鄒圣楠 ，劉 暢 ，鄧舒同 ，劉 英 ,2，陳鵬榮

（1.中國科學院海西研究院泉州裝備制造研究中心，福建 晉江 362200；2.福州大學先進制造學院，福建 福州350108）

磁懸浮系統(tǒng)具有無機械接觸、無摩擦、無磨損和兼容真空環(huán)境等優(yōu)點，在現(xiàn)代交通、航天航空、精密制造等領域發(fā)揮著舉足輕重的作用，例如結合真空管道技術的超導磁懸浮列車有望突破1 000 km/h，國內西南交通大學已經(jīng)完成0～50 km/h的實際動態(tài)運行試驗[1-5].特別是在當今精密制造領域中，磁懸浮平臺能夠避免摩擦、產(chǎn)熱、生成污染物等問題，可滿足精密制造的苛刻要求，因而受到國內外學術界和工業(yè)界的廣泛關注[6].國內外針對磁懸浮平臺技術的研究取得一系列重要進展：文獻[7]針對光刻機中的移動平臺，設計了一種高精度六自由度磁懸浮平臺，其關鍵的驅動元件是空心線圈，它能夠同時提供垂直力和橫向平移力； 文獻[8]提出了一種新型平面磁懸浮定位結構，其工作原理是分別利用三個懸浮單元和三個推進單元實現(xiàn)平臺的懸浮和較大范圍的推進，并對系統(tǒng)運行中引起的參數(shù)漂移進行了分析；文獻[9-10]中研究人員設計一種上小緊湊結構的平面磁懸浮平臺系統(tǒng)，其關鍵單元為兩組無鐵芯致動器，分別提供懸浮力和驅動力，其優(yōu)點是減少空間尺寸，并設計了高效的控制器； 除了利用制動線圈提供主動受力，文獻[11]針對高精度定位平臺，利用永磁體互斥的原理設計了重力補償結構，極大程度上減小了磁浮平臺垂直方向上的線圈損耗和發(fā)熱問題.在磁懸浮平臺運動的研究中，往往需要同時實現(xiàn)懸浮和移動兩種動作，因而涉及復雜的解耦問題，若處理不當則直接影響系統(tǒng)的魯棒性和精度，如何處理解耦問題是磁懸浮系統(tǒng)研究中的重難點.因此，除了磁浮平臺本體結構的設計研究，研究人員針對如何更好地解決磁懸浮系統(tǒng)中多自由度耦合的問題進行了多種不同控制算法以及控制規(guī)律的研究[12-16].

本文針對磁懸浮定位平臺系統(tǒng)中固有的耦合問題，提出了一種利用永磁體之間的被動受力來減少垂直方向上主動控制的設計思路，以此來簡化磁浮平臺的受力解耦以及多變量控制，避免需要使用多個線圈導致的產(chǎn)熱與功耗問題.首先，基于定子為圓環(huán)永磁體和電磁線圈，浮子為圓柱永磁體的簡單混合斥力式磁懸浮結構，對其進行精確的磁場和磁力計算分析，研究探討圓環(huán)永磁體和圓柱永磁體之間被動懸浮力的穩(wěn)定區(qū)域，并且根據(jù)懸浮力計算結果，適當?shù)睾雎粤烁∽釉谪Q直方向上的解耦控制，降低控制復雜度.然后給出了浮子水平方向上的運動方程，最終設計數(shù)字控制器并進行相關驗證.

1 斥力式磁浮平臺的原理及電磁特性

1.1 斥力式磁浮平臺的結構和運行原理

本文所研究的混合斥力式磁浮平臺系統(tǒng)結構如圖1所示，是上、下結構，上方動子由圓柱永磁體和平臺組成，下方定子由圓環(huán)永磁體、4個電磁線圈構成.圓環(huán)永磁體負責提供懸浮力，4個電磁線圈按照一定間距對稱分布在永磁圓環(huán)內部，位于對角線的兩個線圈通過反相串聯(lián)的方式構成一組，負責提供x方向或者y方向的水平驅動力.圓環(huán)中心的傳感器用來檢測浮子位置.本文所提出的磁浮平臺，采用斥力式磁懸浮的方式以及簡單的緊湊結構，可較為容易地獲得解耦的懸浮力和驅動力，并且圓環(huán)永磁體提供的外磁場可保證浮子在圓環(huán)軸線中心附近獲得穩(wěn)定的懸浮力，便于對懸浮系統(tǒng)的水平推力及控制穩(wěn)定性做較為細致的研究.

