魏麗君,吳海波,章若冰

(1.中南大學(xué)自動化學(xué)院,湖南 長沙 410001; 2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院,湖南 株洲 412001)

0 引 言

熵、相似性測度和交叉熵是模糊理論中的3個重要的研究領(lǐng)域，在信息融合系統(tǒng)、醫(yī)學(xué)診斷等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。熵對于測量不確定信息非常重要。從熵出現(xiàn)以來，它受到了廣泛的關(guān)注。Zadeh首先引入了模糊熵的概念來衡量決策信息的模糊性。此外，Luca和Termini提出了模糊熵應(yīng)該遵循的原理[1-8]，Szmidt和Kacprzyk基于直覺模糊基數(shù)的比值，給出了直覺模糊熵測度的原理化要求，并提出了一種IFSS的非概率型熵測度方法[9-10]。Ye提出了2種IVIFS的熵度量方法，并建立了一個熵權(quán)模型來確定熵的權(quán)重[11-12]。Jin等人基于連續(xù)有序加權(quán)平均(COWA)算子研究了區(qū)間值直覺模糊連續(xù)加權(quán)熵來處理MADM問題。而Majumdar和Samant引入了熵函數(shù)來測量SVNV中涉及的不確定性[13]。

相似性測度和交叉熵主要用于識別信息的度量，當(dāng)前已經(jīng)對此進行了大量研究，對熵定義、距離度量和相似度量都進行了詳細(xì)的闡述，并討論了它們之間的基本關(guān)系。Vlachos和Sergiadis提出了直覺模糊交叉熵的概念，并討論了交叉熵和熵之間的關(guān)系。Beliakov等人研究了一種定義IFSS相似性度量的新方法[14-18]，其中相似性度量包含相似性和猶豫性2個部分。Ye提出了在SVNSS之間獲得MADM問題中所有備選方案的排序順序的3種向量相似度測度方法，并在相似性度量缺點的基礎(chǔ)上，基于余弦函數(shù)，構(gòu)造了SVNSS的修正余弦相似性度量[19-21]。Majumdar和Samant根據(jù)2個SVN之間的距離提出了幾種SVN的相似性度量方法[22-24]，并討論了它們的特點。

本文基于模糊熵、相似測度和交叉熵的概念引入單值中智信息函數(shù)信息測度的3個公理化定義，并基于余弦函數(shù)構(gòu)造其信息測度公式，討論支持向量網(wǎng)絡(luò)的這些信息測度之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究一種MADM方法。

1 單值中智信息測量

1.1 單值中智集的熵

SVNS的熵由Majumdar和Samant(2014)[17]定義如下：

定義1 SVNS的熵A={〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉|x∈X}是滿足以下公理的函數(shù)：ε:A→[0,1]。

1)ε(A)=0，如果A是一個明確集。

2)ε(A)=1，如果〈x,TA(x),IA(x),FA(x)〉=〈0.5,0.5,0.5〉，?x∈X。

3)ε(A)=ε(Ac)。

4)ε(A)≥ε(B)，如果A比B更不確定，即：

TA(x)+FA(x)≤TB(x)+FB(x)并且|IA(x)-IAc(x)|≤|IB(x)-IBc(x)|。

然而，在某些情況下，定義1中的公理化需求4可能是不切實際的。因此，SVNSS的熵定義需要改進。

1)E(α)=0當(dāng)且僅當(dāng)αt=0或者αt=1，t=1,2,3。

2)E(α)=1當(dāng)且僅當(dāng)〈α1,α2,α3〉=〈0.5,0.5,0.5〉。

3)E(α)=E(αc)。

4)E(α)≤E(β)，如果β比α存在更不確定性，即αt≤βt當(dāng)βt-βtc≤0，t=1,2,3或者αt≥βt當(dāng)βt-βtc≥0，t=1,2,3。

基于余弦函數(shù)，構(gòu)造了SVNVS的信息測度公式如下：

(1)

1.2 單值中智相似度測度

定義3 假設(shè)α和β是2個SVNVS，α和β之間的相似性度量表示為S(α,β),應(yīng)滿足以下公理要求：

1)當(dāng)且僅當(dāng)αt-βt=1或者αt-βt=-1時，S(α,β)=0，t=1,2,3。

2)當(dāng)且僅當(dāng)〈α1,α2,α3〉=〈β1，β2，β3〉時，S(α,β)=1。

3)S(α,β)=S(β,α)。

(2)

