李 茹，范冰冰

(華南師范大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，廣東 廣州 510000)

0 引 言

鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm)是Mirjalili等人[1]于2016年根據(jù)座頭鯨圍捕獵物的行為提出的算法，鯨魚優(yōu)化算法具有原理簡(jiǎn)單、參數(shù)少、易理解等優(yōu)點(diǎn)，已有相關(guān)研究證明了其在收斂速度和尋優(yōu)精度上優(yōu)于其他傳統(tǒng)的優(yōu)化算法，目前已廣泛應(yīng)用于解決多種工程問(wèn)題[2-9]。但鯨魚算法仍同其他啟發(fā)式算法一樣存在收斂速度慢、早熟、求解精度低等問(wèn)題，近年來(lái)就這些問(wèn)題國(guó)內(nèi)外學(xué)者也進(jìn)行了積極的改進(jìn)研究。Oliva等人[10]利用混沌映射進(jìn)行計(jì)算，并自動(dòng)調(diào)整算法的內(nèi)部參數(shù)，改進(jìn)后的算法提高了其在復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)能力。郭振洲等人[11]提出WOAWC，通過(guò)柯西逆累積分布函數(shù)對(duì)鯨魚位置進(jìn)行變異，利用自適應(yīng)權(quán)重參數(shù)提高鯨魚算法的局部搜索能力和求解精度。張永等人[12]利用分段Logistic混沌映射并考慮算法的非線性優(yōu)化過(guò)程和搜索過(guò)程中個(gè)體的差異性來(lái)改進(jìn)鯨魚算法，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)證明了其改進(jìn)效果。何慶等人[13]提出了基于非線性調(diào)整策略改進(jìn)收斂因子和基于人工峰群算法limit閾值的混合策略改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法，提出的MSWOA經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明具有較高的尋優(yōu)精度和較高的收斂速度。吳坤等人[14]將灰狼算法中的等級(jí)制度和微分進(jìn)化算法中的貪婪策略引入鯨魚優(yōu)化算法，在保證了收斂速度的同時(shí)，優(yōu)化了開發(fā)和搜索能力。張水平等人[15]通過(guò)等價(jià)替換和Faure序列提高初始解的質(zhì)量，利用柯西高斯變異并動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索策略改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法，在仿真實(shí)驗(yàn)上取得了很好的結(jié)果。徐航等人[16]提出利用混沌的特性來(lái)初始化種群和基于透鏡成像反向?qū)W習(xí)等混合策略改進(jìn)的IWOA，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了可行性。

針對(duì)鯨魚算法收斂速度慢、尋優(yōu)精度低、早熟等問(wèn)題，本文提出一種基于混合策略改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法(LGWOA)。

1 原始鯨魚算法

WOA是啟發(fā)于座頭鯨捕食行為而產(chǎn)生的仿生智能優(yōu)化算法[17]。在鯨魚算法中，每個(gè)可行解對(duì)應(yīng)一條鯨魚[18]。在鯨魚群捕捉獵物這一過(guò)程中，每條鯨魚有2種行為:一種是向著隨機(jī)鯨魚游動(dòng)，向著隨機(jī)鯨魚游動(dòng)有2種方案，一種是局部搜索，一種是全局搜索；另外一種是利用氣泡網(wǎng)驅(qū)趕獵物，鯨魚向著附近的鯨魚游動(dòng)并利用氣泡網(wǎng)來(lái)包圍獵物。在每一代迭代過(guò)程中，鯨魚都會(huì)隨機(jī)選擇這2種行為進(jìn)行捕獵，且每條鯨魚選擇這2種行為的概率是相等的，即p(包圍)=p(氣泡網(wǎng))。

1.1 包圍獵物策略

根據(jù)鯨魚的生物特性，隨機(jī)概率p小于0.5鯨魚在包圍獵物時(shí)會(huì)選擇向著最優(yōu)位置的鯨魚游動(dòng)或者向著一只隨機(jī)鯨魚游動(dòng)。

1.1.1 向著最優(yōu)位置鯨魚游動(dòng)

鯨魚發(fā)現(xiàn)獵物并向著最優(yōu)位置鯨魚游動(dòng)時(shí)，此時(shí)系數(shù)向量|A|<1，鯨魚采用收縮包圍機(jī)制接近獵物，該鯨魚的位置更新公式為：

(1)

