朱秋霞 左浩德

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225009)

一、問(wèn)題的提出

2014年,《國(guó)務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見(jiàn)》(以下簡(jiǎn)稱《意見(jiàn)》)要求,使用“全國(guó)卷”的省份將于2015年后逐年增加,迄今為止已增加到27個(gè),成為推進(jìn)高考改革的一部分．2021年,高考綜合改革在多地推進(jìn),山東、福建、廣東、江蘇、湖南、湖北、河北使用新高考I卷;遼寧、重慶、海南使用新高考II卷;原有的全國(guó)III卷改為全國(guó)甲卷,適用于云南、廣西、貴州、四川、西藏;原有的全國(guó)I卷、II卷合并為全國(guó)乙卷,適用河南、山西等12個(gè)省份．在此背景下,新高考卷的難度成為多方關(guān)注的焦點(diǎn)．但僅從試卷的命題形式判斷其難度變化只能得到淺顯的結(jié)論,為此需要進(jìn)行深入研究．

本研究所參照的綜合難度模型,由Nohara 2001年提出,以總體難度(Overall difficulty)概念為基礎(chǔ)．在該模型的指導(dǎo)下,我國(guó)學(xué)者鮑建生以中英兩國(guó)的數(shù)學(xué)教材為載體,對(duì)例習(xí)題的難度加以比較,改進(jìn)了Nohara綜合難度模型存在的缺憾,建立基于我國(guó)教育現(xiàn)狀的數(shù)學(xué)課程綜合難度模型．隨后幾年,教材難度比較類文章俯拾皆是,在理論研究方面有更進(jìn)一步的發(fā)展,能夠更加科學(xué)地分析數(shù)學(xué)試題的綜合難度．本文以2021年的高考試卷為研究對(duì)象,給出進(jìn)一步的定量和定性分析．

二、研究方法

1.研究對(duì)象

2021年全國(guó)甲、乙卷的文、理科數(shù)學(xué)試卷,新高考I卷、II卷的數(shù)學(xué)試卷(不分文理),共6套.由教育部考試中心命制．為了方便比較,本文選取2021年的四份高考試卷,分別為全國(guó)I卷、II卷,全國(guó)甲卷(理)和乙卷(理)．全國(guó)I卷、II卷各22題,全國(guó)甲卷(理)和乙卷(理)為23題．

2.研究工具

參考張怡、武小鵬在鮑建生難度模型基礎(chǔ)上改進(jìn)的高考試題綜合難度模型．他們考慮到教材與標(biāo)準(zhǔn)化考試尤其是高考試題的不同,以鮑建生難度模型為基礎(chǔ),增加了“思維方向”和“是否含參”因子，吸收前人研究成果.本研究主要從背景因素、數(shù)學(xué)認(rèn)知、運(yùn)算水平、推理能力、知識(shí)綜合、思維方向和是否含參7個(gè)維度展開(kāi)．

為了量化分析每個(gè)水平,需要對(duì)各個(gè)維度中的不同水平賦予一定的權(quán)重系數(shù),根據(jù)具體情況對(duì)試題中的7個(gè)維度進(jìn)行編碼,再利用下列模型進(jìn)行計(jì)算.

(1)

其中,di(i=1,2,3,4,5,6,7)表示不同的維度,dij為第i個(gè)維度中的第j個(gè)水平的權(quán)重(依水平分別取1，2，3…)，nij則表示這組數(shù)第i個(gè)維度中國(guó)的第j個(gè)水平的題目的個(gè)數(shù),n表示題目的總體數(shù)量,以此分析該組題目的綜合難度模型,見(jiàn)圖1.

按照武小鵬對(duì)各難度水平內(nèi)涵的描述,對(duì)2021年高考數(shù)學(xué)4份試卷進(jìn)行編碼,編碼示例如下:

例1(2021年新高考I卷22)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1) 討論f(x)的單調(diào)性;

此試題包含以下特征:無(wú)背景(建立在純數(shù)學(xué)知識(shí)條件下)、分析水平(解題時(shí)需要深入分析并綜合應(yīng)用各個(gè)條件)、復(fù)雜符號(hào)運(yùn)算(涉及復(fù)雜關(guān)系的證明)、復(fù)雜推理(推理步驟大于3步)、兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造函數(shù)證明不等式,利用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn))、逆向思維(按照已掌握知識(shí)的順序,逆向解決問(wèn)題)、有參數(shù)(含參數(shù)a,b)．