則等式(2)定義的映射S1(α,β)是α和β之間的相似測度。

1.3 單值中智交叉熵

定義4 假設(shè)α和β是2個SVNVS的α和β之間的單值中智交叉熵，表示為C(α，β)，應(yīng)滿足以下2個公理要求：

1)C(α，β)≥0。

2)C(α，β)=0?〈α1，α2，α3〉=〈β1，β2，β3〉。

(3)

由等式(3)定義的映射C1(α，β)是α和β之間的交叉熵。

2 單值中智熵、相似測度和交叉熵之間的關(guān)系

令α為一個SVNV，那么S(α，αc)是其單值中智子熵，即：

E(α)=S(α，αc)

(4)

這足以證明S(α，αc)滿足定義2中列出的要求1～4。

1)E(α)=0?S(α，αc)=0?αt-αtc=1或者αt-αtc=-1，t=1,2,3，即：

αt-(1-αt)=1或者αt-(1-αt)=-1，t=1,2,3

(5)

所以，若式(5)成立，則：αt=0或αt=1，t=1,2,3。

2)E(α)=1?S(α，αc)=1?〈α1，α2，α3〉=〈α1c，α2c，α3c〉

?〈α1，α2，α3〉=〈1-α1，1-α2，1-α3〉

?αt=1-αt,t=1,2,3?αt=0.5,t=1,2,3

?〈α1，α2，α3〉=〈0.5，0.5，0.5〉。

3)E(αc)=S(α，αc)c=S(αc,α)=S(α，αc)=E(α)。

4)如果αt≤βt，當(dāng)βt-βtc≤0,t=1,2,3，可得βt-(1-βt)≤0,t=1,2,3，即：

βt≤1-βt,t=1,2,3，可得：

αt≤βt≤1-βt≤1-αt,t=1,2,3，即：

αt≤βt≤βtc≤αtc,t=1,2,3。

因此可以推斷:S(α，αc)≤S(β，αc)≤S(β，βc),即：E(α)≤E(β)。

同樣，如果αt≥βt，當(dāng)β-βc≥0,t=1,2,3時，可得E(α)≤E(β)。

因此可以推出，令α是一個SVNV，則：

E1(α)=S1(α，αc)

(6)

令α和β是2個SVNV，則1-S(α，β)是其單值中智交叉熵，即：

C(α，β)=1-S(α，β)

(7)

1)因為單值中智相似度量S(α，β)∈[0,1]，所以：

C(α，β)=1-S(α，β)∈[0,1]

(8)

很明顯，C(α，β)≥0。

2)C(α，β)=0?1-S(α，β)=0?S(α，β)=1，當(dāng)且僅當(dāng)〈α1，α2，α3〉=〈β1，β2，β3〉時，S(α，β)=1。

令α和β是2個SVNV，則：

C1(α，β)=1-S1(α，β)

由此可以得到如下定理：

定理1 令α是一個SVNV，則1-C(α，αc)是其單值中智熵，即：

E(α)=1-C(α，αc)

推論1 令α是一個SVNV，則E1(α)=1-C1(α，αc)。

3 單值中智信息測度的MADM方法

3.1 確定屬性權(quán)重的方法

為了得到最優(yōu)的選擇方案，首先提出一種基于熵和交叉熵的屬性權(quán)重向量確定方法。一方面，考慮屬性Cj的熵，屬性Cj的平均熵E(Cj)如下：

(9)

每個E1(αij)可通過式(1)計算。根據(jù)熵理論，一個屬性的熵在不同的選擇中是較小的，然后該屬性應(yīng)該被賦予更大的權(quán)重。

另一方面，對于屬性Cj，備選方案Xi對所有其他備選方案的平均交叉熵可以表示為：

(10)

屬性Cj的平均交叉熵可以表示為：

(11)

其中每個Cj，C1(αij,αkj)可以通過式(3)計算。眾所周知，一個屬性的交叉熵越大，那么該屬性就應(yīng)該被賦予一個更大的權(quán)重。如果屬性Cj,j=1,2,…,n的權(quán)重wj的信息完全未知，則可以使用以下的熵權(quán)方法來確定屬性權(quán)重：

(12)

屬性Cj,j=1,2,…,n的權(quán)重wj的信息可以通過構(gòu)造以下優(yōu)化模型以獲得最優(yōu)權(quán)重向量：

(13)