其中，Xbest代表當(dāng)前最優(yōu)的鯨魚位置，i代表當(dāng)前鯨魚處在第i個(gè)位置，A和C為系數(shù)向量，||表示數(shù)的絕對(duì)值。向量A、C的計(jì)算公式如下：

A=2·a·r-a

(2)

C=2·r

(3)

其中，r是一個(gè)0到1的隨機(jī)數(shù)；A的每一維為均勻分布在[-a,a]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，a的初始值為2，隨著迭代次數(shù)線性遞減至0；C為[0, 2]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

1.1.2 向著隨機(jī)鯨魚的位置游動(dòng)

當(dāng)系數(shù)向量|A|>1時(shí)，表明鯨魚在收縮包圍圈之外，這時(shí)鯨魚會(huì)在種群中隨機(jī)選擇一條鯨魚并向其游去，即進(jìn)行全局搜索，此時(shí)鯨魚的位置更新公式為：

(4)

其中，Xrand為隨機(jī)選擇的鯨魚的位置，此時(shí)鯨魚可以在初始位置和此時(shí)最優(yōu)鯨魚位置之間的任一位置進(jìn)行搜索。

1.2 螺旋上升策略

鯨魚發(fā)現(xiàn)獵物后，若此時(shí)的隨機(jī)概率p不小于0.5，則使用氣泡網(wǎng)來(lái)驅(qū)趕獵物，并與獵物之間建立一個(gè)螺旋方程，根據(jù)螺旋方程不斷地更新自身的位置，位置更新公式如下:

(5)

其中，b為常數(shù)(默認(rèn)為1)，l為[-1,1]內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2 算法改進(jìn)

鯨魚優(yōu)化算法(WOA)相比較其他元啟發(fā)式算法，具有原理簡(jiǎn)單、參數(shù)少的優(yōu)勢(shì)，該算法僅需要對(duì)2個(gè)參數(shù)A和C進(jìn)行調(diào)節(jié)[19]，搜索向量A的自適應(yīng)變化使得鯨魚算法在迭代過(guò)程中擁有良好的平衡局部搜索和全局搜索的能力。但正是由于A的自適應(yīng)原理使得原始的WOA存在求解精度低、收斂速度慢、早熟的問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出LGWOA。

2.1 基于萊維飛行改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法

萊維飛行是一種特殊類型的具有“重尾”概率分布的廣義隨機(jī)游走[20]，其服從于萊維分布，隨機(jī)搜索路徑采用一種短距離和偶爾長(zhǎng)距離相間的方式。近年來(lái)，研究人員用萊維飛行解決搜索和優(yōu)化的問(wèn)題，證明了其能夠改進(jìn)優(yōu)化算法在解空間的搜索能力以及求精能力[21-26]。萊維飛行是一種非高斯隨機(jī)過(guò)程[27]，其步長(zhǎng)服從于Levy分布：

Levy(s)～|s|-1-β, 0<β≤2

(6)

其中，s是飛行步長(zhǎng)，β是一個(gè)指數(shù)，可以用Mantega的算法計(jì)算s：

(7)

其中，β設(shè)置為1.5，μ和υ服從正態(tài)分布。

(8)

在WOA的隨機(jī)搜索階段，每個(gè)個(gè)體的位置都通過(guò)與其他個(gè)體在小范圍內(nèi)的相應(yīng)位置交換信息來(lái)更新，這就導(dǎo)致在隨機(jī)搜索的時(shí)候解空間是有限的，將萊維飛行引入鯨魚優(yōu)化算法的隨機(jī)搜索的階段，通過(guò)萊維飛行來(lái)隨機(jī)加大鯨魚搜索的步長(zhǎng)，擴(kuò)大了搜索空間，并提高了搜索能力，甚至加快了收斂速度。用于更新鯨魚的位置可以通過(guò)如下表達(dá)式進(jìn)行描述：

(9)

根據(jù)公式(7)至公式(9)可得出：

(10)

2.2 基于自適應(yīng)權(quán)重改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法

通過(guò)分析公式(5)可以得知，當(dāng)鯨魚使用氣泡網(wǎng)驅(qū)趕獵物時(shí)同樣是局部搜索，仿真機(jī)制是鯨魚通過(guò)氣泡網(wǎng)來(lái)驅(qū)趕獵物，但隨著迭代次數(shù)，鯨魚驅(qū)趕獵物的氣泡網(wǎng)會(huì)逐漸變小，容易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。為了能夠自適應(yīng)地改變鯨魚驅(qū)趕獵物的范圍，提出一個(gè)基于每代鯨魚最佳適應(yīng)度變化的慣性權(quán)重w，將每代鯨魚群最佳適應(yīng)度作為反饋參數(shù)。在每次迭代中，每條鯨魚都將得到一個(gè)w。對(duì)于w值較小的鯨魚，當(dāng)前鯨魚縮小驅(qū)趕獵物范圍。對(duì)于w值較大的鯨魚，當(dāng)前鯨魚擴(kuò)大驅(qū)趕獵物范圍。

