a∈[0,6]時，系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)之和近似等于0，可以認定為保守混沌系統(tǒng)。
圖2(b)表明，隨著參數(shù)a的變化，系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為從混沌演變?yōu)闇手芷?，再由準周期演變?yōu)榛煦纭．攁∈[0，1.75]時，LE1>0，LE2=0，LE3<0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當a∈[1.75，2.12]時，LE1=0，LE2<0，LE3<0，最大的李雅普諾夫指數(shù)為0，系統(tǒng)處于準周期狀態(tài)；當a∈[2.12，6]時，LE1>0，LE2=0，LE3<0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，運動軌跡類似于混沌吸引子。
系統(tǒng)(1)中參數(shù)a的典型取值和對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)以及動力學(xué)性質(zhì)如表1所示，相應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖3～6所示。
選取z=0作為截取平面，得到關(guān)于x-y平面的龐加萊截面圖，如圖7所示。由圖7(a)可見，系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)，運動軌跡是成片的密集點；圖7(b)的龐加萊截面圖上的密集點接近整圓，進一步表明系統(tǒng)(1)具有準周期特性；圖7(c)表明系統(tǒng)正處在混沌狀態(tài)，相圖軌跡復(fù)雜，類似于混沌吸引子；圖7(d)中的龐加萊截面圖中具有成片的密集點，再次證明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。
圖2 李雅普諾夫指數(shù)分析
表1 參數(shù)a的取值和所對應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)以及動力學(xué)性質(zhì)
圖3 a=1時，系統(tǒng)(1)的軌跡相圖
圖6 a=5.5時，系統(tǒng)(1)的軌跡相圖
圖7 龐加萊截面圖
4 無窮多的共存類吸引子
當a=3、b=2時，以(x0,0.1,0.1)作為系統(tǒng)(1)初始值，其中x0=2kπ，k為變量且k∈[-50,50]，以參數(shù)k作為控制變量，分析初始值的變化對系統(tǒng)的影響，如圖8所示。
圖8(a)中，當k∈[-50,50]時，分岔圖上呈現(xiàn)密集點，從中選取k∈[-21,-19]以及k∈[19,21]的分岔圖像，同樣呈現(xiàn)密集點。如圖8(b)所示,k=2時的龐加萊截面圖清晰地展現(xiàn)了系統(tǒng)復(fù)雜的混沌特性。如圖8(c)所示，系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)LE1>0，LE2=0，LE3<0。如圖8(d)所示，對李雅普諾夫指數(shù)LE1、LE2、LE3求和，結(jié)果為0，證明系統(tǒng)(1)為保守的混沌系統(tǒng)。
由于系統(tǒng)(1)中包含周期函數(shù)，使得系統(tǒng)產(chǎn)生類混沌吸引子共存現(xiàn)象成為可能。選取初始值(2kπ, 0.1, 0.1)，分別取k=-30、-29、-28、-27、-26、-25、-24，相應(yīng)的類混沌吸引子如圖9(a)所示；初始值選取(2kπ, 0.1, 0.1)，分別取k=-2、-1、0、1、2，得到形狀軌跡各不相同的類混沌吸引子如圖9(b)。顯然，系統(tǒng)(1)存在類混沌吸引子共存的現(xiàn)象，在初始條件為(x0，0.1，0.1)，{x0|x0=2kπ，k∈Z}下，能夠產(chǎn)生無窮多形狀相似但軌跡各不相同的類混沌吸引子。
5 新型保守混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂?/h2>
選取系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng)，以如下形式表示：
(7)
圖8 參數(shù)k變化對系統(tǒng)的影響
圖9 共存的類混沌吸引子
響應(yīng)系統(tǒng)為：
(8)
假定未知的Δfi(y)和ri有界，則存在未知正實數(shù)vi和di，使得
|Δfi(y)|≤vi,|ri|≤di。
(9)
定義同步誤差ei=yi-xi,i=1,2,3。響應(yīng)系統(tǒng)(8)減去驅(qū)動系統(tǒng)(7)得到誤差系統(tǒng)
(10)
針對誤差系統(tǒng)(10)選取滑模面
(11)
式中參數(shù)β的取值范圍為0<β<1。設(shè)計控制器為：
(12)
設(shè)計自適應(yīng)率為：
(13)
(14)
定理1在控制器(12)和自適應(yīng)率(13)、(14)的作用下，誤差系統(tǒng)的誤差狀態(tài)軌跡能夠達到滑模面，并且誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。
證明：選取李雅普諾夫指數(shù)
求導(dǎo)得：
將式(10)和式(11)代入上式得：
(15)
根據(jù)式(9)進行放縮運算：
(16)
將式(12)代入式(16)得：
(17)
(18)
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，誤差狀態(tài)軌跡能夠達到滑模面，誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，證畢。
定理2誤差軌跡到達滑模面，驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)將在有限時間內(nèi)實現(xiàn)同步。
證明：選取李雅普諾夫函數(shù)
求導(dǎo)得：
(19)
(20)
將式(20)代入式(19)中，得：
根據(jù)引理1進行放縮，得到：
根據(jù)引理2可知，誤差系統(tǒng)將在有限的時間內(nèi)穩(wěn)定到0點，即驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)在有限的時間內(nèi)實現(xiàn)同步。綜上所述，定理2證畢。
6 仿真分析
圖10 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)同步的仿真框圖
圖11 同步誤差e的仿真結(jié)果以及參數(shù)的辨識過程
7 結(jié)論
本研究對提出的新型多穩(wěn)態(tài)保守混沌系統(tǒng)與耗散系統(tǒng)的混沌特性進行類比分析，分析了保守混沌系統(tǒng)特有的混沌特性。系統(tǒng)初始值的改變?yōu)閷崿F(xiàn)無限類混沌吸引子提供了理論支撐。通過自適應(yīng)滑模控制器能夠?qū)μ岢龅谋Ｊ鼗煦缦到y(tǒng)同步控制，進一步驗證了自適應(yīng)滑?？刂破鲗τ诒Ｊ鼗煦缦到y(tǒng)同步控制的可行性。對保守混沌系統(tǒng)實現(xiàn)無限類混沌吸引子等方面作了進一步補充，在同步通信以及圖像加密等領(lǐng)域具有一定的意義。
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