圖1 混合斥力式磁浮平臺簡易結構圖Fig.1 Simple structure diagram of hybrid repulsion maglev platform

圖2描述了磁浮平臺運行和穩(wěn)定的動態(tài)平衡，定子線圈的電流用點和叉表示.圓環(huán)永磁體產(chǎn)生的磁場對浮子永磁體形成垂直方向的懸浮力.初始狀態(tài)下，浮子與圓環(huán)共軸，由傳感器實時反饋浮子的位置，通過閉環(huán)控制系統(tǒng)調節(jié)電磁線圈電流使浮子穩(wěn)定在圓環(huán)軸線中心附近.當需要改變浮子在x軸方向上的位置時，控制對應的電磁線圈電流，使電磁線圈產(chǎn)生的磁場和圓環(huán)永磁體的磁場進行疊加，最終對浮子產(chǎn)生x方向的推進力，移動過程中，傳感器實時反饋上方浮子的位置，閉環(huán)控制系統(tǒng)實時改變電磁線圈的電流.到達新的平衡位置后，電磁線圈中的電流值穩(wěn)定在某一水平附近，以使浮子穩(wěn)定在新的平衡位置附近.

圖2 動態(tài)平衡下的懸浮Fig.2 Suspension under dynamic equilibrium

1.2 混合斥力式磁浮平臺的電磁特性分析

為研究混合斥力式磁浮平臺系統(tǒng)中浮子的受力規(guī)律，需要首先求解圓環(huán)永磁體的磁場分布，進一步計算浮子永磁體在圓環(huán)永磁體磁場中的受力.采用磁荷模型[17-18]或電流模型[19-20]求解永磁體磁場.基于磁荷模型，依據(jù)疊加原理，將圓環(huán)永磁體的磁場等效為兩個圓柱永磁體磁場的疊加，并進一步依據(jù)疊加原理，將圓柱永磁體的磁場等效為圓柱上、下兩個底面所產(chǎn)生的磁場的疊加.為求解圓柱上底面的磁場，首先推導出磁標量勢滿足的球坐標下的拉普拉斯方程，利用分離變量法求出磁標量勢的解析表達式，進而通過對磁標量勢求散度得到磁場表達式，采用同樣方法求得圓柱下底面的磁場.在得到圓柱永磁體的磁場后，依據(jù)疊加原理得到圓環(huán)永磁體的磁場，最后對浮子在整個磁場中的受力進行精確的計算，結果與有限元仿真計算結果和實驗測量相符.在此基礎上，研究了圓環(huán)永磁體提供的被動懸浮力在中心點周圍的穩(wěn)定區(qū)域，為浮子移動范圍的設計提供理論依據(jù).

1.2.1 圓環(huán)永磁體磁場的解析計算及驗證

圓環(huán)形永磁體的磁場分布可以看作兩個圓柱永磁體的磁場利用矢量疊加原理得到.根據(jù)疊加原理，先分別求出圓柱永磁體 α 和 β 在外部空間任意一點P的磁場Hα和Hβ，兩者相減即可得到圓環(huán)永磁體的總磁場[21]：H=Hα-Hβ，如圖3 所示.

圖3 圓環(huán)與圓柱永磁體之間的等價關系Fig.3 Equivalence relation between ring and cylindrical permanent magnet

圓柱形永磁體的磁場通過磁荷模型進行求解.磁荷模型將磁體產(chǎn)生的磁場看作是由密度為 ρm的磁荷分布產(chǎn)生的.根據(jù)磁荷模型，永磁體外部空間任意一點P的磁標量勢為

式中：M為 永磁體的磁化強度；S′為 永磁體表面積；τ′為永磁體體積；r為原點O指向點P的空間向量；r′為原點O指向磁荷微元的空間向量；n為 永磁體外表面法向單位矢量， ? ·M表示對M求散度；磁荷面密度 ρmS′和磁荷體密度 ρmτ′定義如式（2）.