(11)

(12)

由公式(11)可知，w參數(shù)的取值范圍是[0.5,2]。當(dāng)w<1的時(shí)候，鯨魚會(huì)縮小氣泡網(wǎng)的包圍獵物范圍，當(dāng)w>1的時(shí)候，鯨魚會(huì)擴(kuò)大泡網(wǎng)包圍獵物范圍。由于w的取值范圍是[0.5,2]，可以知道w有1/3的概率會(huì)縮小氣泡網(wǎng)的包圍獵物范圍，有2/3的概率擴(kuò)大泡網(wǎng)包圍獵物范圍。從而可以得出在迭代過(guò)程中，w有較大概率擴(kuò)大氣泡網(wǎng)的搜索范圍，因此可以有效規(guī)避陷入局部最優(yōu)，提高求解精度。

2.3 基于遺傳算法改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法

在鯨魚算法的流程中，隨著迭代次數(shù)的增加，|A|>1的比例越來(lái)越小，這就導(dǎo)致鯨魚種群的全局搜索能力不斷減弱從而使得算法過(guò)早收斂。本文提出在鯨魚算法中結(jié)合遺傳算法的交叉和變異策略擴(kuò)大算法后期的全局搜索范圍，增加種群多樣性，規(guī)避后期陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題，其中，每條染色體代表一個(gè)鯨魚種群，每個(gè)基因代表一個(gè)鯨魚個(gè)體，基因上的值對(duì)應(yīng)鯨魚的位置。

遺傳算法[28]中的交叉操作有3種不同的策略，使用一個(gè)flag參數(shù)來(lái)標(biāo)記是否需要進(jìn)行交叉操作，flag參數(shù)是一個(gè)初始值為0，從0開始遞增的參數(shù)，每計(jì)算完一個(gè)種群flag就加1，當(dāng)flag等于種群大小1/2的時(shí)候，就進(jìn)行交叉變異。選擇哪一種策略是由概率Pt決定的，Pt是一個(gè)隨著迭代而變化的自適應(yīng)參數(shù)。Pt的計(jì)算公式為:

(13)

其中，t為當(dāng)前代數(shù)，maxiter為最大迭代代數(shù)，Pt隨著t增大而逐漸增大。Pt的取值范圍為[e-1,1]，算法初期，算法的全局搜索能力較強(qiáng)，因此Pt<0.5，此時(shí)選擇交叉策略3，即單點(diǎn)交叉；當(dāng)隨著算法的迭代，算法全局搜索能力逐漸減弱，而在算法后期，Pt的值逐漸增大，因此Pt>0.5且Pt>h,此時(shí)選擇交叉策略1進(jìn)行多點(diǎn)交叉；否則使用交叉策略2進(jìn)行多點(diǎn)交叉。在算法后期利用多點(diǎn)交叉來(lái)增加種群多樣性，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。

交叉策略1 隨機(jī)生成一個(gè)點(diǎn)，將該點(diǎn)到基因末尾的值都和相鄰染色體的基因交叉。例如數(shù)組長(zhǎng)度為n，隨機(jī)生成i，交叉2個(gè)相鄰染色體的i～n的長(zhǎng)度。

交叉策略2 隨機(jī)生成2個(gè)點(diǎn)，交叉兩點(diǎn)之間染色體的基因位，例子數(shù)組長(zhǎng)度為n，隨機(jī)生成i、j，交叉相鄰染色體之間i～j的基因。