3.2 基于信息測度的MADM方法

在MADM問題中，讓X+={α1+,α2+,…,αn+}和X-={α1-,α2-,…,αn-}分別作為它們的交易替代品和反理想替代品，其中αj+=〈1,0,0〉，αj-=〈0,1,1〉，j=1,2,…,n。

基于上述分析，本文提出一種單值中智環(huán)境下的MADM方法，其主要步驟如下：

(14)

Step2利用等式(12)或模型(13)確定屬性的權(quán)重向量：W=(w1,w2,…,wn)。

(15)

(16)

Step4計算方案Xi與理想方案的接近度為：

(17)

Step5按降序排列所有接近度T(Xi),i=1,2,…,m。

Step6根據(jù)接近度T(Xi),i=1,2,…,m選擇最佳備選方案。最好的選擇是最大maxT(Xi)，i=1,2,…,m。

Step7結(jié)束。

4 驗證實例

利用本文所提出的方法對該MADM問題進行處理。主要步驟如下：

Step2由于屬性Cj(j=1,2,3,4)的權(quán)重wj信息完全未知，因此利用等式(12)計算屬性的權(quán)重向量，如下所示：

w1=0.2107，w2=0.3011，w3=0.1067，w4=0.3815

Step3利用式(15)和式(16)確定城市Xi與理想城市X+和反理想城市X-之間的相似性度量：

S+(X1)=0.3317，S+(X2)=0.3845，S+(X3)=0.5319，S+(X4)=0.4486，S+(X5)=0.3627，S-(X1)=0.4481，S-(X2)=0.3977，S-(X3)=0.2885，S-(X4)=0.3419，S-(X5)=0.4240

Step4利用式(17)得到城市Xi與理想城市的接近度T(Xi)(i=1,2,3,4,5)：

T(X1)=0.4254，T(X2)=0.4916，T(X3)=0.6483，T(X4)=0.5675，T(X5)=0.4610

Step5由于T(X3)>T(X4)>T(X2)>T(X5)>T(X1)，可得到Xi(i=1,2,3,4,5)的排名是X3>X4>X2>X5>X1，受霧霾污染最嚴(yán)重的城市是X3。

Step6結(jié)束。

下面，采用文獻[11]提出的方法進行比較研究。利用文獻[11]的方法來處理上述問題，具體的決策步驟如下：

Step1同上Step1。

Step2利用SVNA和B之間的相似性度量公式(即文獻[11]中的等式(6))：

可以得到城市Xi和理想城市X+之間的相似性度量T(Xi,X+)(i=1,2,3,4,5)：

T(X1,X+)=0.2301，T(X2,X+)=0.1413，T(X3,X+)=0.3561，T(X4,X+)=0.2639，T(X5,X+)=0.2381

Step3根據(jù)相似性度量的結(jié)果，得出：

T(X3,X+)>T(X4,X+)>T(X5,X+)>T(X1,X+)>T(X2,X+)

那么所有城市Xi(i=1,2,3,4,5)的排名是X3>X4>X5>X1>X2。因此，受霧霾污染最嚴(yán)重的城市是X3。

根據(jù)上述實例，與文獻[11]提出的方法相比，本文提出的方法具有以下一些優(yōu)勢。

1)本文提出的MADM方法的應(yīng)用范圍較文獻[11]更廣。此外，本文所提出的MADM方法可以管理決策信息為SVNVS的問題。

2)本文的方法以信息度量為重點，文獻[11]提出的方法以距離度量為重點，這2種方法都適合處理備選方案權(quán)重向量未知的情況。然而，本文所提出的MADM方法得到的排序結(jié)果更合理和可信。

3)在決策過程中，采用MADM方法得到排序結(jié)果，考慮了所有決策信息，但文獻[11]提出的排序結(jié)果會導(dǎo)致信息丟失，因為采用了豪斯多夫距離，忽略了一些中間值。因此，本文提出的MADM方法可以得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

5 結(jié)束語

目前，許多信息測度方法應(yīng)用于MADM問題，但這些方法不能用來處理單值中智MADM問題。在單值中智環(huán)境下，本文介紹了信息測度的3個公理化定義，包括熵、相似測度和交叉熵，在余弦函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了信息測度公式，然后討論了單值中智信息測度之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上提出了一種處理MADM問題的新方法。最后，通過數(shù)值算例驗證了該方法的有效性。