例2(2021年新高考II卷9)下列統(tǒng)計(jì)量中,能度量樣本x1,x2,…,xn的離散程度的是( )

(A)樣本x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差

(B)樣本x1,x2,…,xn的中位數(shù)

(C)樣本x1,x2,…,xn的極差

(D)樣本x1,x2,…,xn的平均數(shù)

此題特征:無(wú)背景(建立在純數(shù)學(xué)知識(shí)條件下)、理解水平(只需要理解標(biāo)準(zhǔn)差,中位數(shù),極差,平均數(shù)的概念)、無(wú)數(shù)值運(yùn)算(未涉及數(shù)值計(jì)算)、簡(jiǎn)單推理(直接由概念即可推出結(jié)果)、兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)(考查了標(biāo)準(zhǔn)差,中位數(shù),極差,平均數(shù)的概念)、順向思維(按照已掌握知識(shí)安排順序,順向解決問(wèn)題)、無(wú)參數(shù)(未涉及到參數(shù))．

三、研究結(jié)果

本研究對(duì)2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I卷、II卷、全國(guó)甲卷(理)和乙卷(理)四份試卷7個(gè)不同的難度因子進(jìn)行比較,繼而用綜合難度模型進(jìn)行整體分析．

1.背景因素

四套試卷所選試題大部分以無(wú)背景為特征,圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)本身展開(kāi),雖對(duì)背景因素考察較少,但并非完全沒(méi)有涉及.就所考查到的背景因素來(lái)看,每份試卷各有側(cè)重,全國(guó)I卷以民間剪紙術(shù)、“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽為背景,主要考查數(shù)學(xué)與人文藝術(shù);全國(guó)II卷以北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)、微生物群體繁殖為背景,考查數(shù)學(xué)與科技;全國(guó)甲卷有4題含背景的題目,分別包含某地農(nóng)戶家庭年收入、青少年視力問(wèn)題、三角高程測(cè)量法測(cè)珠峰、機(jī)床生產(chǎn)產(chǎn)品等公共生活方面的內(nèi)容,都是數(shù)學(xué)與生活類的試題；只有全國(guó)乙卷第9題借助劉徽《海島算經(jīng)》考查數(shù)學(xué)史知識(shí)．總體來(lái)說(shuō),全國(guó)I，II卷含有背景的都只有2題,占比9.1%,全國(guó)甲卷占比最多,約17.4%,但沒(méi)有一套試卷能涵蓋所有的背景元素．

2.數(shù)學(xué)認(rèn)知

不難發(fā)現(xiàn),高考對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平方面的考查較為全面,全國(guó)II卷和全國(guó)甲卷(理)在認(rèn)知水平的三個(gè)層次上差異不大,對(duì)理解和分析層次考查較多,而全國(guó)I卷對(duì)應(yīng)用層次的考查明顯高于其他三套試卷,但是理解層次的考查難度最低．

3.運(yùn)算水平

4.推理能力

四套試卷在推理水平上存在較大差異,全國(guó)I卷對(duì)復(fù)雜推理的考查達(dá)到60%,例如第12題所包含的立體幾何線面的位置關(guān)系問(wèn)題,需要運(yùn)用線線垂直、線面垂直、線面平行的判定定理等知識(shí),并多次進(jìn)行演繹推理,推理過(guò)程較為復(fù)雜,屬于難題．而甲卷(理)的比重約為35%,全國(guó)I卷、II卷、甲卷(理)、乙卷(理)需要簡(jiǎn)單推理的試題數(shù)量逐漸增多,而需復(fù)雜推理的試題數(shù)量逐漸降低．

5.知識(shí)綜合

雖然四套試卷所考查的知識(shí)點(diǎn)各有側(cè)重,但是知識(shí)綜合這一水平的考查均涉及兩個(gè)及以上知識(shí)點(diǎn),高考的綜合性特征由此可見(jiàn)．全國(guó)I卷、II卷兩個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的含量相當(dāng),相較甲、乙卷,I卷和II卷在題型設(shè)置上增設(shè)多選題一類,而多選題往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn),要想拿到全分要求學(xué)生精確理解題目中所包含的定義,并且融會(huì)貫通,所以知識(shí)綜合性較強(qiáng)．全國(guó)甲卷理科對(duì)兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他三套試卷,達(dá)到60%,但是三個(gè)及以上的知識(shí)點(diǎn)占比較低．