交叉策略3 隨機(jī)生成一個(gè)點(diǎn)，交叉相鄰2個(gè)染色體之間的一個(gè)基因位。

變異操作把染色體中的選擇一個(gè)基因位突變成另外一個(gè)基因位。

2.4 算法步驟

LGWOA的流程如圖1所示。

圖1 算法執(zhí)行流程圖

3 函數(shù)測(cè)試與性能分析

仿真實(shí)驗(yàn)基于Windows10(64 bit)操作系統(tǒng)，Intel?CoreTMi5-8250U CPU、1.8 GHz主頻及8 GB內(nèi)存，使用MATLAB R2021b編程開發(fā)。遺傳算法交叉概率為0.3、變異概率為0.1。選取了12個(gè)Benchmark函數(shù)(見表1)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，把12個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)分2組，其中：F1～F6為單峰函數(shù)，用來(lái)測(cè)試函數(shù)的收斂速度；F7～F12為復(fù)雜的多峰測(cè)試函數(shù)，可用來(lái)測(cè)試算法的全局搜索能力和規(guī)避局部最優(yōu)的能力。

表1 基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)

本文基于2個(gè)角度測(cè)試算法的優(yōu)化性能：1)針對(duì)本文對(duì)算法的3種改進(jìn)策略，分別單獨(dú)測(cè)試其對(duì)算法性能的改進(jìn)效果；2)將本文改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法(LGWOA)與原始的鯨魚優(yōu)化算法(WOA)、WOAWC[11]、MSWOA[13]、IWOA[16]在3個(gè)不同維度下進(jìn)行測(cè)試。

3.1 不同改進(jìn)策略的性能分析

本文采用3個(gè)不同的改進(jìn)策略，分別是：1)將萊維飛行引入鯨魚隨機(jī)搜索的位置更新公式中(WOA-a); 2)將自適應(yīng)權(quán)重引入鯨魚螺旋上升位置更新公式中(WOA-b); 3)交叉變異策略(WOA-c)。為比較3種不同策略對(duì)算法性能的影響，取種群大小為30，最大迭代次數(shù)設(shè)為500，為保證實(shí)驗(yàn)的可信度和數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，每次實(shí)驗(yàn)運(yùn)行30次并取平均值，各改進(jìn)策略對(duì)12個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)優(yōu)化求解的結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 不同改進(jìn)策略下的算法性能對(duì)比

分析表2可知，在3種改進(jìn)策略中，WOA-a對(duì)WOA算法性能改善最為明顯，WOA-b次之。在單峰函數(shù)中，WOA-b對(duì)WOA的性能改善明顯優(yōu)于WOA-c，但是多峰函數(shù)中，WOA-c和WOA-b算法對(duì)比，WOA-c算法的改進(jìn)效果明顯優(yōu)于WOA-b算法。對(duì)于大部分基準(zhǔn)函數(shù)，綜合了3種改進(jìn)策略的LGWOA比任一僅采用一種改進(jìn)策略的WOA均有更優(yōu)的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性。并且分別對(duì)測(cè)試函數(shù)選取同量級(jí)的尋優(yōu)精度時(shí)，LGWOA針對(duì)大部分的測(cè)試函數(shù)都有更快的收斂速度。因此，LGWOA很好地綜合了3種改進(jìn)策略的優(yōu)點(diǎn)，證明了混合改進(jìn)策略的合理有效性。

3.2 與其他優(yōu)化算法的性能比較

算法的空間復(fù)雜度主要由種群大小和搜索空間的維度決定，搜索空間的維度越大，空間復(fù)雜度越高[29]，本文采用3中不同維度對(duì)算法進(jìn)行性能測(cè)試。

設(shè)定種群大小為30，最大迭代次數(shù)為1000，基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)為F1～F12，同樣運(yùn)行30次并取平均值，表3、表4、表5展現(xiàn)了LGWOA、WOA、MSWOA、WOAWC、IWOA這5種算法分別在維度為10、30、50下對(duì)函數(shù)的求解結(jié)果，從平均解和標(biāo)準(zhǔn)差2個(gè)方面進(jìn)行分析。圖2、圖3、圖4為WOA、LGWOA、MSWOA、WOAWC、IWOA在3個(gè)不同維度下優(yōu)化benchmark函數(shù)的收斂過(guò)程對(duì)比圖。

表3 LGWOA與其他算法性能對(duì)比(D=10)

表4 LGWOA與其他算法性能對(duì)比(D=30)

