李秋陽(yáng)

(江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué),226151)

直線與圓是解析幾何中最基本的內(nèi)容,直線和圓的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系十分重要,在高考中常以填空題的形式考查．利用性質(zhì)解題可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,被稱為“優(yōu)美解法”．在教學(xué)中應(yīng)注意將幾何性質(zhì)滲透到課堂教學(xué)的過(guò)程中,讓學(xué)生體會(huì)利用性質(zhì)解題的優(yōu)越性．筆者在平時(shí)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)圓的一個(gè)性質(zhì)經(jīng)常在不同的題型中出現(xiàn),本文就這個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用作一個(gè)簡(jiǎn)單闡述．

性質(zhì)從圓C外一點(diǎn)P作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則

(1)兩條切線長(zhǎng)相等且?PAC,?PBC全等；

(2)P,C,A,B四點(diǎn)共圓且以PC為直徑；

(3)兩切點(diǎn)所在的直線方程即為兩圓的公共弦所在的直線方程．

一、利用性質(zhì)解決最值或范圍問(wèn)題

例1已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.

變式設(shè)C上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P向圓C1:x2+y2-2y-4=0作兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,四邊形PAC1B的面積為10,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

評(píng)注例題和變式都是利用圓心、圓外的點(diǎn)和切點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積相等的性質(zhì)來(lái)操作的,再使用數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸的思想處理就輕而易舉了．這個(gè)性質(zhì)可以拓展延伸:“過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)P(m,n)引圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,探究SΔPAB的值與定點(diǎn)和半徑的關(guān)系”．

二、利用性質(zhì)解決定點(diǎn)問(wèn)題

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P的方程為x2+y2=4,過(guò)直線y=x-4上一點(diǎn)Q,作圓P的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

變式已知圓C:x2+(y-4)2=1,直線l:2x-y=0,點(diǎn)P在直線l上,過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B.求證:經(jīng)過(guò)A,P,C三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

評(píng)注這兩道題目是利用兩切點(diǎn)的直線即為公共弦以及兩切點(diǎn)、圓外的點(diǎn)、圓心四點(diǎn)共圓的性質(zhì)來(lái)解決恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的．這個(gè)性質(zhì)還可以拓展延伸為:“已知圓的方程是x2+y2=r2,點(diǎn)P(m,n)是圓外一點(diǎn)，探究過(guò)點(diǎn)P的圓的切線與兩切點(diǎn)的直線方程的關(guān)系”．

三、利用性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題

例3如圖1,陰影部分為古建筑物保護(hù)群所在地,其形狀是以O(shè)1為圓心、半徑為1 km的半圓面,公路l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,且與直徑OA垂直,現(xiàn)計(jì)劃修建一條與半圓相切的公路PQ(點(diǎn)P在直徑OA的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)Q在公路l上),T為切點(diǎn)．

(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系:① 設(shè)∠OPQ=a(rad),將?OPQ的面積S表示為α的函數(shù);② 設(shè)OQ=t(km),將?OPQ面積S表示為t的函數(shù);

(2)請(qǐng)您選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系,求?OPQ的面積S的最小值．

評(píng)注這道題目已知條件提供兩種方法,設(shè)角和設(shè)邊建立函數(shù)關(guān)系式．在設(shè)角的思路中,題目已經(jīng)規(guī)定好設(shè)∠OPQ.本題解法是從隱含的幾何性質(zhì)出發(fā),再尋求一種設(shè)角的方案,思路也比較清晰,操作簡(jiǎn)單．同時(shí)還可以拓展延伸:“四邊形OBCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,P在邊BC上,Q在邊OD上，如何求四邊形OBPQ面積的最小值?”其中有關(guān)作切線的問(wèn)題應(yīng)用比較廣泛,不僅體現(xiàn)解析幾何的計(jì)算優(yōu)勢(shì),而且還可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想．

例4平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0,若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P,使過(guò)點(diǎn)P所作圓的兩條切線互相垂直,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解 圓C的方程為x2+y2-4x=0,故圓心為C(2,0),半徑為R=2.設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A,B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有可得點(diǎn)P的軌跡為(x-2)2+y2=8.又點(diǎn)P在直線上,即轉(zhuǎn)化為直線和圓有公共點(diǎn),所以圓心到直線的距離小于等于由解得