計算得到um后，對um求梯度可得到磁場強度為

如圖4所示為軸向均勻磁化的實心永磁圓柱，上表面N極，下表面S極，在均勻磁化下，M=Br/μ0為常矢量，其中：Br為圓柱永磁體的剩磁；μ0=4π×10-7H/m，為真空中的磁導率.

圖4 沿軸向磁化的圓柱永磁體Fig.4 Axially magnetized cylindrical permanent magnet

由于M=Br/μ0為常矢量，因此有 ? ·M=0 ，故：

式中：um+、um-分別為圓柱永磁體上表面積和下表面積磁荷產(chǎn)生的磁標量勢.

式中：a為永磁體半徑；邊界條件為

采用分離變量法求解[22]得到

式中：Pl(x)為l次的勒讓德（Legendre）多項式，如式（10）.

在球坐標系下，圓柱永磁體上表面磁荷產(chǎn)生的磁場為

同理，可以求出圓柱永磁體下表面磁荷 ρmS′-產(chǎn)生的磁場H-，根據(jù)疊加原理，圓柱永磁體在外部空間任意一點P的磁場為H=H++H-.進一步，依據(jù)疊加原理，根據(jù)圖3所示的思路，可求出圓環(huán)永磁體在外部空間任意一點P的磁場.點P處的磁感應強度B=μH，其中 μ 為永磁體所在空間磁介質的磁導率.

為了驗證解析方法的正確性，本文選取鐵氧體材料的圓環(huán)永磁體為樣本，對其進行磁場計算和實驗測量，圓環(huán)永磁體特征參數(shù)為：外圈半徑為5 cm，內圈半徑為3 cm，高度為1.5 cm，剩余磁通密度Br=0.24 T.本文利用 COMSOL Multiphysics? 通過有限元方法計算得出圓環(huán)永磁體的磁場分布.首先建立圓環(huán)永磁體的三維模型，幾何模型的物理場由剩余磁通密度的具體數(shù)值定義.然后進行適當?shù)木W(wǎng)格劃分，通過參數(shù)掃描的方法計算圓環(huán)永磁體周圍的磁通密度.此外，本文利用高精度磁場掃描平臺，沿x軸和z軸進行圓環(huán)永磁體的磁場測量（Bx，Bz），最終3種方法得到的磁場結果比較如圖5所示.

由圖5可知：3種方法得到的結果基本一致，其中解析和仿真方法計算得到的不同高度處磁場應強度分量曲線基本重合，兩者之間的最大誤差僅為1.2 mT；測量值與兩種計算方法得到的結果略有不同，最大絕對誤差為4.0 mT，相對誤差不超過15%，誤差可能來自測量精度的不足和永磁體材料本身的工藝誤差.該結果證明了所提出解析方法是一種用于計算圓環(huán)永磁體磁場的高精度方法.

圖5 不同高度處圓環(huán)永磁體的磁感應強度分布Fig.5 Magnetic flux density distribution of ring permanent magnets at different heights

1.2.2 圓環(huán)永磁體的磁力計算

基于磁荷模型計算永磁體之間的相互作用力，圓柱永磁體在圓環(huán)永磁體產(chǎn)生的外部磁場Bex中的受力可以通過式（11）求得[23].

為進行對比驗證，利用有限元方法計算永磁體之間的相互作用力，其基本思路是利用空間中的總磁能間接計算得到磁力大小，具體方法為：控制兩個磁體之間的相對距離，計算出每一步固定移動距離l0的總磁能Em；然后將總磁能的變化量 ΔEm除以固定移動距離l0計算出每一步移動對應的磁力F=-ΔEm/l0.