(a) F1 (b) F2 (c) F3

當(dāng)求解維度為10維時(shí)，算法LGWOA、MSWOA、WOAWC以及IWOA在F1～F4上均取得了理論最優(yōu)值，但由圖2(a)～圖2(d)可知，其具有更快的收斂速度，例如在對(duì)函數(shù)F2的求解中，LGWOA取得理論最優(yōu)值的迭代次數(shù)明顯少于其余4種算法。在求解F5時(shí)，LGWOA相較于其余4個(gè)算法尋優(yōu)精度高出了5個(gè)數(shù)量級(jí)，在求解單峰函數(shù)F6上略優(yōu)于相較于在F1～F4上同樣表現(xiàn)良好的MSWOA、WOAWC、IWOA，但由圖2可知，LGWOA的收斂速度顯著提高且具有更高的穩(wěn)定性。在多峰函數(shù)中，在函數(shù)F7、F8、F9、F10、F12求解中，LGWOA的收斂速度均明顯提升，在函數(shù)F11的優(yōu)化過(guò)程中LGWOA的收斂速度稍劣于其他函數(shù)，但是在求解精度上更勝一籌，可以看出LGWOA有更強(qiáng)的跳出局部最優(yōu)的能力。

當(dāng)求解維度為30維時(shí)，針對(duì)大部分的benchmark函數(shù)，LGWOA求解精度比MSWOA、WOAWC、IWOA更高，更是遠(yuǎn)優(yōu)于原始的WOA。其中在求解單峰函數(shù)F1～F6時(shí)，LGWOA求解F1～F4時(shí)均取得了函數(shù)理論最優(yōu)值0；對(duì)于函數(shù)F5、F6的求解結(jié)果逼近理論值0，對(duì)于函數(shù)F6尋優(yōu)精度優(yōu)化效果不夠明顯，但是通過(guò)圖3(f)可以看出其收斂的速度相較于WOA、WOAWC、MSWOA、IWOA顯著提升，通過(guò)圖3(g)～圖3(l)和表2可以看出，對(duì)于有多個(gè)局部極值的多峰函數(shù)來(lái)說(shuō)，LGWOA對(duì)于函數(shù)F7～F10尋優(yōu)精度以及收斂速度均顯著優(yōu)于原始WOA，其收斂速度優(yōu)于同樣在求解精度上表現(xiàn)良好的MSWOA、WOAWC和IWOA，對(duì)于函數(shù)F11，算法LGWOA收斂速度稍劣于WOAWC，但有更高的求解精度。

表5 LGWOA與其他算法性能對(duì)比(D=50)

(a) F1 (b) F2 (c) F3

當(dāng)求解維度為50維時(shí)，結(jié)合圖4從收斂速度、求解精度以及穩(wěn)定性3個(gè)方面綜合來(lái)看，LGWOA的表現(xiàn)優(yōu)于其余4個(gè)算法，可以看出在求解高維空間的函數(shù)時(shí)，LGWOA的收斂速度與尋優(yōu)精度相較于其他4種算法均明顯提升。

(a) F1 (b) F2 (c) F3

上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的3種改進(jìn)策略明顯提升了算法的求解精度和收斂的速度，能夠很好地平衡算法全局搜索和局部搜索的能力。通過(guò)萊維飛行擴(kuò)大全局搜索空間，并引入自適應(yīng)權(quán)重提高求解精度，在鯨魚算法的后期結(jié)合遺傳算法的交叉變異擴(kuò)大算法后期的全局搜索能力，有效規(guī)避了算法后期早熟現(xiàn)象的出現(xiàn)。

綜上，對(duì)benchmark函數(shù)的求解中，本文所改進(jìn)的LGWOA在求解精度及穩(wěn)定性上均較其他算法有明顯提升，而在尋優(yōu)速度上，除了在F11的求解中，函數(shù)的收斂速度稍劣于MSWOA和WOAWC，該算法對(duì)函數(shù)的優(yōu)化性能均較其他4種算法有明顯的提升，從而驗(yàn)證了LGWOA算法中改進(jìn)策略的優(yōu)越性和有效性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先將萊維飛行策略引入原始WOA中擴(kuò)大鯨魚優(yōu)化算法在全局搜索時(shí)的搜索范圍，提高了全局搜索能力；然后，在鯨魚螺旋更新位置的階段，加入一個(gè)自適應(yīng)權(quán)重參數(shù)來(lái)加快鯨魚包圍獵物的速度，提高算法尋優(yōu)精度；最后利用遺傳算法的交叉變異思想，平衡算法的全局和局部搜索能力，增加種群的多樣性來(lái)解決傳統(tǒng)鯨魚優(yōu)化的過(guò)早收斂的問(wèn)題。選取12個(gè)benchmark函數(shù)從2個(gè)角度進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，本文提出的混合策略改進(jìn)的鯨魚優(yōu)化算法在收斂速度和求解精度上均有明顯提升。