6.思維方向

四套試卷對(duì)逆向思維的考查數(shù)量遞增趨勢(shì):全國(guó)I卷<全國(guó)乙卷(理)<全國(guó)甲卷(理)<全國(guó)II卷,說(shuō)明全國(guó)II卷更加重視學(xué)生的逆向思維、發(fā)散思維．但從上表可以發(fā)現(xiàn),試卷的考查仍以順向思維為主導(dǎo),可見(jiàn)高考試卷大多以順向思維為主,重視在學(xué)生自主構(gòu)建過(guò)程中提升思維品質(zhì),培養(yǎng)其創(chuàng)新意識(shí)和理性思維能力．

7.含參情況

從表1可以看出,甲卷理科和乙卷理科含參的題目相同,并且I卷的基本情況與這兩份試卷相差不大,II卷含參數(shù)的試題與不含參數(shù)的試題各占一半,可以發(fā)現(xiàn)高考中還是無(wú)參數(shù)的試題居多,由此可見(jiàn),在高考中,試題的命制以學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法為主要考查方面．

表1 全國(guó)I卷、國(guó)II卷和國(guó)甲卷(理)、乙卷(理)試題綜合統(tǒng)計(jì)

8.綜合難度

統(tǒng)計(jì)各維度的題目數(shù)量,以此更加深入分析本研究所選的四套試卷的綜合難度水平,并利用公式(1),計(jì)算各因素的加權(quán)平均,得到下表2.

表2 四套高考試卷難度因素的加權(quán)平均

經(jīng)過(guò)各方比較,為更加科學(xué)地反映上述試卷的綜合難度,可以形成以下試題綜合難度系數(shù)模型,如圖2．

通過(guò)四套試卷的雷達(dá)圖可以看到:四份試卷考查的側(cè)重點(diǎn)整體相近,運(yùn)算水平、推理能力、數(shù)學(xué)認(rèn)知存在明顯差異,全國(guó)I卷部分維度系數(shù)較大,難度較高．從表2可以發(fā)現(xiàn),全國(guó)I卷難度系數(shù)為13.46,試卷難度最大,全國(guó)乙卷理科難度系數(shù)為12.72,難度最?。?/p>

四、教學(xué)建議

從難度的角度分析,結(jié)合以上四套試卷比較情況,提出以下教學(xué)建議．

1.強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維,提升認(rèn)知水平

上述研究可知,高考試卷對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平有一定的要求,而認(rèn)知水平需要學(xué)生的思維能力．在教學(xué)中,要重視基本概念的生成過(guò)程,挖掘概念的本質(zhì),幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系和方法體系,并通過(guò)一題多解、一法多用、一題多變等手段建構(gòu)知識(shí)脈絡(luò),促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展,理性思維和科學(xué)精神的養(yǎng)成以及認(rèn)知水平的提升．

2.緊跟命題思路,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

綜合難度模型為我們提供了可供參考的信息,運(yùn)算水平、知識(shí)綜合、認(rèn)知水平等難度因素與所提倡的數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)密切相關(guān),對(duì)試題綜合難度的分析可以看出,高考數(shù)學(xué)試題命題緊緊圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),對(duì)學(xué)生的綜合能力進(jìn)行考查,所以在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中,也應(yīng)緊緊圍繞學(xué)生核心素養(yǎng)開(kāi)展教學(xué),只有緊跟命題思路,重視培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),才能夠讓復(fù)習(xí)工作達(dá)到駕輕就熟的境地,面對(duì)高考得心應(yīng)手．

3.遵循課程標(biāo)準(zhǔn),參照高考評(píng)價(jià)體系

本文的試卷綜合難度分析并不是功利化的表現(xiàn),可以引導(dǎo)教師理解考綱,準(zhǔn)確把握考綱,適應(yīng)考綱,即要把考綱放在一定的問(wèn)題中,遵循課程標(biāo)準(zhǔn),參照評(píng)價(jià)體系．在高考復(fù)習(xí)時(shí)堅(jiān)持獨(dú)立思考,不人云亦云,同時(shí)腳踏實(shí)地,將盡可能全面地將知識(shí)內(nèi)化吸收,這樣在高考復(fù)習(xí)中才能達(dá)到游刃有余的境地,最終收獲成功．