本文選取釹鐵硼材料的圓柱永磁體作為浮子，幾何參數(shù)為：半徑2 cm，高度0.5 cm，剩余磁通密度Br= 0.95 T.選取上小節(jié)中的圓環(huán)永磁體作為定子，進一步采用與文獻[11]類似的懸浮力測試平臺，測量與圓環(huán)永磁體共軸的圓柱永磁體沿圓環(huán)軸線方向移動所受的懸浮力，并與解析計算和有限元計算進行對比， 如圖6所示，

圖6 懸浮力隨磁體之間軸向距離的變化Fig.6 Variation of levitation force with axial distance between magnets

由圖6可知：解析結果和仿真結果基本吻合，兩者最大誤差為0.28 N，相對誤差不超過6%；測量結果與兩個計算結果曲線趨勢基本相同，整體略小于計算值，最大誤差為0.58 N，相對誤差不超過14%；測量結果除了自身的測量誤差，差異來源可能與磁鐵的實際形狀和磁鐵磁化不均勻性有關.

1.3 被動懸浮力的分析

在所提出的混合斥力磁浮平臺系統(tǒng)中，浮子移動的前提是被動懸浮力在一定水平范圍內不發(fā)生變化.本節(jié)針對在不同懸浮高度處，圓環(huán)永磁體上方浮子受力的規(guī)律進行探究，得到被動懸浮力在水平方向上變化較小的穩(wěn)定區(qū)域.圖7為不同高度處，被動懸浮力隨水平位移變化的計算結果.

從圖7中可以看出：隨著懸浮高度的升高，懸浮力逐漸減??； 在水平位移 ±10 mm范圍內，懸浮高度越小，被動懸浮力的變化越緩慢.本文以同一高度處被動懸浮力的變化量與軸線處最大懸浮力之比k為標準，以此衡量懸浮高度對被動懸浮力變化的影響程度，如式（12）.

圖7 被動懸浮力在不同高度處隨水平位移的變化Fig.7 Variation of passive suspension force with horizontal displacement at different heights

式中：Fz_0為軸線處懸浮力；Fz_x為距離軸線一定距離處的懸浮力.

通過計算對比發(fā)現(xiàn)，k的變化隨著懸浮高度的減小而變換緩慢.如果以k取值10%作為參考，在不同高度（10、15、20、25 mm）處滿足k≤10% 的水平范圍分別為 ±8、±6、±5、±4 mm，表明隨著懸浮高度的降低，被動懸浮力在水平方向上能夠保持相對變化較小的范圍逐漸增大.

2 磁浮平臺的數(shù)學模型

2.1 被控對象受力解耦

圖8為懸浮物體的受力情況，總體可分為：來自圓環(huán)永磁體的被動受力Fm、來自電磁線圈通電后的主動受力Fe、浮子本身的重力mg.因此實現(xiàn)浮子在一定懸浮高度處的線性運動包含兩個方面：1） 垂直分量Fm_z和Fe_z的合力對抗浮子重力mg使之穩(wěn)定懸?。?） 水平分量Fm_x和Fe_x的合力驅動浮子進行線性運動.因此可以列出

張奎良批判了對于共產(chǎn)主義的經(jīng)驗性理解和認識，依據(jù)馬克思哲學文本，提出共產(chǎn)主義是實體境界、形上境界和實踐境界的三維合一。其中實體境界其核心內容是完善的社會制度；形上境界即哲學共產(chǎn)主義境界，其核心是人的徹底解放和對人的終極關懷；共產(chǎn)主義的實踐境界是把現(xiàn)實斗爭和共產(chǎn)主義未來結合起來的現(xiàn)實運動。[10]

圖8 浮子受力分析Fig.8 Force analysis of float

式中：Fz為 圓環(huán)永磁體和電磁線圈作用于浮子的豎直分量之和；Fx為 圓環(huán)永磁體和電磁線圈作用于浮子的水平分量之和.

一般情況下，實現(xiàn)磁浮平臺的穩(wěn)定移動需要同時實現(xiàn)豎直方向和水平方向的受力平衡，并設計二維的控制器，分別控制豎直方向和水平方向的運動平衡.如果能夠實現(xiàn)在一定范圍內Fz+mg≈0 ，則懸浮物體在該范圍豎直方向是穩(wěn)定的，此時意味著不需要通過控制手段來平衡的豎直方向上的受力.本文中浮子重力為0.92 N，根據(jù)懸浮力計算和測試結果（圖6），對應浮子的懸浮高度為23 mm，因此針對這一高度位置的被動懸浮力與水平位移的變化規(guī)律進行了分析，如圖9所示.

圖9 浮子垂直方向受力與水平位移的關系Fig.9 Relationship between vertical force and horizontal displacement of float

圖9所示的計算結果表明：在以圓環(huán)永磁體軸線為中心，4 mm為半徑的水平區(qū)域內，被動懸浮力隨浮子水平位移變化的最大值為0.091 N，僅為浮子本身重量的10%，對懸浮高度的影響僅在1 mm范圍內；當電磁線圈通電后，電磁線圈產(chǎn)生的豎直方向的分量Fe_z與Fm_z的變化趨勢相反，且變化幅度近似相等，導致浮子所受到的豎直方向上合力最大值變化僅為0.05 N，約為浮子自身重量的6%，對懸浮高度的影響僅在0.2 mm范圍內；浮子在 ±4 mm水平范圍內的豎直方向上的合力Fz始終約等于mg.綜上分析，針對本文所提出的混合磁浮平臺結構及元件參數(shù)，在 ±4 mm水平范圍內，可以簡化忽略豎直方向上浮子的運動方程.該水平范圍與元件的幾何參數(shù)以及永磁體的剩余磁通密度有關，本文暫不進行分析，將在后續(xù)的工作中展開研究.

2.2 水平方向數(shù)學模型的推導

根據(jù)對浮子的受力分析，可以寫出磁浮平臺水平方向的運動方程為

式中：f為外界干擾力；l為浮子沿x軸位移.

Fm_x和Fe_x都具有明顯的非線性特性，利用有限元仿真軟件，通過仿真計算得到力與位移之間的數(shù)據(jù)，然后采用多項式擬合的方法確定相關力分量的表達式為

因此通過拉普拉斯變換得出磁浮平臺水平方向的傳遞函數(shù)為

因為，傳遞函數(shù)中存在一個右半平面極點，所以本質上系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需要使用超前補償手段來進行控制調節(jié).

3 數(shù)字控制器設計及驗證

3.1 控制器設計

針對所研究的混合斥力式磁浮平臺，本節(jié)利用數(shù)字控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的模數(shù)轉換、控制算法的實現(xiàn)、PWM （pulse width modulation）波產(chǎn)生以及控制輸出電壓方向等功能，此外還包含了前級的霍爾傳感器放大電路設計以及后級驅動芯片的連接等外設模塊.本文實現(xiàn)浮子水平運動的方法，是利用MCU（microcontroller unit） 芯片，依次改變浮子的位移參考值，以小間距步進的方式實現(xiàn)浮子的水平位移.數(shù)字控制器如圖10所示.

圖10 數(shù)字控制器結構Fig.10 Digital controller structure diagram

前級位移傳感器檢測浮子的水平位置，輸出放大后的電壓信號，然后利用MCU芯片進行模數(shù)轉換，并與參考位置的數(shù)值作比較得出誤差值，再經(jīng)過控制算法的計算輸出對應占空比的PWM波形，最后控制驅動芯片產(chǎn)生對應的線圈電流，包括大小和方向，生成對應的驅動力，實現(xiàn)浮子的移動.

本節(jié)利用STM32F407ZGT6高性能的MCU進行編程，實現(xiàn)斥力磁浮平臺的數(shù)字控制.STM32微處理器芯片的軟件部分主要對以上功能進行算法設計，控制程序的主程序結構圖如11所示.

圖11 主程序流程Fig.11 Main program flow diagram

基于前文所述的磁浮平臺水平方向上的運動方程，本文設計了一個超前校正PD控制環(huán)節(jié)，并在STM32微控制器芯片上實現(xiàn).值得注意的是，超前矯正控制會改善磁浮平臺系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性，同時也會存在微小的穩(wěn)態(tài)誤差.

3.2 實驗驗證

本節(jié)進行仿真和實驗驗證，評估混合斥力式磁浮平臺系統(tǒng)的靜態(tài)性能和動態(tài)性能.圖12顯示了系統(tǒng)的實驗平臺結構：傳感器檢測浮子的位移，經(jīng)過信號處理后通過A/D轉換傳輸?shù)絊TM32控制器進行控制計算，最后輸出的控制信號實現(xiàn)電流放大驅動線圈，產(chǎn)生對應的電磁力作用于浮子產(chǎn)生移動.上位機用于實時監(jiān)控位移數(shù)據(jù)以及修改參考位置，電流監(jiān)測用于實時監(jiān)控線圈電流的變化.

圖12 實驗平臺結構Fig.12 Experimental platform structure diagram

圖13為浮子對1.0 mm位移信號的階躍輸入的閉環(huán)響應，由圖13可知：仿真和實驗跟隨曲線快速穩(wěn)定并且?guī)缀鯖]有超調，實驗結果的浮子跟隨輸出穩(wěn)態(tài)誤差為0.106 mm，穩(wěn)定時間僅為0.1 s；浮子自身位置在穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下存在輕微震蕩現(xiàn)象，其誤差最大不超過0.233 mm.

圖13 位移為1.0 mm的階躍軌跡跟蹤Fig.13 Step trajectory tracking with 1.0 mm final value

從已有研究來看[12]，使用步長的方法控制懸浮物體移動，步長越小，超調越小[24-25].本文設定步長為0.5 mm的響應步進控制，研究浮子運動效果.圖14為浮子在預定時間間隔內響應4步輸入的軌跡演變.從結果可知：仿真和實驗的輸出能夠快速穩(wěn)定地跟隨參考輸入，沒有超調現(xiàn)象的產(chǎn)生.因此利用分步移動實現(xiàn)浮子的水平運動是可行的.但是隨著總位移的增加，實驗結果的穩(wěn)態(tài)誤差也逐漸變大，位移從0.5～2.0 mm對應的穩(wěn)態(tài)誤差分別為0.145、0.224、0.236、0.294 mm.因此如果對穩(wěn)態(tài)誤差有精確的要求，則需要改進控制算法進一步消除穩(wěn)態(tài)誤差.

圖14 步長0.5 mm、位移為2.0 mm的軌跡跟蹤Fig.14 Trajectory tracking with 0.5 mm step length and 2.0 mm final value

4 結 論

本文基于利用永磁體之間的被動受力來減少垂直方向上主動控制的設計思路，針對永磁體和電磁線圈組成的混合斥力式磁懸浮的結構，對其進行了精確的磁場和磁力計算分析，并通過受力解耦建立了水平方向上的數(shù)學模型、設計了數(shù)字控制器以及相關驗證，得出了以下結論：

1） 針對永磁體和電磁線圈組成的混合斥力式磁懸浮的結構，對其進行了精確的磁場和磁力計算分析，結果表明解析法、有限元仿真法和設計測量結果相同，證明了解析法和有限元仿真法的正確性.

2） 充分研究探討了圓環(huán)永磁體和圓柱永磁體之間被動懸浮力的穩(wěn)定區(qū)域，發(fā)現(xiàn)當選擇懸浮高度為23 mm時，水平范圍 ± 4 mm內，浮子的被動懸浮力變化極小，且在該被動懸浮力穩(wěn)定的區(qū)域內，浮子垂直方向的位移變化不超過0.2 mm.

3） 建立了浮子水平方向的運動方程，并利用數(shù)字控制器取代一般的控制方法和部分功率放大電路，具有電路簡單且集成度高、成本低、程序的可移植性好等優(yōu)點.針對控制算法的仿真結果表明，系統(tǒng)可以穩(wěn)定懸浮且水平移動.

目前作者所在的課題組正有序推進大范圍線性運動的研究和建設，針對超前控制算法進行改進，在提高響應速度和穩(wěn)定性的同時消除穩(wěn)態(tài)誤差.下一步將利用實驗平臺搭建模型并驗證準確性.